سوال ۳۲ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۰

ضرب تلسکوپی می‌شود

هر عامل را با مخرج مشترک بنویسید:

$1+\frac{1}{k}=\frac{k+1}{k}.$

بنابراین ضرب درون رادیکال تلسکوپی می‌شود — هر صورت با مخرج بعدی ساده می‌شود:

$P_n=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{k}\right)=\prod_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k}=\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdots\frac{n+1}{n}=n+1 .$

پس دنباله‌ای که ریشهٔ $n$-اُم آن را می‌گیریم صرفاً $P_n=n+1$ است — یعنی رشدی تنها خطی دارد، نه نمایی.

گرفتن ریشهٔ $n$-اُم

$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{P_n}=\lim_{n\to+\infty}(n+1)^{1/n}.$

از دو طرف لگاریتم می‌گیریم (این کار مجاز است، زیرا $t\mapsto\ln t$ روی $(0,\infty)$ پیوسته است):

$\ln\left[(n+1)^{1/n}\right]=\frac{\ln(n+1)}{n}\xrightarrow[\;n\to\infty\;]{}0,$

زیرا $\ln(n+1)=o(n)$: با به‌کار بردن قاعدهٔ هوپیتال بر $\dfrac{\ln(x+1)}{x}$، نسبت مشتق‌ها برابر $\dfrac{1/(x+1)}{1}\to 0$ است. بنابراین، به دلیل پیوستگی تابع $\exp$،

$\lim_{n\to+\infty}(n+1)^{1/n}=e^{0}=1 .$

پاسخ گزینهٔ ۳ است.

راه دوم: قضیهٔ نسبت–ریشهٔ کوشی

اگر $a_n>0$ و $\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L$، آنگاه $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L$. با قرار دادن $a_n=P_n$،

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=1+\frac{1}{n+1}\longrightarrow 1,$

پس $\sqrt[n]{P_n}\to 1$ — همان نتیجه، بدون آنکه اصلاً ضرب را محاسبه کنیم. هم‌ارز با این، $\sqrt[n]{P_n}$ همان میانگین هندسی $n$ عدد $1+\frac1k$ است، و میانگین هندسی دنباله‌ای که به $1$ همگراست، به $1$ همگرا می‌شود.

چرا گزینه‌های انحرافی وسوسه‌انگیزند

نکتهٔ کنکوری: برای هر دنباله با رشد چندجمله‌ای داریم $\sqrt[n]{a_n}\to 1$، یعنی هر گاه $C_1 n^{p}\le a_n\le C_2 n^{q}$ با $0<C_1\le C_2$ برقرار باشد — ریشهٔ $n$-اُم تنها رشد نمایی را «می‌بیند». نخست ضرب تلسکوپی را تشخیص دهید ($\prod_{k=1}^{n}(1+\frac1k)=n+1$)، سپس این قاعده را به کار ببرید.