حد، پیوستگی و قاعدهٔ هوپیتال

۱. اشیای مسئله، با بیان دقیق

حد. $\lim_{x\to a}f(x)=L$ یعنی: به ازای هر $\varepsilon>0$ عددی $\delta>0$ هست چنان‌که $x\in\mathrm{dom}(f)$ و $0<\lvert x-a\rvert<\delta$ ایجاب کند $\lvert f(x)-L\rvert<\varepsilon$. دو نتیجه که کنکور دائماً از آن‌ها بهره می‌برد:

• تنها نقاط دامنه به حساب می‌آیند. اگر $f$ فقط در یک طرفِ $a$ تعریف شده باشد — مانند $\sqrt{x}$ یا $\ln x$ در $0$ — آنگاه «حد در $a$» همان حد یک‌طرفه است و می‌تواند کاملاً موجود باشد. عبارتِ $x\to 0^{+}$ در صورت سؤال معمولاً بیانی دربارهٔ دامنه است، نه اشاره‌ای به اینکه حد دوطرفه موجود نیست.
• حد دوطرفه موجود است $\iff$ هر دو حد یک‌طرفه موجود باشند و برابر باشند: $\lim_{x\to a^{-}}f=\lim_{x\to a^{+}}f=L$.

پیوستگی. تابع $f$ در $a$ پیوسته است اگر و تنها اگر $a\in\mathrm{dom}(f)$، حدِ $\lim_{x\to a}f(x)$ موجود باشد و با $f(a)$ برابر باشد. حالت‌های ناپیوستگی چنین دسته‌بندی می‌شوند:

و استلزامِ یک‌طرفه: مشتق‌پذیری در $a$ $\Rightarrow$ پیوستگی در $a$، و هرگز عکس آن.

چهار ابزار عمومی که به مشتق‌گیری نیاز ندارند.

• جبر حدها. اگر $\lim f=L$ و $\lim g=M$ هر دو متناهی باشند، آنگاه $f\pm g\to L\pm M$، $fg\to LM$ و $f/g\to L/M$ به شرط $M\neq0$. دقیقاً همین فرضِ متناهی‌بودن است که $\infty-\infty$ و $0\cdot\infty$ را مبهم می‌کند.
• قضیهٔ فشردگی (ساندویچ). اگر $h\le f\le H$ روی یک همسایگی محذوف از $a$ برقرار باشد و $h,H\to L$، آنگاه $f\to L$. این تنها راهِ حاصل‌ضرب‌های کران‌دار $\times$ میل‌کننده به صفر مانند $x^{2}\sin(1/x)\to0$ است، جایی که هیچ بسط تیلوری وجود ندارد.
• ترکیب. از $\lim_{x\to a}g(x)=L$ به‌همراه پیوستگیِ $f$ در $L$ نتیجه می‌شود $\lim_{x\to a}f(g(x))=f(L)$. فرض پیوستگی حذف‌شدنی نیست: با $f(t)=0$ برای $t\neq0$، $f(0)=1$ و $g(x)=x$ داریم $\lim_{x\to0}f(g(x))=0\neq1=f(\lim g)$.
• معیار دنباله‌ای. $\lim_{x\to a}f=L$ اگر و تنها اگر برای هر دنبالهٔ $x_{n}\to a$ با $x_{n}\neq a$ داشته باشیم $f(x_{n})\to L$. ارائهٔ دو دنباله با تصاویر متفاوت، راه استاندارد رد کردن وجود حد است (برای $\sin(1/x)$ دنبالهٔ $x_{n}=\tfrac{1}{n\pi}$ را در برابر $x_{n}=\tfrac{1}{2n\pi+\pi/2}$ بگیرید).

۲. گام صفر — دامنه و جدول علامتی که آن را می‌سازد

هر ادعای حد یا پیوستگی تنها آنجا که تابع تعریف شده معنا دارد، و خانوادهٔ کاملی از سؤال‌های کنکور چیزی جز همین مجموعه را نمی‌خواهند. $\mathrm{dom}(f)$ را به‌صورت اشتراک قیدهای مقدماتی بسازید:

روش جدول علامت. برای حل $\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$: هر دو را به عامل‌های تحویل‌ناپذیر تجزیه کنید، همهٔ ریشه‌های $P$ و $Q$ را روی محور حقیقی علامت بزنید و از چپ به راست حرکت کنید — علامت فقط در ریشه‌های با مرتبهٔ فرد عوض می‌شود. ریشه‌های صورت وقتی شرط اکید است (مانند زیر لگاریتم) حذف و وقتی شرط $\ge$ است (مانند زیر رادیکال با فرجهٔ زوج) شامل می‌شوند؛ ریشه‌های مخرج همیشه حذف می‌شوند.

