دنباله‌ها و سری‌های عددی: آزمون‌های همگرایی

0. دنباله‌ها — سنگِ بنا

دنبالهٔ $(a_n)_{n\ge1}$ به $L$ همگرا است اگر و تنها اگر به ازای هر $\varepsilon>0$ عددی مانند $N$ موجود باشد که برای هر $n>N$ داشته باشیم $|a_n-L|<\varepsilon$. هر گزاره‌ای دربارهٔ سری‌ها در حقیقت گزاره‌ای دربارهٔ یک دنبالهٔ خاص (دنبالهٔ مجموع‌های جزئی) است؛ پس جعبه‌ابزار دنباله‌ها مقدم است.

• قضیهٔ همگراییِ یکنوا. دنبالهٔ صعودی که از بالا کران‌دار باشد همگراست (به سوپریممِ خود)؛ دنبالهٔ نزولیِ کران‌دار از پایین به اینفیممِ خود همگراست. یکنوایی به‌تنهایی کافی نیست، کران‌داری هم به‌تنهایی کافی نیست.
• بولتزانو–وایرشتراس. هر دنبالهٔ حقیقیِ کران‌دار زیردنباله‌ای همگرا دارد. (وجود دو زیردنباله با حدهای متفاوت $\Rightarrow$ واگرایی؛ مثلاً $a_n=(-1)^n$.)
• معیار کوشی. $\mathbb{R}$ کامل است: $(a_n)$ همگراست $\iff$ کوشی است. این سلاحِ استانداردِ اثباتِ واگرایی است — بلوک‌هایی با $|a_n-a_m|\ge\varepsilon_0$ نشان دهید.
• نسبت $\Rightarrow$ ریشه. اگر $a_n>0$ و $\lim\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L$ آنگاه $\lim\sqrt[n]{a_n}=L$ (عکسِ آن نادرست است). این قضیه بیشتر حدهای ریشهٔ $n$‌ام را یک‌ضرب حل می‌کند: $\sqrt[n]{\dfrac{n!}{n^{n}}}\to\dfrac1e$ و $\sqrt[n]{\dbinom{2n}{n}}\to4$.
• چزارو / اشتولتس–چزارو. اگر $a_n\to L$ آنگاه میانگین‌های حسابی $\dfrac{a_1+\cdots+a_n}{n}\to L$، و (برای $a_n>0$) میانگین‌های هندسی $\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\to L$. اشتولتس–چزارو همان هوپیتالِ گسسته است: اگر $b_n\uparrow\infty$ اکیداً و $\dfrac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\to L$ آنگاه $\dfrac{a_n}{b_n}\to L$.
• استرلینگ. $n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}$، و در نتیجه $\sqrt[n]{n!}\sim\dfrac{n}{e}$.
• حدهای استاندارد. $\sqrt[n]{n}\to1$، $\sqrt[n]{a}\to1$ برای $a>0$، $\left(1+\tfrac{x}{n}\right)^{n}\to e^{x}$، $\dfrac{\ln n}{n^{\alpha}}\to0$ و $\dfrac{n^{k}}{c^{n}}\to0$ برای $\alpha>0$ و $c>1$.
• ریشهٔ $n$‌امِ حاصل‌ضربِ کامل. وقتی خودِ دنباله یک حاصل‌ضرب است، $\sqrt[n]{a_n}$ یک میانگین هندسی است؛ نخست حاصل‌ضرب را تلسکوپی کنید و سپس قاعدهٔ مقیاسِ رشدِ بخش ۱۲ را به کار ببرید — ریشهٔ $n$‌ام فقط رشدِ نمایی را تشخیص می‌دهد.

1. سری چیست

با داشتن دنبالهٔ $(a_n)$، سریِ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ حدِ مجموع‌های جزئیِ $s_N=\sum_{n=1}^{N} a_n$ است. این سری به $s$ همگرا است اگر و تنها اگر $s_N\to s$؛ در غیر این صورت واگرا است. هر پرسشِ همگرایی، در واقع پرسشی دربارهٔ دنبالهٔ $(s_N)$ است.

برای سری با جملات مثبت ($a_n>0$) مجموع‌های جزئی صعودی‌اند، پس همگرایند اگر و تنها اگر از بالا کران‌دار باشند. همین یک واقعیت توضیح می‌دهد که چرا آزمون‌های مقایسه‌ای بر حالت مثبت مسلط‌اند: کران‌دار کردن جملات، مجموع‌ها را کران‌دار می‌کند.

معیار کوشی برای سری‌ها. $\sum a_n$ همگراست اگر و تنها اگر به ازای هر $\varepsilon>0$ عددی مانند $N$ موجود باشد که برای هر $n>m\ge N$ داشته باشیم $\left|\sum_{k=m+1}^{n}a_k\right|<\varepsilon$. (قرار دادن $n=m+1$ همان شرط $a_n\to0$ را بازمی‌گرداند.)

همگرایی مطلق. $\sum a_n$ مطلقاً همگراست هرگاه $\sum |a_n|$ همگرا باشد، و همگرایی مطلق $\Rightarrow$ همگراییِ معمولی. پس برای سریِ متناوب‌العلامه نخست ماشین‌آلاتِ جملاتِ مثبت را روی $\sum|a_n|$ به کار می‌بریم.

