سوال ۳۲ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۱

خمِ مسئله

پارامتری‌سازیِ $x = 2\cos^{3}t,\; y = 2\sin^{3}t$ در رابطهٔ زیر صدق می‌کند: $x^{2/3} + y^{2/3} = 2^{2/3}\big(\cos^{2}t + \sin^{2}t\big) = 2^{2/3},$ پس این خم همان اَستروئید $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$ با $a = 2$ است که برای $t\in[0,2\pi]$ دقیقاً یک‌بار پیموده می‌شود.

فرمولِ مساحت

برای خمی پارامتری که حول محور $x$ دوران می‌کند، مساحت رویهٔ جانبی برابر است با $S = 2\pi\int |y|\,ds, \qquad ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\;dt .$

چون اَستروئید نسبت به محور $x$ متقارن است، دوران دادنِ فقط نیمهٔ بالایی یعنی $t\in[0,\pi]$ (که در آن $y = 2\sin^{3}t \ge 0$) تمام رویه را می‌سازد؛ استفاده از کل بازهٔ $[0,2\pi]$ هر نقطه را دو بار می‌شمارد.

عنصر طول کمان

$\frac{dx}{dt} = -6\cos^{2}t\,\sin t, \qquad \frac{dy}{dt} = 6\sin^{2}t\,\cos t,$ $\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} = 36\cos^{2}t\,\sin^{2}t\big(\cos^{2}t+\sin^{2}t\big) = 36\sin^{2}t\cos^{2}t,$ $\Longrightarrow\quad ds = 6\,|\sin t\,\cos t|\,dt .$

محاسبهٔ انتگرال

$S = 2\pi\int_{0}^{\pi} 2\sin^{3}t \cdot 6|\sin t\cos t|\,dt = 24\pi\int_{0}^{\pi}\sin^{4}t\,|\cos t|\,dt .$

تابع زیرِ انتگرال نسبت به $t=\tfrac{\pi}{2}$ متقارن است (تبدیل $t\mapsto \pi-t$ را به کار ببرید)، بنابراین $S = 24\pi\cdot 2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{4}t\,\cos t\,dt = 48\pi\left[\frac{\sin^{5}t}{5}\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{48\pi}{5}.$

(تغییر متغیر $u=\sin t$، $du=\cos t\,dt$ انتگرال آخر را به $\int_{0}^{1}u^{4}\,du = \tfrac15$ تبدیل می‌کند.)

نتیجهٔ کلی

برای اَستروئیدِ $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$، مساحت رویهٔ دَوَرانی حاصل از دوران حول هر یک از دو محور برابر است با $S = \frac{12\pi a^{2}}{5},$ و با $a=2$ به $\dfrac{12\pi\cdot 4}{5} = \dfrac{48\pi}{5}$ می‌رسیم — گزینهٔ ۴.

تلهٔ رایج: اگر فقط روی $t\in[0,\pi/2]$ (یک‌چهارمِ واقع در ربع اول) انتگرال بگیرید، به $\tfrac{24\pi}{5}$ می‌رسید که دقیقاً گزینهٔ انحرافی ۲ است؛ این تنها نصفِ رویه است، زیرا کمانِ ربع دوم ($\pi/2<t<\pi$) نیز $y\ge 0$ دارد و نیمهٔ دیگر رویه را می‌سازد. به همان اندازه مهلک است که قدرمطلق را در $ds = 6|\sin t\cos t|\,dt$ حذف کنید: در آن صورت $\int_{0}^{\pi}\sin^{4}t\cos t\,dt = 0$ می‌شود و رویه «ناپدید» می‌گردد.