سوال ۳۳ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۰

آزمون جملهٔ $n$-ام همه‌چیز را تعیین می‌کند

قضیه (آزمون واگرایی / آزمون جملهٔ $n$-ام). اگر $\sum_{n\ge 1} a_n$ همگرا باشد، آنگاه $a_n\to 0$. عکس نقیض: اگر $a_n\not\to 0$، سری واگرا است.

پس کافی است فقط جملهٔ عمومی را بررسی کنیم

$a_n(x)=\frac{2x^{4n}+x^{-4n}+3}{1+x^{2n}+x^{-2n}} .$

نخست توجه کنید که توان‌های منفی ایجاب می‌کنند $x\neq 0$ باشد: در $x=0$ جمله‌ها تعریف‌نشده هستند، پس $x=0$ اصلاً در دامنه نیست.

تحویل به یک متغیر مثبت

قرار می‌دهیم $t=x^{2n}$؛ چون توان زوج است، برای هر عدد حقیقی $x\neq 0$ داریم $t>0$ و $x^{4n}=t^{2}$. بنابراین

$a_n=\frac{2t^{2}+t^{-2}+3}{1+t+t^{-1}}\;\overset{\times\, t^{2}/t^{2}}{=}\;\frac{2t^{4}+3t^{2}+1}{t^{3}+t^{2}+t}=\frac{(2t^{2}+1)(t^{2}+1)}{t\,(t^{2}+t+1)} .$

این تابع گویا بر تمام $(0,\infty)$ از $0$ فاصلهٔ مثبت دارد (کران پایین مثبت):

• اگر $t\ge 1$: صورت $\ge 2t^{4}$ و مخرج $t^{3}+t^{2}+t\le 3t^{3}$ است، پس $a_n\ \ge\ \frac{2t^{4}}{3t^{3}}=\frac{2t}{3}\ \ge\ \frac{2}{3}.$
• اگر $0<t\le 1$: صورت $\ge 1$ و مخرج $t^{3}+t^{2}+t\le 3t$ است، پس $a_n\ \ge\ \frac{1}{3t}\ \ge\ \frac{1}{3}.$

بنابراین برای هر $x\neq 0$ و هر $n$ داریم $a_n(x)\ge \tfrac13$، پس $a_n\not\to 0$ و سری به ازای هر $x$ در دامنه‌اش واگرا است. یعنی گزینهٔ ۳.

سه حالت، به‌تفکیک

با $t=x^{2n}$ و $n\to\infty$:

در هیچ حالتی جملهٔ عمومی به $0$ میل نمی‌کند؛ در واقع به $+\infty$ میل می‌کند، مگر وقتی $\lvert x\rvert=1$ که در آن ثابتِ $2$ است (و $\sum 2$ نیز واگرا است). پس مجموعهٔ همگرایی تهی است: سری همواره واگرا است.

چرا گزینه‌های نادرست وسوسه‌انگیزند

نکتهٔ کنکوری: عبارت تحت $x\mapsto 1/x$ (که معادل تعویض $t\mapsto 1/t$ است) پایا می‌ماند، پس دو «انتهای» $\lvert x\rvert\to\infty$ و $\lvert x\rvert\to 0$ رفتار یکسانی دارند — بررسی یک نقطهٔ نماینده مانند $x=1$ (که در آن $a_n\equiv 2$) به‌تنهایی همهٔ گزینه‌های بازه‌ای را رد می‌کند و مسئله را در چند ثانیه تمام می‌کند.