رادیکال درون نامساوی — مجذور کردن رایگان نیست. مجذور کردن تنها میان کمیت‌های نامنفی نامساوی را حفظ می‌کند، پس هم‌ارزی‌های درست شرط جانبی پنهانی دارند:

$\sqrt{A}<B\iff A\ge0,\ B>0,\ A<B^{2},$ $\sqrt{A}>B\iff\big(A\ge0,\ B<0\big)\ \text{or}\ \big(B\ge0,\ A>B^{2}\big).$

ترفند مزدوج برای علامتِ $x-\sqrt{Q(x)}$. در مزدوج ضرب و تقسیم کنید: $x-\sqrt{Q(x)}=\frac{x^{2}-Q(x)}{x+\sqrt{Q(x)}}.$ هر گاه مثبت‌بودن مخرج اثبات‌پذیر باشد، علامت کل عبارت دقیقاً علامتِ چندجمله‌ای $x^{2}-Q(x)$ است — جایگزینی یک‌خطی برای بررسی حالت‌ها. نمونهٔ معیار: $Q(x)=x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1\ge1$، پس $\sqrt{Q}>\lvert x-1\rvert\ge1-x$ و در نتیجه برای هر $x$ حقیقی $x+\sqrt{Q}>1>0$؛ بنابراین $x-\sqrt{x^{2}-2x+2}=\frac{2x-2}{x+\sqrt{x^{2}-2x+2}}\quad\text{has exactly the sign of } x-1 .$

مثال حل‌شدهٔ دامنه (الگوی استاندارد). برای $f(x)=\log\dfrac{2-x}{x-\sqrt{x^{2}-2x+2}}$: مربع کامل کردن نشان می‌دهد زیررادیکال $\ge1$ است، پس رادیکال قیدی تحمیل نمی‌کند؛ مخرج تنها در $x=1$ صفر می‌شود؛ و لگاریتم آرگومانِ اکیداً مثبت می‌خواهد، یعنی هم‌علامت‌بودن صورت و مخرج.

پس $\mathrm{dom}(f)=(1,2)$. دو سر دامنه خودشان گزاره‌های حدی‌اند: وقتی $x\to1^{+}$ آرگومان $\to+\infty$ و لذا $f\to+\infty$، و وقتی $x\to2^{-}$ آرگومان $\to0^{+}$ و لذا $f\to-\infty$ — هر دو سر مجانب قائم واقعی‌اند و دقیقاً به همین دلیل بازه باز است.

تلهٔ رایج: نامساوی $x>\sqrt{Q}$ به‌طور ضمنی $x>0$ را ادعا می‌کند؛ مجذور کردن بدون ثبت این شرط، جواب‌های اضافی روی نیم‌محور چپ می‌سازد. در سؤال‌های چهارگزینه‌ای دامنه، دقیقاً همین سرهای نادرست ($0$ به‌جای $1$، یا کروشهٔ بسته در نقطه‌ای که آرگومان لگاریتم صفر می‌شود) گزینه‌های انحرافی‌اند.

۳. هفت صورت مبهم و نحوهٔ استانداردسازی آن‌ها

تنها همین هفت شکل بی‌اطلاع‌اند؛ هر چیز دیگری را مستقیماً می‌خوانید.

شکلی مانند $\tfrac{c}{0}$ با $c\neq0$ مبهم نیست — برابر $\pm\infty$ است و تنها کار باقی‌مانده تعیین علامت است که به بررسی یک‌طرفه نیاز دارد. همان ترفند مزدوج است که مقدار استاندارد $\sqrt{x^{2}+ax+b}-x\to\tfrac{a}{2}$ را وقتی $x\to+\infty$ می‌دهد.

