سوال ۳۳ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۱

خمِ مورد نظر: گلِ چهارگلبرگی

برای $r=\cos k\theta$ دسته‌بندی استاندارد می‌گوید: اگر $k$ فرد باشد گل دارای $k$ گلبرگ است و اگر $k$ زوج باشد دارای $2k$ گلبرگ. در اینجا $k=2$ زوج است، پس $r=\cos 2\theta$ یک گلِ چهارگلبرگی است.

بیایید این چهار گلبرگ را به‌صراحت ببینیم و علامت $r$ را دنبال کنیم (نقطه‌ای با $r<0$ در زاویهٔ $\theta$ در زاویهٔ $\theta+\pi$ رسم می‌شود):

بنابراین وقتی $\theta$ یک بار بازهٔ $[0,2\pi)$ را می‌پیماید، هر یک از چهار گلبرگ دقیقاً یک بار و بدون هم‌پوشانی پیموده می‌شود.

مساحت یک گلبرگ

جزء مساحت در مختصات قطبی برابر $dA=\tfrac12 r^{2}\,d\theta$ است. گلبرگِ حول نیم‌محور مثبت $x$ متناظر با $-\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}$ است (جایی که $r$ مسیر $0\to 1\to 0$ را طی می‌کند):

چون $\sin(\pm\pi)=0$، مقدار کروشه برابر $\tfrac{\pi}{4}-\left(-\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{\pi}{2}$ است، پس

$A_{\text{petal}}=\frac14\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8}.$

مساحت کل

هر چهار گلبرگ همنهشت‌اند (دوران به اندازهٔ $\tfrac{\pi}{2}$)، بنابراین

$A_{\text{total}}=4\cdot\frac{\pi}{8}=\boxed{\frac{\pi}{2}}.$

وارسی با یک دور کامل. چون گلبرگ‌ها در یک دور کامل دقیقاً یک بار پیموده می‌شوند،

$A=\frac12\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}(2\theta)\,d\theta=\frac12\cdot\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\bigl(1+\cos4\theta\bigr)d\theta=\frac14\,(2\pi)=\frac{\pi}{2},$

همان مقدار به دست می‌آید — که درستی پاسخ، یعنی گزینهٔ ۳، را تأیید می‌کند.

قاعدهٔ کلیِ ارزشمند برای به‌خاطرسپاری. برای $r=\cos k\theta$ مساحت هر گلبرگ برابر $\tfrac12\int_{-\pi/2k}^{\pi/2k}\cos^{2}k\theta\,d\theta=\tfrac{\pi}{4k}$ است. بنابراین

$A_{\text{total}}=\begin{cases} 2k\cdot\dfrac{\pi}{4k}=\dfrac{\pi}{2}, & k \text{ even},\\[6pt] k\cdot\dfrac{\pi}{4k}=\dfrac{\pi}{4}, & k \text{ odd}.\end{cases}$

تلهٔ رایج: دام اصلی، شمارش گلبرگ‌هاست. گزینهٔ ۲ ($\pi/4$) دقیقاً همان چیزی است که اگر به‌اشتباه $r=\cos 2\theta$ را گلی دوگلبرگی (پاسخ حالت $k$ فرد) در نظر بگیرید به دست می‌آید، و گزینهٔ ۱ ($\pi/8$) مساحت تنها یک گلبرگ است. همیشه ابتدا کمانِ پیموده‌شده را تعیین کنید: برای $k$ زوج، کمان‌هایی با $r$ منفی گلبرگ‌های اضافی می‌سازند و گلبرگ‌های موجود را دوباره نمی‌پیمایند.