سوال ۱۹۷ کنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۲ — ۲۰ درصد.

مدل: واریانس‌ها در طول زمان جمع می‌شوند، انحراف‌معیار با $\sqrt{T}$ مقیاس می‌گیرد

بر پایهٔ فرض استاندارد اینکه بازده‌های دوره‌ای مستقل و هم‌توزیع (independent and identically distributed — i.i.d.) هستند، واریانس بازده چنددوره‌ای برابر مجموع واریانس‌های تک‌دوره‌ای است. با $m$ دوره در هر سال ($m=4$ فصل):

این همان قاعدهٔ جذر زمان (square-root-of-time rule) است — قاعده‌ای که به تحلیلگر اجازه می‌دهد صرف‌نظر از بسامد نمونه‌گیری داده‌ها، یک عدد واحد به‌عنوان نوسان‌پذیری سالانه (annualized volatility) گزارش کند. نکتهٔ اصلی همین عدم‌تقارن است: واریانس (variance) متناسب با زمان است، اما انحراف‌معیار (standard deviation) متناسب با $\sqrt{\text{time}}$.

جای‌گذاری عدد داده‌شده

صورت سؤال می‌گوید «واریانس بازده فصلی … یک درصد است» — یعنی واریانس بازده فصلی برابر یک درصد است؛ به‌صورت اعشاری خالص:

نخست واریانس را سالانه کنید، سپس جذر بگیرید:

ترتیب معکوس هم به همان نتیجه می‌رسد و یک‌بار انجام دادنش به‌عنوان کنترل ارزش دارد:

پس پاسخ گزینهٔ ۲ است.

هر گزینهٔ نادرست از کجا می‌آید

گزینهٔ ۴ همان دام طراحی‌شدهٔ نزدیک به پاسخ است و یک کنترل حرفه‌ایِ منطقی در دو ثانیه آن را حذف می‌کند: دارایی‌ای با انحراف‌معیار سالانهٔ ۲٪ کم‌نوسان‌تر از اوراق خزانهٔ کوتاه‌مدت دولتی است — هیچ «دارایی» ریسکی واقعی چنین رفتاری ندارد. نوسان‌پذیری سالانهٔ ۲۰٪ دقیقاً هم‌مرتبهٔ یک سهام معمولی است، پس گزینهٔ ۲ تنها عدد از نظر اقتصادی معقول در فهرست نیز هست.

تلهٔ رایج: هرگز $\sigma$ و $\sigma^{2}$ را با یک ضریب مقیاس نکنید. در گذر از دوره‌ای کوتاه‌تر به دوره‌ای بلندتر، واریانس را در تعداد دوره‌ها و انحراف‌معیار را در جذر آن ضرب کنید ($\times 4$ در برابر $\times 2$ برای فصلی→سالانه، $\times 12$ در برابر $\times\sqrt{12}$ برای ماهانه→سالانه، $\times 252$ در برابر $\times\sqrt{252}$ برای روزانه→سالانه). و درصد را پیش از جذرگرفتن به اعشار تبدیل کنید: $\sqrt{1\%}=\sqrt{0.01}=10\%$، نه $1\%$ — توان دو و جذر دقیقاً همان دو عملی هستند که علامت ٪ زیر آن‌ها بدون تغییر عبور نمی‌کند.