۴. قاعدهٔ هوپیتال — با فرض‌های دقیقش

قضیه. فرض کنید $-\infty\le a\le+\infty$ و $f,g$ روی یک همسایگی محذوف (احتمالاً یک‌طرفهٔ) $I$ از $a$ مشتق‌پذیر باشند و $g'(x)\neq0$ روی $I$. فرض کنید یکی از دو حالت زیر برقرار باشد:

۱. وقتی $x\to a$، $f(x)\to0$ و $g(x)\to0$؛ یا ۲. وقتی $x\to a$، $\lvert g(x)\rvert\to\infty$ (در این شاخه هیچ فرضی روی $f$ لازم نیست).

اگر $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L\in\overline{\mathbb{R}}$، آنگاه $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L$.

اثبات، اعمال قضیهٔ مقدار میانگین کوشی میان $x$ و $a$ است — به کارت همراهِ MVT مراجعه کنید؛ به همین دلیل هم شرط $g'\neq0$ حذف‌شدنی نیست.

سه حالت شکست که کنکور از آن‌ها گزینهٔ انحرافی می‌سازد.

• استلزام یک‌طرفه است. اگر $f'/g'$ حد نداشته باشد، هیچ نتیجه‌ای گرفته نمی‌شود. با $f(x)=x+\sin x$، $g(x)=x$ و $x\to\infty$: داریم $f/g\to1$، حال آنکه $f'/g'=1+\cos x$ تا ابد نوسان می‌کند.
• پیش از هر بار اعمال، صورت را دوباره بررسی کنید. در $\lim_{x\to0}\frac{x}{\cos x}=0$ (که مبهم نیست) مشتق‌گیریِ کورکورانه $\frac{1}{-\sin x}\to\infty$ می‌دهد — بی‌معنای محض.
• دور باطل. محاسبهٔ $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ «با هوپیتال» فرض می‌کند $(\sin)'=\cos$، حال آنکه این خودش از همان حد ثابت می‌شود. همین حکم برای $\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ نیز برقرار است: نسبت تفاضلی یک تعریف است، نه نامزدی برای این قاعده.

دو نتیجهٔ ساختاری.

• سلسله‌مراتب رشد. با نمادگذاری $u\ll v$ به‌معنای $u/v\to0$، اعمال مکرر هوپیتال وقتی $x\to+\infty$ و برای $p,q>0$، $b>1$ می‌دهد: $(\ln x)^{p}\ \ll\ x^{q}\ \ll\ b^{x}\ \ll\ x!\ \ll\ x^{x},$ و واقعیت متناظرِ آن یعنی $x^{q}\ln x\to0$ وقتی $x\to0^{+}$. هر خارج‌قسمتی که از این رده‌ها ساخته شود با یک نگاه تعیین می‌شود.
• قاعده می‌تواند دور بزند. $\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$ به $\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ تبدیل می‌شود و سپس تا ابد به حالت اول برمی‌گردد؛ فاکتورگیری از $x$ بی‌درنگ $1$ می‌دهد. تکرار دوری — یا مشتق‌هایی که پیچیده‌تر می‌شوند — علامتِ آن است که هوپیتال را رها کنید و به جبر یا مجانب‌ها روی آورید.

۵. سلاح سریع‌تر: تطبیق مرتبه‌ها

وقتی $u\to0$ (بنویسید $A\sim B$ به‌معنای $A/B\to1$):

$\sin u\sim u,\quad \tan u\sim u,\quad \arcsin u\sim u,\quad \arctan u\sim u,$ $1-\cos u\sim\frac{u^{2}}{2},\quad e^{u}-1\sim u,\quad \ln(1+u)\sim u,\quad (1+u)^{\alpha}-1\sim\alpha u.$

وقتی جمله‌های پیشرو حذف می‌شوند به مرتبهٔ بعدی نیاز دارید، پس این فرهنگ را به خاطر بسپارید:

حساب مرتبه‌ها. هر عامل را به‌صورت $f(x)=c\,x^{p}\big(1+o(1)\big)$ — خواناتر: $f(x)=c\,x^{p}(1+o(1))$ — بنویسید و $p$ را مرتبه و $c$ را ضریب پیشروی آن بنامید. آنگاه مرتبه‌ها در ضرب جمع می‌شوند، در تقسیم تفریق می‌شوند و زیر توانِ $n$-ام در $n$ ضرب می‌شوند، با $(c\,x^{p})^{n}=c^{n}x^{pn}$؛ جانشانی $x\mapsto kx$ ضریب را در $k^{p}$ ضرب می‌کند. مرتبه‌های کسری و حتی گنگ کاملاً مجازند.