خطی‌بودن و دُم‌ها. اگر هر دو سری همگرا باشند، $\sum(\alpha a_n+\beta b_n)=\alpha\sum a_n+\beta\sum b_n$؛ ضرب همهٔ جملات در یک ثابت ناصفر (به‌ویژه در $-1$) نه همگرایی را تغییر می‌دهد و نه واگرایی را، فقط علامت/مقیاسِ مجموع را عوض می‌کند. تغییر، افزودن یا حذفِ متناهی جمله هرگز بر همگرایی اثر ندارد — تنها بر مقدار.

2. قضایای اصلی (فرض‌ها مهم‌اند)

• آزمون جملهٔ $n$‌ام (آزمون واگرایی). اگر $a_n\not\to 0$، سری واگراست. عکسِ آن نادرست است: $a_n\to 0$ همگرایی را نتیجه نمی‌دهد — سری همساز $\sum \tfrac1n$ مثال نقضِ کلاسیک است.
• سری هندسی. $\sum_{n\ge0} ar^{n}$ همگراست اگر و تنها اگر $|r|<1$، با مجموع $\dfrac{a}{1-r}$.
• سری $p$. $\sum \dfrac{1}{n^{p}}$ همگراست اگر و تنها اگر $p>1$. (حالت مرزیِ $p=1$ واگراست.)
• مقایسهٔ مستقیم. اگر سرانجام $0\le a_n\le b_n$: همگراییِ $\sum b_n$ $\Rightarrow$ همگراییِ $\sum a_n$؛ واگراییِ $\sum a_n$ $\Rightarrow$ واگراییِ $\sum b_n$.
• مقایسهٔ حدی. برای $a_n,b_n>0$ قرار دهید $L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}$. اگر $0<L<\infty$، سرنوشتِ دو سری یکی است. اگر $L=0$ و $\sum b_n$ همگرا باشد، $\sum a_n$ همگراست. اگر $L=\infty$ و $\sum b_n$ واگرا باشد، $\sum a_n$ واگراست.
• آزمون نسبت. با $L=\lim\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$: اگر $L<1$ سری (مطلقاً) همگراست، اگر $L>1$ واگراست، و در $L=1$ بی‌نتیجه است.
• آزمون ریشه. با $L=\lim \sqrt[n]{|a_n|}$: اگر $L<1$ همگرا، اگر $L>1$ واگرا، و در $L=1$ بی‌نتیجه. اکیداً قوی‌تر از آزمون نسبت است (بهترین گزینه برای توان‌های $n$‌ام).
• آزمون رابه (چارهٔ همیشگی وقتی آزمون نسبت $L=1$ می‌دهد). برای $a_n>0$ قرار دهید $R=\lim n\left(\dfrac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)$: اگر $R>1$ همگرا، اگر $R<1$ واگرا، و در $R=1$ بی‌نتیجه.
• آزمون انتگرال. اگر $f\ge0$ نزولی باشد و $f(n)=a_n$، آنگاه $\sum a_n$ و $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ هم‌سرنوشت‌اند.
• چگالشِ کوشی. اگر $a_n\ge0$ نزولی باشد، $\sum a_n$ و $\sum 2^{k}a_{2^{k}}$ هم‌سرنوشت‌اند. یک سطر، هم آستانهٔ سری $p$ را می‌دهد و هم مقیاس برتران $\sum_{n\ge2}\dfrac{1}{n(\ln n)^{p}}$ را، که همگراست اگر و تنها اگر $p>1$ — مثالِ استانداردِ «درست کمی آن‌سوی همساز».
• سری متناوب (لایب‌نیتس). اگر $b_n\ge0$ نزولی باشد و $b_n\downarrow 0$، آنگاه $\sum(-1)^{n}b_n$ همگراست، مجموع میان هر دو مجموع جزئیِ متوالی قرار می‌گیرد، و کرانِ باقی‌مانده برابرِ $\left|s-s_N\right|\le b_{N+1}$ است.
• آزمون دیریکله (تعمیم لایب‌نیتس). اگر مجموع‌های جزئیِ $\sum b_n$ کران‌دار باشند و $a_n\downarrow0$، آنگاه $\sum a_nb_n$ همگراست. با $b_n=(-1)^{n}$ همان لایب‌نیتس به دست می‌آید؛ با $b_n=\sin n$ همگراییِ $\sum\dfrac{\sin n}{n}$ نتیجه می‌شود.
• آزمون آبل. اگر $\sum b_n$ همگرا و $(a_n)$ یکنوا و کران‌دار باشد، آنگاه $\sum a_nb_n$ همگراست.

3. روش — یک الگوریتم تصمیم‌گیری

1. آیا $a_n\to 0$؟ اگر نه، همین‌جا تمام: واگرا. اگر بله، این هیچ‌چیز را ثابت نمی‌کند — ادامه دهید.
2. آیا مقدار دقیقِ مجموع خواسته شده است؟ (گزینه‌ها سه عددِ صریح‌اند به‌علاوهٔ «واگراست».) در این صورت هیچ آزمونی کار را تمام نمی‌کند: به دنبال ساختارِ هندسی یا تلسکوپی بگردید و $s_N$ را به فرم بسته محاسبه کنید.
3. خانواده را بشناسید: هندسی، سری $p$، برترانِ $\dfrac{1}{n(\ln n)^p}$، یا تلسکوپی (یعنی $a_n=c_n-c_{n+1}$).
4. فاکتوریل / نمایی در جملهٔ عمومی $\Rightarrow$ آزمون نسبت (اگر $1$ داد، سراغ رابه بروید). توان‌های $n$‌ام ($a_n=(\cdots)^n$) $\Rightarrow$ آزمون ریشه.
5. جملات گویا / جبری / مثلثاتی یا لگاریتمی از $\tfrac1n$ $\Rightarrow$ رفتار مجانبیِ غالب $a_n\sim c\,n^{-p}$ را بیابید و مقایسهٔ حدی با سری $p$ یعنی $\sum n^{-p}$ انجام دهید.
6. تغییر علامت $\Rightarrow$ نخست $\sum|a_n|$ را بیازمایید؛ اگر نتیجه نداد، سه فرضِ لایب‌نیتس را وارسی کنید (مثبت، یکنوا، میل به $0$)؛ اگر یکنوایی برقرار نبود، دیریکله/آبل را امتحان کنید یا سری را تجزیه کنید.
7. مثبت، نزولی، با پادمشتقِ آسان $\Rightarrow$ آزمون انتگرال؛ مثبت، نزولی و سازگار با توان‌های دو $\Rightarrow$ چگالش.
8. جملهٔ عمومی به شکل $c_na_n$ با یک $\sum a_n$ همگرای انتزاعی $\Rightarrow$ تعیین کنید که آیا وزنِ $(c_n)$ کران‌دار است (بخش ۱۱)؛ اگر بی‌کران بود، با یک مثال نقضِ جیبی ($a_n=n^{-2}$ یا $a_n=n^{-3/2}$) ردّش کنید.
9. جملهٔ عمومی به پارامترِ $x$ وابسته است $\Rightarrow$ $x$ را ثابت بگیرید، به دامنه محدود شوید، و آزمون جملهٔ $n$‌ام را پیش از هرگونه شکارِ بازه اجرا کنید (بخش ۱۳).

4. مجموع‌های دقیق: هندسی و تلسکوپی

تنها دو سازوکار در کنکور فرم بسته می‌دهند.

هندسی. $\sum_{n\ge0}ar^{n}=\dfrac{a}{1-r}$ برای $|r|<1$؛ جابه‌جاییِ اندیسِ شروع فقط صورت را تغییر می‌دهد: $\sum_{n\ge m}ar^{n}=\dfrac{ar^{m}}{1-r}$.

تلسکوپی. اگر $a_n=b_n-b_{n+1}$ باشد، همه‌چیز دوبه‌دو حذف می‌شود: $s_N=\sum_{n=1}^{N}(b_n-b_{n+1})=b_1-b_{N+1},\qquad \sum_{n=1}^{\infty}a_n=b_1-\lim_{N\to\infty}b_{N}.$ پس سری همگراست اگر و تنها اگر $(b_N)$ همگرا باشد، و مجموع صرفاً جملهٔ اول منهای حد است. برای تلسکوپِ $k$‌گامیِ $a_n=b_n-b_{n+k}$، $s_N=\sum_{j=1}^{k}b_j-\sum_{j=1}^{k}b_{N+j}\ \longrightarrow\ (b_1+\cdots+b_k)-k\ell,\qquad \ell=\lim b_n .$

چگونه تلسکوپ را پیدا کنیم — پنج چهرهٔ تکرارشونده:

1. کسرهای جزئی. $\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac1n-\dfrac1{n+1}$ (مجموع $1$)؛ $\dfrac{1}{n(n+2)}=\tfrac12\left(\dfrac1n-\dfrac1{n+2}\right)$ (مجموع $\tfrac34$)؛ $\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\tfrac12\left(\dfrac{1}{n(n+1)}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$ (مجموع $\tfrac14$).
2. گویا کردنِ رادیکال‌ها. $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$، و مفیدتر از آن $\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}$.
3. لگاریتم‌ها و حاصل‌ضرب‌ها. $\ln\dfrac{n+1}{n}=\ln(n+1)-\ln n$ تلسکوپی می‌شود و به $\ln(N+1)\to\infty$ می‌رسد (یک تلسکوپِ واگرا — همین سازوکار به‌همان خوبی واگرایی را هم ثابت می‌کند). حاصل‌ضرب‌های تلسکوپی: $\prod_{n=2}^{N}\left(1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)=\prod_{n=2}^{N}\dfrac{(n-1)(n+1)}{n^{2}}=\dfrac{N+1}{2N}\to\dfrac12$ (بحث کامل در بخش ۱۲).
4. اتحادهای آرک‌تانژانتی / مثلثاتی. $\arctan\dfrac{1}{n^{2}+n+1}=\arctan(n+1)-\arctan n$، پس $\sum_{n\ge1}$ آن برابر است با $\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}$.
5. تشخیصِ تفاضل. از شکلِ $a_n$، عبارتِ $b_n$ را حدس بزنید (اغلب $b_n=n^{-1/2}$، $n^{-1}$، $\ln n$، $\arctan n$) و اتحاد $a_n=b_n-b_{n+1}$ را جبری وارسی کنید.

5. مثالِ کوتاهِ حل‌شدهٔ الف — تلسکوپی با گویا کردن

مخرجی که $n$ و $\sqrt{n}$ را متقارن با هم می‌آمیزد، تلسکوپی در لباس مبدل است. بگیرید $a_n=\frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n}} .$ گام ۱ — تجزیه. $n\sqrt{n+1}=\sqrt{n}\sqrt{n}\sqrt{n+1}$ و $(n+1)\sqrt{n}=\sqrt{n}\sqrt{n+1}\sqrt{n+1}$، پس مخرج برابر است با $\sqrt{n}\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)$.

گام ۲ — گویا کردن با مزدوج، به کمکِ $\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=1$: $a_n=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}} .$

گام ۳ — تلسکوپ. $s_N=1-\dfrac{1}{\sqrt{N+1}}\to 1$، پس مجموع دقیقاً $b_1=1$ است.