قاعدهٔ نقاط انتهایی (مماس قائم). اگر $F(c)=0$، $F'(c)=0$ و $F''(c)\neq0$، آنگاه $F(c+h)\approx\tfrac{1}{2}F''(c)h^{2}$، پس وارونِ $F$ مانند جذر رشد می‌کند. با اعمال آن بر $\cos$ در $\theta=0$، جایی که $1-\cos\theta\approx\theta^{2}/2$: $\cos^{-1}(1-x)\sim\sqrt{2x}\qquad(x\to0^{+}).$ پس $\arcsin$ و $\arccos$ در نقاط انتهایی $\pm1$ با مرتبهٔ $x^{1/2}$ به مقدارشان نزدیک می‌شوند، نه با مرتبهٔ $x$ — و به همین دلیل نمودارشان آنجا مماس قائم دارد.

تلهٔ رایج: هم‌ارزها را می‌توان آزادانه درون ضرب و تقسیم جانشانی کرد، ولی هرگز درون جمعی که جمله‌های پیشرویش حذف می‌شوند. حاصل $\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}$ برابر $\tfrac12$ است، ولی جانشانی هر دو با $x$ پاسخ نادرست $0$ می‌دهد. هر جا تفریقی ظاهر شد، از چندجمله‌ای‌های تیلور واقعی با مرتبه‌های کافی استفاده کنید.

۶. متعادل‌سازی مرتبه‌ها وقتی پارامتری مجهول است

اصل مقایسه. اگر $N(x)=c_{1}x^{p}(1+o(1))$ و $D(x)=c_{2}x^{q}(1+o(1))$ با $c_{1},c_{2}\neq0$، آنگاه وقتی $x\to0$ $\frac{N(x)}{D(x)}\longrightarrow\begin{cases}0,& p>q,\\[2pt] \dfrac{c_{1}}{c_{2}},& p=q,\\[2pt] \pm\infty\ \text{(or no limit)},& p<q.\end{cases}$

دادهٔ متناهی‌بودن. صورت سؤالی که اعلام می‌کند «$a=\lim\dots$»، یا می‌گوید حد «موجود و ناصفر است»، در حقیقت یک معادله به شما می‌دهد، نه یک تزئین: این عبارت $p=q$ را تحمیل می‌کند. همین یک معادله توان یا پارامتر مجهول را تعیین می‌کند و تنها پس از آن $a=c_{1}/c_{2}$ خوانده می‌شود. دستور کار:

۱. هر عامل را تا جملهٔ پیشرویش بسط دهید (از فرهنگ بند ۵ استفاده کنید)؛ ۲. مرتبهٔ عامل‌ها را جمع کنید و برای توان $n$-ام در $n$ ضرب کنید؛ ۳. قرار دهید $p_{\text{num}}=p_{\text{den}}$ و پارامتر را بیابید — هرگز فرض نکنید که صحیح است؛ ۴. نسبت ضرایب را با دقت در حفظ همهٔ علامت‌ها حساب کنید؛ ۵. هر ترکیبی را که صورت سؤال خواسته است پاسخ دهید ($a$، $n$، $a/n$، $an$، …) که به‌ندرت خودِ $a$ است.

بررسی مجاز بودن. توانی غیرصحیح مانند $(1-\cos\beta x)^{n}$ تنها به این دلیل تعریف‌شده است که پایه $\ge0$ است؛ پایه‌ای مانند $\sin x$ یا $\ln(1+x)$ که در $0$ تغییر علامت می‌دهد، کل مسئله را به یک طرف محدود می‌کرد.