وارسیِ متقاطع با یک آزمون: $a_n\sim\dfrac{1}{2}n^{-3/2}$ و $p=\tfrac32>1$، پس همگرایی مستقلاً تأیید می‌شود — اما آزمون به‌تنهایی فقط گزینهٔ «واگراست» را حذف می‌کرد و سه عدد را برای حدس زدن باقی می‌گذاشت.

6. مثالِ کوتاهِ حل‌شدهٔ ب — مجانب‌ها به‌علاوهٔ مقایسهٔ حدی

دربارهٔ $\sum_{n=1}^{\infty} n\sin^{2}\tfrac1n$ تصمیم بگیرید. جملهٔ عمومی $\to 0$ است، پس آزمون جملهٔ $n$‌ام بی‌نتیجه است. با استفاده از $\sin x\sim x$ وقتی $x\to0$، $n\sin^{2}\tfrac1n \sim n\cdot\left(\tfrac1n\right)^{2}=\tfrac1n .$ مقایسهٔ حدی با سری همساز: $\lim_{n\to\infty}\dfrac{n\sin^{2}(1/n)}{1/n}=1\in(0,\infty)$. چون $\sum\tfrac1n$ واگراست، سری واگراست.

آن را با سریِ به‌ظاهر بسیار شبیهِ $\sum \left(\tfrac{\ln n}{n}\right)'=\sum \dfrac{1-\ln n}{n^{2}}$ مقایسه کنید: قدرمطلقِ جملهٔ آن $\le \dfrac{\ln n}{n^{2}}=O\!\left(n^{-3/2}\right)$ است و زیرِ سلطهٔ سری $p$ همگرا با $p=\tfrac32>1$ قرار می‌گیرد، پس (مطلقاً) همگراست. همان شهودِ مقیاسِ $\tfrac1n$، اما حکمِ وارونه — توان است که تصمیم می‌گیرد.

7. جعبه‌ابزارِ مجانبی (چگونه $p$ را بخوانیم)

هر پرسشِ «$a_n\to0$ است، حالا چه؟» با بسطِ جملهٔ عمومی تا مرتبهٔ اول فیصله می‌یابد. این جدول را حفظ کنید؛ هر سطر آن یک مولّدِ سؤال کنکور است.

موتورِ پشتِ سطرهای ۳ تا ۵ همان $e^{t}-1=t+\tfrac{t^{2}}{2}+O(t^{3})$ با $t\to0$ است: هر جمله‌ای از نوع «ریشه منهای یک» هم‌اندازهٔ همساز است، پس به‌عنوان سریِ مثبت واگراست، هرچقدر هم که کوچک به نظر برسد.

8. همگرایی مطلق در برابر همگرایی مشروط

$\sum a_n$ مشروطاً همگرا است هرگاه خودش همگرا ولی $\sum|a_n|$ واگرا باشد — نمونهٔ اصلی $\sum\dfrac{(-1)^{n}}{n}$ است، و هر $\sum(-1)^{n}b_n$ با $b_n\downarrow0$ در مقیاسِ همساز از همین نوع است.

• هر سه فرضِ لایب‌نیتس لازم‌اند. حذفِ یکنوایی آزمون را از کار می‌اندازد: با $b_n=\tfrac1n$ برای $n$ زوج و $b_n=\tfrac1{n^{2}}$ برای $n$ فرد، داریم $b_n\to0$، ولی $\sum(-1)^{n}b_n$ واگراست (تجزیهٔ سری یک دُمِ همساز آشکار می‌کند). یکنوایی فقط سرانجام لازم است.
• قضیهٔ بازآراییِ ریمان. یک سری حقیقیِ مشروطاً همگرا را می‌توان چنان بازآرایی کرد که به هر مقدار حقیقیِ از پیش داده‌شده، یا به $\pm\infty$ همگرا شود. سری مطلقاً همگرا نسبت به بازآرایی ناوردا است (و حاصل‌ضرب کوشیِ آن با سری مطلقاً همگرای دیگر به حاصل‌ضربِ مجموع‌ها همگراست).
• ساختارِ علامت مهم است، نه صرفِ وجودِ علامت. $\sum(-1)a_n=-\sum a_n$: عاملِ ثابت بیرون کشیده می‌شود و هرگز نمی‌تواند واگرایی را ترمیم کند. تنها عاملِ حقیقتاً متناوبی مانند $(-1)^{n}$ آن حذف‌وتعدیلی را می‌سازد که لایب‌نیتس از آن بهره می‌برد.

زوجِ کلاسیکِ تفکیک‌کننده. با $a_n=\sqrt[n]{2}-1=e^{(\ln2)/n}-1\sim\dfrac{\ln 2}{n}$: سریِ $\sum(-1)a_n=-\sum a_n=-\infty$ واگراست (مقایسهٔ حدی با سری همساز، $\lim n\,a_n=\ln2\in(0,\infty)$)، حال آنکه $\sum(-1)^{n}a_n$ مشروطاً همگراست، زیرا $a_n$ مثبت و نزولی است (چون $2^{t}$ صعودی است و $\tfrac1n\downarrow0$) و به $0$ میل می‌کند، پس لایب‌نیتس با $|s|\le a_1$ برقرار است. بنابراین دو سری که تنها در جایگاهِ توان با هم فرق دارند، در دو سوی متقابل می‌نشینند.

9. گونه‌ها — کدام آزمون، در یک نگاه

تله‌های «کدام شرط همگرایی را تضمین می‌کند؟». یک سؤالِ پرتکرارِ کنکور فرض‌های نامزد را روی $a_n$‌های مثبت فهرست می‌کند و می‌پرسد کدام‌یک همگراییِ $\sum a_n$ را تضمین می‌کند. نکات کلیدی:

• یک حدِ متناهی برای ریشه/نسبت ($\sqrt[n]{a_n}\to L\in\mathbb{R}$ یا $\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L\in\mathbb{R}$) کافی نیست — این آزمون‌ها فقط در $L<1$ نتیجه می‌دهند، و $L=1$ همان مرزِ همساز است ($a_n=1$ یا $a_n=\tfrac1n$ هر دو را از کار می‌اندازد).
• در مقایسهٔ حدی، جهت تعیین‌کننده است: $\dfrac{b_n}{a_n}\to\infty$ (با جملات مثبت) $\Longrightarrow$ سرانجام $a_n<b_n$، پس همگراییِ $\sum b_n$ سرِ $\sum a_n$ را هم پایین می‌کشد (این همان شرط کافی است). اما نسبتِ متناهی — به‌ویژه $0$ — امکانِ بزرگ‌تر بودنِ $a_n$ را باقی می‌گذارد و هیچ چیزی ثابت نمی‌کند.

10. گوهرِ مرزی: سریِ مجموع‌های جزئی (آبل–دینی)

فرض کنید $a_n>0$ و $\sum a_n$ واگرا باشد، پس $s_n=\sum_{k=1}^{n}a_k\uparrow\infty$. آنگاه $\sum \frac{a_n}{s_n}\ \text{diverges},\qquad \sum \frac{a_n}{s_n^{2}}\ \text{converges}.$ ایدهٔ اثبات: یک بلوکِ کوشی کرانِ پایینِ $\sum_{k=m+1}^{n}\tfrac{a_k}{s_k}\ge \tfrac{s_n-s_m}{s_n}=1-\tfrac{s_m}{s_n}$ را می‌دهد، که برای $n$‌های بزرگ $\ge\tfrac12$ می‌ماند (کوشی نیست $\Rightarrow$ واگراست)؛ در حالی که $\tfrac{a_n}{s_n^{2}}\le \tfrac{1}{s_{n-1}}-\tfrac{1}{s_n}$ تلسکوپی می‌شود (کران‌دار $\Rightarrow$ همگرا). به‌طور کلی‌تر $\sum \tfrac{a_n}{s_n^{\alpha}}$ همگراست اگر و تنها اگر $\alpha>1$ — دقیقاً همان آستانهٔ سری $p$، که با گرفتنِ $a_n=1$ و در نتیجه $s_n=n$ بازیابی می‌شود.

11. سری‌های وزن‌دار — چه هنگام $\sum c_na_n$ همگرایی را به ارث می‌برد؟

یک خانوادهٔ کاملِ کنکوری چنین است: «$\sum a_n$ همگراست و $(a_n)$ نزولی است؛ کدام‌یک از موارد زیر همگراست؟»، و پس از آن چهار بازوزن‌دهی از همان جملات می‌آید. چهار واقعیت هر سؤالی از این دست را فیصله می‌دهد.

(الف) نزولی $+$ همگرا $\Rightarrow$ نامنفی. همگرایی ایجاب می‌کند $a_n\to0$؛ حال $n$ را ثابت بگیرید و در نامساویِ $a_n\ge a_m$ (که به‌دلیل نزولی بودنِ دنباله معتبر است) $m\to\infty$ کنید تا $a_n\ge0$ برای هر $n$ به دست آید. پس همهٔ سری‌های نامزد جملاتِ نامنفی دارند، آزمون‌های مقایسه مستقیماً کاربرد دارند، و یک مثال نقضِ صریح برای ردّ یک گزینه کافی است.

(ب) اصلِ ضریبِ کران‌دار. فرض کنید $a_n\ge0$ و $\sum a_n<\infty$.

• اگر برای هر $n$ داشته باشیم $\lvert c_n\rvert\le M$، آنگاه $\sum c_na_n$ مطلقاً همگراست (مقایسهٔ مستقیم با $M\sum a_n$).
• اگر $c_n\to c\neq0$، آنگاه $\sum c_na_n$ و $\sum a_n$ هم‌سرنوشت‌اند (مقایسهٔ حدی) — وزن را می‌توان به‌سادگی حذف کرد.
• اگر $(c_n)$ بی‌کران باشد، هیچ تضمینی نیست و معمولاً حکم شکست می‌خورد: $a_n$ را چنان انتخاب کنید که به‌قدر کافی سریع میرا شود تا جمع‌پذیر باشد، ولی نه آن‌قدر سریع که بر $c_n$ غلبه کند.

پس در فهرست گزینه‌ها، وزنِ کران‌دار پاسخ است. وزن‌های کران‌دارِ متداول: $\sqrt[n]{n}$، $(-1)^{n}$، $\sin n$، $\arctan n$، $\dfrac{n}{n+1}$، $\left(1+\tfrac1n\right)^{n}\le e$، $\tfrac1n$. وزن‌های بی‌کرانِ متداول: $\sqrt{n}$، $\dfrac{n+1}{\sqrt n}$، $\ln n$، $n^{\varepsilon}$، $2^{n}$، $3^{n}$.