۷. روش — دستور کار

۰. دامنه را تثبیت کنید (بند ۲) و توجه کنید $a$ نقطهٔ درونی است یا نقطهٔ انتهایی — همین تعیین می‌کند حد یک‌طرفه است یا دوطرفه. ۱. $x=a$ را جانشانی کنید. اگر مقدار تعریف‌شده و متناهی باشد، پیوستگی مسئله را تمام می‌کند. ۲. صورت را نام‌گذاری کنید. اگر مبهم نبود $\Rightarrow$ پاسخ را مستقیم بخوانید (برای $\tfrac{c}{0}$ علامت را یک‌طرفه تعیین کنید). ۳. با جدول بند ۳ به $\tfrac{0}{0}$ یا $\tfrac{\infty}{\infty}$ استاندارد کنید. ۴. ابزار را به این ترتیب انتخاب کنید: جبر (تجزیه، گویاسازی، ساده‌کردن) $\to$ جانشانی‌ای که تابع وارون را به تابع مستقیم تبدیل کند $\to$ مرتبه‌های تیلور/مجانبی $\to$ هوپیتال. ۵. اگر از هوپیتال استفاده می‌کنید، مشتق‌پذیری و $g'\neq0$ را وارسی کنید و پیش از دور دوم صورت را دوباره بررسی کنید. ۶. بازبینی دامنه: یک‌طرفه در برابر دوطرفه، علامت جذر، شاخه‌های $\lvert\cdot\rvert$ و اینکه آیا عبارت $x>0$ را تحمیل می‌کند یا نه. ۷. اگر پارامتری ظاهر شد، دادهٔ متناهی‌بودنِ بند ۶ را پیش از محاسبهٔ هر ثابتی اعمال کنید.

۸. مثال کوچک حل‌شدهٔ الف (یک حد معیارِ تطبیق مرتبه)

$L=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\cos^{-1}(1-x)}{\sqrt{x}}.$

صورت $\to\cos^{-1}(1)=0$ و مخرج $\to0$: یک $\tfrac{0}{0}$ واقعی. سه راه، هر سه استاندارد.

(الف) جانشانی — تبدیل تابع وارون به تابع مستقیم. قرار دهید $y=\cos^{-1}(1-x)\in\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$، پس $x=1-\cos y=2\sin^{2}(y/2)$ و $\sqrt{x}=\sqrt{2}\,\sin(y/2)$. وقتی $x\to0^{+}$ داریم $y\to0^{+}$ و $\frac{y}{\sqrt{2}\,\sin(y/2)}=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{y/2}{\sin(y/2)}\longrightarrow\sqrt{2}.$

(ب) هوپیتال. هر دو تابع روی $(0,1)$ مشتق‌پذیرند و آنجا $(\sqrt{x})'\neq0$، پس $L=\lim_{x\to0^{+}}\frac{1/\sqrt{2x-x^{2}}}{1/(2\sqrt{x})}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\,\sqrt{2-x}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$

(ج) مجانبی (سریع‌ترین). $\cos^{-1}(1-x)\sim\sqrt{2x}$، پس $L=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x}}=\sqrt{2}$.

هر سه هم‌خوان‌اند — و تمام دشواری در تشخیص این بود که صورت با مرتبهٔ $x^{1/2}$ صفر می‌شود، دقیقاً هم‌مرتبه با مخرج.

۹. مثال کوچک حل‌شدهٔ ب (تعادل مرتبه‌ها با توان مجهول)

یک الگوی کامل کنکوری در این شکل کلی نهفته است $a=\lim_{x\to0}\frac{\big(e^{\alpha x}-1-\alpha x\big)\,\ln\!\big(1-x^{3}\big)}{\big(1-\cos\beta x\big)^{n}},\qquad\alpha,\beta>0,$ که در آن $n$ داده نشده است و پاسخ خواسته‌شده ترکیبی از $a$ و $n$ است.

صورت. $e^{\alpha x}-1-\alpha x=\tfrac{\alpha^{2}}{2}x^{2}+O(x^{3})$ (دو جملهٔ نخست سری نمایی کم شده‌اند، پس مرتبه $2$ است نه $1$)، و $\ln(1-x^{3})=-x^{3}+O(x^{6})$. مرتبه‌ها جمع می‌شوند: $N(x)\sim-\frac{\alpha^{2}}{2}\,x^{5}\qquad(\text{order }5,\ \text{coefficient }-\tfrac{\alpha^{2}}{2}).$

مخرج. $1-\cos\beta x\sim\tfrac{\beta^{2}}{2}x^{2}\ (\ge0$، پس توان حقیقی مجاز است$)$، و توان مرتبه را ضرب می‌کند: $D(x)\sim\left(\frac{\beta^{2}}{2}\right)^{n}x^{2n}\qquad(\text{order }2n).$

تعادل. متناهی و ناصفر بودن $a$ ایجاب می‌کند $5=2n$، یعنی $n=\tfrac52$ — یک نیم‌صحیح، که رادیکال‌های موجود در گزینه‌ها از همین‌جا می‌آیند. آنگاه $a=-\frac{\alpha^{2}}{2}\left(\frac{2}{\beta^{2}}\right)^{5/2}.$ برای $\alpha=2,\ \beta=3$ این مقدار برابر است با $a=-2\left(\tfrac29\right)^{5/2}=-\dfrac{2\cdot2^{5/2}}{3^{5}}=-\dfrac{8\sqrt{2}}{3^{5}}$، و مثلاً $\dfrac{a}{n}=-\dfrac{16\sqrt{2}}{5\cdot3^{5}}$.