چرا $\sqrt[n]{n}$ کران‌دار است: تابعِ $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ را بیشینه کنید؛ چون $g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$ در $x=e$ صفر می‌شود، نتیجه می‌گیریم $x^{1/x}\le e^{1/e}\approx1.4447$، و روی اعداد صحیح بیشینه در $n=3$ رخ می‌دهد: $1\le\sqrt[n]{n}\le\sqrt[3]{3}\approx1.4422<2\qquad(n\ge1),$ و بنابراین $0\le\sqrt[n]{n}\,a_n\le 2a_n$. توجه کنید که در اینجا اصلاً از یکنوایی $(a_n)$ استفاده نشد — تنها نامنفی بودن بارِ استدلال را می‌برد.

(ج) دو تلهٔ ساختاری.

• چگالشِ قلابی. چگالشِ کوشی می‌گوید $\sum a_n<\infty\iff\sum 2^{k}a_{2^{k}}<\infty$ (برای $a_n\downarrow0$): وزنِ $2^{k}$ و اندیسِ $2^{k}$ باید با هم بخوانند. گزینه‌ای مانند $\sum 3^{n}a_{2n}$ وزنی نمایی را در برابر اندیسی خطی می‌گذارد و اصلاً چگالش نیست — با $a_n=n^{-2}$ جملهٔ آن برابر $\dfrac{3^{n}}{4n^{2}}\to\infty$ است، پس با آزمون جملهٔ عمومی واگراست. هرگز $a_{2n}$ را $a_{2^{n}}$ نخوانید.
• یک ثابتِ جمع‌شونده در صورت. $\displaystyle\sum\frac{a_1+a_n}{n}=a_1\sum\frac1n+\sum\frac{a_n}{n}$. تکهٔ دوم همیشه همگراست ($\tfrac1n$ وزنی کران‌دار است)، اما تکهٔ اول $a_1$ برابرِ سری همساز است، پس هرگاه $a_1>0$ باشد کلِ سری واگراست. تکهٔ همگرا $+$ تکهٔ واگرا $=$ واگرا: سری‌های مثبت هرگز یکدیگر را حذف نمی‌کنند.

(د) قضیهٔ اولیویه (یک شرط لازمِ مجانی). اگر $(a_n)$ نزولی باشد و $\sum a_n$ همگرا، آنگاه $n\,a_n\to0$، یعنی $a_n=o\!\left(\tfrac1n\right)$. اثبات: بنا بر معیار کوشی $a_{m+1}+\cdots+a_{2m}\to0$، و یکنوایی این بلوک را از پایین به $m\,a_{2m}$ کران می‌دهد، پس $2m\,a_{2m}\to0$؛ اندیس‌های فرد نیز از $a_{2m+1}\le a_{2m}$ نتیجه می‌شوند. این قضیه مرز را دقیقاً میخکوب می‌کند: وزنی که دقیقاً مانند $n$ رشد کند بحرانی است، و هر چیز سریع‌تر (یا نمایی) بی‌امید است.

مثالِ کوتاهِ حل‌شدهٔ ج — غربال کردنِ فهرستِ گزینه‌های یک سری وزن‌دار

فرض‌ها: $(a_n)$ نزولی با $\sum a_n<\infty$ (و در نتیجه $a_n\ge0$ و $a_n=o(1/n)$). دو دنبالهٔ جیبی را آماده نگه دارید — $a_n=n^{-2}$ و $a_n=n^{-3/2}$، که هر دو نزولی و جمع‌پذیرند.

نکتهٔ کنکوری: در سؤالِ «کدام بازوزن‌دهی جان سالم به در می‌برد؟»، چهار وزن را از نظر بگذرانید و آن یکی را بیابید که کران‌دار است (یا به حدی متناهی و ناصفر میل می‌کند) — همان گزینهٔ همگراست، و فرضِ یکنوایی برای آن شاهدِ گمراه‌کننده است. سه گزینهٔ دیگر را با دنباله‌های جیبیِ $n^{-2}$ و $n^{-3/2}$ رد کنید.

12. حاصل‌ضرب‌های نامتناهی و ریشهٔ $n$‌امِ یک دنباله

حاصل‌ضرب‌های تلسکوپی. دقیقاً مانند مجموع‌ها: اگر $u_k=\dfrac{b_{k+1}}{b_k}$ آنگاه $P_n=\prod_{k=1}^{n}u_k=\frac{b_{n+1}}{b_1}\qquad\text{(last over first).}$ نمونه‌های پرتکرار:

معیار همگرایی برای حاصل‌ضرب‌ها. بنویسید $u_k=1+v_k>0$ و لگاریتم بگیرید: $\ln P_n=\sum_{k\le n}\ln(1+v_k)$. پس $P_n$ به حدی ناصفر میل می‌کند اگر و تنها اگر $\sum\ln(1+v_k)$ همگرا باشد؛ و هرگاه $v_k\to0$ با علامتی ثابت باشد، $\ln(1+v_k)\sim v_k$ و قاعدهٔ عملیِ زیر به دست می‌آید: $\prod_{k}(1+v_k)\ \text{converges to a nonzero limit}\iff\sum_k v_k\ \text{converges}\qquad(v_k\ \text{of constant sign},\ v_k\to0).$ دقیقاً به همین دلیل است که $\prod\left(1+\tfrac1k\right)$ منفجر می‌شود (وزنِ همساز) در حالی که $\prod\left(1-\tfrac{1}{k^{2}}\right)$ همگراست ($p=2$) — هر سؤالِ حاصل‌ضرب، سؤالی دربارهٔ سری است در لباس مبدل.

ریشهٔ $n$‌ام فقط مقیاسِ نمایی را می‌بیند. برای $a_n>0$ داریم $\sqrt[n]{a_n}=e^{(\ln a_n)/n}$، پس $\frac{\ln a_n}{n}\to\lambda\ \Longrightarrow\ \sqrt[n]{a_n}\to e^{\lambda}.$ به‌ویژه $\ln a_n=o(n)$ — یعنی هر چیزی در مقیاس چندجمله‌ای یا لگاریتمی — ایجاب می‌کند $\sqrt[n]{a_n}\to1$. هم‌ارز آنکه: اگر $C_1n^{p}\le a_n\le C_2n^{q}$ با $0<C_1\le C_2$، آنگاه $\sqrt[n]{a_n}\to1$.

برای هر سطر دو مسیرِ مستقل وجود دارد: (i) لگاریتم‌گیری به‌همراه اشتولتس–چزارو/هوپیتال؛ (ii) قضیهٔ نسبت $\Rightarrow$ ریشه از بخش ۰، یعنی $\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=L\Rightarrow\lim\sqrt[n]{a_n}=L$، که معمولاً سریع‌تر است چون نسبتِ حاصل‌ضرب‌ها و فاکتوریل‌ها ساده می‌شود.

مثالِ کوتاهِ حل‌شدهٔ د — ریشهٔ $n$‌امِ یک حاصل‌ضربِ تلسکوپی

مقدار $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac1k\right)}$ را بیابید.

گام ۱ — تلسکوپ. $\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k}=\frac21\cdot\frac32\cdots\frac{n+1}{n}=n+1$: حاصل‌ضرب فقط خطی رشد می‌کند.

گام ۲ — ریشه‌گیری. $\sqrt[n]{n+1}=e^{\ln(n+1)/n}\to e^{0}=1$، چون $\ln(n+1)=o(n)$.

گام ۳ — وارسیِ متقاطع بدون محاسبهٔ حاصل‌ضرب. با همان $P_n$، داریم $\dfrac{P_{n+1}}{P_n}=1+\dfrac{1}{n+1}\to1$، پس قضیهٔ نسبت $\Rightarrow$ ریشه می‌دهد $\sqrt[n]{P_n}\to1$؛ هم‌ارز آنکه $\sqrt[n]{P_n}$ همان میانگین هندسیِ اعدادی است که به $1$ میل می‌کنند، و قضیهٔ چزارو برای میانگین‌های هندسی مقدار $1$ را برمی‌گرداند.

سه گزینهٔ انحرافیِ استاندارد: $e$ (وارد کردنِ نابه‌جای $\left(1+\tfrac1n\right)^{n}\to e$، که در آن توان $n$ است نه $\tfrac1n$)، $+\infty$ (دیدنِ $P_n\to\infty$ و فراموش کردنِ اینکه ریشهٔ $n$‌ام رشدِ چندجمله‌ای را نابود می‌کند)، و $0$ (توقف در $\tfrac{\ln P_n}{n}\to0$ بدون بازگشت با تابع نمایی).

13. سری‌های تابعی: یافتنِ مجموعهٔ همگرایی

برای $\sum_{n\ge1}f_n(x)$ آنچه باید یافت مجموعهٔ همگرایی $C=\{x\in D:\ \sum_n f_n(x)\ \text{converges}\}$ است، که در آن $D$ دامنهٔ مشترک است. تعبیر «بازهٔ همگرایی» از سری‌های توانی به ارث رسیده است؛ برای یک سری تابعیِ عمومی، $C$ لزوماً بازه نیست — می‌تواند یک تک‌نقطه، اجتماعی از چند تکه، یا تهی باشد.

دستورالعمل.

1. نخست دامنه. هر $x$ را که در آن برخی $f_n(x)$ تعریف‌نشده است حذف کنید: توان‌های منفیِ $x^{-kn}$ ایجاب می‌کنند $x\neq0$، لگاریتم‌ها مثبت بودن را می‌طلبند، و مخرج‌ها نباید صفر شوند. چنین نقطه‌ای نقطهٔ واگرایی نیست — اصلاً در بازی نیست.
2. آزمون جملهٔ $n$‌ام، نقطه‌به‌نقطه. $x$ را ثابت بگیرید و $\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ را حساب کنید. اگر این حد برای هر $x$ مجاز، $0$ نشود، آنگاه $C=\varnothing$: سری همواره واگرا است و هیچ گزینهٔ بازه‌شکلی نمی‌تواند درست باشد. این وارسیِ یک‌خطی، ارزان‌ترین حرکتِ آغازین است و از هر آزمون نسبتی جلو می‌زند.
3. تحویل به یک متغیر. اگر $x$ فقط از راهِ $t=x^{n}$، $t=x^{2n}$، $t=e^{-nx}$، … وارد شود، تعویضِ متغیر کنید: جملهٔ عمومی به $f_n(x)=g(t)$ برای تابعِ ثابتِ $g$ تبدیل می‌شود و تحلیل به سه ناحیهٔ $t\to0^{+}$، $t\equiv1$ و $t\to+\infty$ تجزیه می‌شود — یعنی $0<\lvert x\rvert<1$، $\lvert x\rvert=1$ و $\lvert x\rvert>1$.
4. لمِ مثبت بودن. اگر $g:(0,\infty)\to(0,\infty)$ پیوسته باشد و هم وقتی $t\to0^{+}$ و هم وقتی $t\to+\infty$ داشته باشیم $g(t)\to+\infty$، آنگاه $\inf_{t>0}g(t)=\delta>0$. در نتیجه $f_n(x)=g(x^{2n})\ge\delta$ برای هر $n$ و هر $x$ مجاز، و سری در همه‌جا واگراست. برای تشخیصِ آن دو انفجار، تنها یک شمارشِ درجه برحسب $t$ در هر دو انتها کافی است.
5. تقارنِ $x\mapsto 1/x$. وقتی جملهٔ عمومی هم از $x^{kn}$ و هم از $x^{-kn}$ ساخته شده باشد، تعویضِ $t\mapsto1/t$ دو ناحیهٔ $0<\lvert x\rvert<1$ و $\lvert x\rvert>1$ را با هم عوض می‌کند؛ پس تحلیلِ یکی از آن‌ها به‌علاوهٔ حالتِ $\lvert x\rvert=1$، تکلیفِ کلِ محور را روشن می‌کند.
6. یک نقطهٔ مناسب را امتحان کنید. جای‌گذاریِ $x=1$ (یا $x=\pm1$، $x=2$) اغلب جملهٔ عمومی را به یک ثابتِ $c\neq0$ تبدیل می‌کند، و $\sum c$ واگراست — همین برای حذفِ یکبارهٔ هر گزینه‌ای که مدعیِ همگرایی روی بازه‌ای شامل آن نقطه است کافی است.
7. تنها در پایان آزمون نسبت/ریشه را برحسب $x$ اجرا کنید تا شرطِ $\lvert x\rvert<R$ به دست آید، و هر نقطهٔ انتهایی را جداگانه بررسی کنید. این همان حالتِ خاصِ سری توانی است، که در آن $C$ واقعاً یک بازه است، احتمالاً با یکی از دو نقطهٔ انتهایی چسبیده به آن.