دو نکتهٔ امتیازآور: لازم نیست توان صحیح باشد، و علامت را $\ln(1-x^{3})<0$ در نزدیکی $0$ تعیین می‌کند — همین یک نکته همهٔ گزینه‌های مثبت را حذف می‌کند.

۱۰. ترمیم یک تکینگی: پیوستگی، $C^{k}$، $C^{\infty}$، تحلیلی

الگوی تکرارشوندهٔ دوم، تابعی تکه‌ای به شما می‌دهد — فرمولی برای $x\neq a$ به‌علاوهٔ مقداری دست‌چین‌شده در $a$ — و می‌پرسد نتیجه چقدر هموار است.

دستور کار. فرمول را به‌صورت $H\circ q$ بنویسید که در آن $H$ تابع بیرونیِ سراسراً هموار (معمولاً $\exp$) و $q$ خارج‌قسمت تکین است. $q$ را حول $a$ به سری توانی بسط دهید. اگر آن سری روی یک همسایگی همگرا باشد و مقدارش در $a$ همان مقدار انتساب‌داده‌شده باشد، آنگاه $q$ — و در نتیجه کل ترکیب — تحلیلی حقیقی و لذا $C^{\infty}$ است: تکینگی برداشتنی بوده و هر گزینهٔ ضعیف‌تر به‌طور خودکار نادرست است.

نمونهٔ معیار. $f(x)=(1+x)^{1/x}$ برای $x\neq0$ و $f(0)=e$، روی $(-1,\infty)$. آنگاه $f=\exp\circ\,g$ با $g(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{3}-\cdots\quad(\lvert x\rvert<1),\qquad g(0)=1,$ و $\exp(g(0))=e=f(0)$، پس اتحاد $f=\exp\circ g$ سراسری برقرار است. دور از $0$، تابع $g$ خارج‌قسمتی هموار با مخرج ناصفر است؛ در $0$ نیز برابر یک سری توانی با شعاع همگرایی $1$ است. پس $f\in C^{\infty}\big((-1,\infty)\big)$، و با یک گام بیشتر در بسط، $f(x)=e\left(1-\frac{x}{2}+\frac{11}{24}x^{2}+O(x^{3})\right)$، و لذا $f'(0)=-\tfrac{e}{2}$.

نردبان نظم‌پذیری (هر رده اکیداً ردهٔ بعدی را در بر دارد — برای هر فاصله یک مثال نقض به خاطر بسپارید):

۱۱. پیوستگی سراسراً چه چیزی به شما می‌دهد

• قضیهٔ مقدار میانی. تابع پیوستهٔ $f$ روی $[a,b]$ هر مقدار میان $f(a)$ و $f(b)$ را اختیار می‌کند؛ به‌ویژه $f(a)f(b)<0$ وجود ریشه را ایجاب می‌کند. هم‌ارز آن: تصویر پیوستهٔ یک بازه، بازه است.
• قضیهٔ مقدار اکسترمم. تابع پیوستهٔ $f$ روی مجموعهٔ فشردهٔ $[a,b]$ کران‌دار است و ماکسیمم و مینیمم خود را اختیار می‌کند. هم فشردگی و هم پیوستگی لازم‌اند: $1/x$ روی $(0,1]$ پیوسته و بی‌کران است.
• هاینه–کانتور. پیوستگی روی مجموعهٔ فشرده به پیوستگی یکنواخت ارتقا می‌یابد. روی مجموعه‌های نافشرده برقرار نیست: $1/x$ و $\sin(1/x)$ روی $(0,1)$، و $x^{2}$ روی $\mathbb{R}$.
• وارون پیوسته. تابع پیوستهٔ اکیداً یکنوای $f$ روی یک بازه، وارونی پیوسته و اکیداً یکنوا دارد — همین است که وجود $\arccos$ را تضمین می‌کند، و هر جا $f'=0$ در نقطهٔ انتهایی باشد، وارون همان مماس قائم (مرتبهٔ $\tfrac12$) را می‌گیرد که در بند ۵ از آن بهره بردیم.