نسبت با همگرایی یکنواخت. همگراییِ نقطه‌به‌نقطه روی یک مجموعه برای همگرایی یکنواخت روی آن لازم است، و آزمون M‌ِ وایرشتراس ($\lvert f_n(x)\rvert\le M_n$ روی $E$ با $\sum M_n<\infty$) یک کرانِ جمع‌پذیر را به همگراییِ یکنواخت و مطلق روی $E$ ارتقا می‌دهد. اگر جملات حتی به‌طور نقطه‌به‌نقطه به $0$ میل نکنند، هیچ گزارهٔ یکنواختی قابل نجات نیست.

تلهٔ رایج: در سؤالِ «بازهٔ همگرایی را بیابید»، با شکارِ بازه شروع نکنید. نخست $f_n(x)\to0$ را وارسی کنید: کنکور مرتباً جمله‌ای می‌سازد که صورتش درجهٔ $4n$ دارد در برابر مخرجی به درجهٔ $2n$، پس خارج‌قسمت در هر دو انتهای $t=x^{2n}$ منفجر می‌شود و در میانه هم $\ge\delta>0$ می‌ماند — پاسخ صادقانه «برای هر $x$ واگراست» است و بازه‌های عرضه‌شده صرفاً تزیین‌اند.

14. کنکور این مبحث را چگونه طرح می‌کند

• «کدام گزاره دربارهٔ $\sum\ldots$ درست است؟» با سه عددِ صریح به‌علاوهٔ «واگرا است»: سری تلسکوپی یا هندسی است. $s_N$ را حساب کنید؛ گزینه‌های عددیِ انحرافی همان خطاهای کلاسیکِ اندیس‌گذاری‌اند (شروع از $n=2$، فراموش کردنِ جملهٔ $-\lim b_N$، یا نوشتنِ دُمِ $\lim b_{N+1}$ به‌جای $b_1$).
• زوجی از سری‌های $I,J$ که در یک نماد فرق دارند (توانِ روی $(-1)$، یک عاملِ مربعی، یک اندیسِ جابه‌جاشده): یکی مشروطاً همگراست و دیگری واگرا. چهار گزینه همان شبکهٔ $2\times2$ ی «متناهی / نامتناهی» است.
• جمله‌ای ساخته‌شده از $\sin,\ \ln,\ \sqrt[n]{a},\ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$: تا مرتبهٔ اول بسط دهید و $p$ را بخوانید.
• «کدام فرض همگرایی را تضمین می‌کند؟»: همان سؤالِ جهتِ مقایسه در بخش ۹.
• ریشهٔ $n$‌امِ یک حاصل‌ضرب یا یک عبارتِ فاکتوریلی: تلسکوپی کنید، یا نسبت $\Rightarrow$ ریشه را به کار ببرید، و سپس قاعدهٔ مقیاسِ رشدِ بخش ۱۲ را اعمال کنید. گزینه‌های انحرافیِ همیشگی $e$، $+\infty$ و $0$ هستند.
• «$\sum a_n$ همگراست و $(a_n)$ نزولی است — کدام‌یک از این‌ها همگراست؟»: وزنِ کران‌دار را انتخاب کنید (بخش ۱۱)؛ سه گزینهٔ دیگر معمولاً یک وزنِ چندجمله‌ایِ بی‌کران، یک اندیسِ چگالشِ قلابی، و یک ثابتِ جمع‌شونده تقسیم بر $n$ هستند.
• «بازهٔ همگرایی» یک سری تابعی که گزینه‌هایش دو یا سه بازه است به‌علاوهٔ «همواره واگراست» / «همگرا مگر در $x=0$»: با آزمون نقطه‌به‌نقطهٔ جملهٔ $n$‌ام تصمیم می‌گیرد (بخش ۱۳)، نه با آزمون نسبت؛ بازه‌ها از توان‌های مختلفِ دیده‌شده در جملهٔ عمومی سرِ هم می‌شوند، و گزینهٔ $x=0$ مفهومِ تعریف‌نشده را با واگرا اشتباه می‌گیرد.