۱۲. کنکور این مبحث را چگونه می‌سنجد

• یک حد $0/0$ ساخته‌شده از رادیکال یا تابع مثلثاتی وارون. تله در مرتبه است: چهار گزینه معمولاً عبارت‌اند از ثابت درست، همان ثابت با یک عامل اضافی $2$ یا $\sqrt{2}$ (ناشی از بدفهمی $1-\cos\theta\approx\theta^{2}/2$)، و «حد وجود ندارد» — طعمه‌ای برای کسی که صورت را $O(x)$ (حد $0$) یا $O(1)$ (حد $+\infty$) می‌پندارد.
• یک تابع تکه‌ای ترمیم‌شده با چهار ادعای تودرتو دربارهٔ نظم‌پذیری. چون رده‌ها تودرتو هستند، حداکثر یک گزینه می‌تواند درست باشد: قوی‌ترین گزارهٔ درست را بیابید تا سه گزینهٔ دیگر یک‌جا حذف شوند. خانوادهٔ $1^{\infty}$ یعنی $(1+x)^{1/x}$، $\left(1+\tfrac{a}{x}\right)^{bx}$، $(\cos x)^{1/x^{2}}$ منبع همیشگی این سؤال‌هاست.
• حدهای نمایی/توانی که با $f^{g}=\exp(g\ln f)$ حل می‌شوند، یا با میان‌بُرِ $\exp\!\big(\lim g\,(f-1)\big)$ وقتی $f\to1$.
• پیوستگی‌های نامتعارف (از نوع دیریکله مانند $x\cdot\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)$، یا تابع $f$ که با یک معادلهٔ تابعی مقید شده است): پیوستگی دقیقاً در نقاطی برقرار است که شاخه‌های رقیب با هم توافق دارند.
• یک سؤال دامنه — لگاریتمی روی تفاضلی شامل رادیکال، یا رادیکالی از یک عبارت گویا. گزینه‌ها چهار بازه‌اند که فقط در نقاط انتهایی تفاوت دارند و هر گزینهٔ نادرست یک اشتباه مشخص را رمزگذاری می‌کند: مجذور کردن $x>\sqrt{Q}$ بدون شرط $x>0$، نوشتن $\ge$ زیر لگاریتم، یا نگه‌داشتن ریشهٔ صورت. کار را با بررسی حدهای نقاط انتهایی تمام کنید — این حدها باید نامتناهی یا تعریف‌نشده باشند، هرگز مقادیر متناهی درونی.
• حدی با توان یا ثابت مجهول («اگر $a=\lim\dots$، مقدار $a/n$ را بیابید»). متناهی‌بودنِ حدِ اعلام‌شده همان معادلهٔ گمشده است؛ انتظار $n$ غیرصحیح، رادیکال در ثابت، و حذف یکی دو گزینه صرفاً با علامت را داشته باشید.

نکتهٔ کنکوری: پیش از هر مشتق‌گیری بپرسید هر جزء با چه مرتبه‌ای صفر می‌شود. صورت و مخرج را به شکل $c\,x^{p}\,(1+o(1))$ بنویسید؛ حد برابر $0$ است وقتی $p_{\text{num}}>p_{\text{den}}$، نامتناهی است وقتی $p_{\text{num}}<p_{\text{den}}$، و برابر نسبت متناهی $c_{\text{num}}/c_{\text{den}}$ است وقتی مرتبه‌ها برابرند. مرتبه‌های کسری مجازند — تابع مثلثاتی وارون در نقطهٔ انتهایی دامنه‌اش مماس قائم دارد و لذا مرتبهٔ $\tfrac12$. همین یک واکنش، بیشتر حدهای کنکوری را در یک خط تمام می‌کند و یک‌نگاهی نشان می‌دهد هر ثابت نادرست از کدام اشتباه زاده شده است؛ آن را وارونه اجرا کنید — یعنی $p_{\text{num}}=p_{\text{den}}$ را تحمیل کنید — تا توان مجهولِ پنهان در صورت سؤال را هم به دست دهد.