سوال ۱۰۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۳

یک ماتریس حقیقی $A$ متعامد است اگر و تنها اگر $A^{T}A = I$؛ به‌طور معادل، ستون‌های آن یکامتعامد (orthonormal) باشند. هر گزینه را بررسی می‌کنیم.

گزینهٔ ۱ (درست). طبق تعریف، $A^{T}A = I$ به این معناست که درایهٔ $(i,j)$ برابر است با $\sum_k A_{ki}A_{kj} = \delta_{ij}$؛ یعنی ستون‌های $A$ بردارهای یکه‌ای هستند که دوبه‌دو متعامدند — یک مجموعهٔ یکامتعامد. پس این حکم همواره برقرار است.

گزینهٔ ۲ (درست). ماتریس‌های متعامد تحت عمل ضرب یک گروه $O(n)$ تشکیل می‌دهند. به‌طور مشخص، اگر $A^{T}A = I$ و $B^{T}B = I$ باشد، آنگاه $(AB)^{T}(AB) = B^{T}A^{T}AB = B^{T}IB = B^{T}B = I,$ پس $AB$ نیز متعامد است.

گزینهٔ ۴ (درست). از $A^{T}A = I$ (و مربعی بودن $A$) نتیجه می‌گیریم $A^{-1} = A^{T}$؛ این صرفاً بازگویی دیگری از تعامد است.

گزینهٔ ۳ (لزوماً درست نیست). با گرفتن دترمینان از دو طرف $A^{T}A = I$: $\det(A^{T})\det(A) = \big(\det A\big)^{2} = 1 \;\Rightarrow\; \det A = \pm 1.$ هر دو علامت رخ می‌دهد: $\det A = +1$ یک دوران می‌دهد ($SO(n)$)، در حالی که $\det A = -1$ یک تبدیل متعامد ناسره (improper) می‌دهد. برای مثال، انعکاس $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ متعامد است با $\det A = -1$. بنابراین $\det(A) = 1$ الزامی نیست.

گزینهٔ درست (حکمی که لزوماً درست نیست) گزینهٔ ۳ است.

نکتهٔ کنکوری: تعامد فقط $|\det A| = 1$، یعنی $\det A = \pm 1$، را تثبیت می‌کند. الزام به $\det A = +1$ شرط اضافه‌ای است که گروه متعامد ویژه $SO(n)$ را تعریف می‌کند — انعکاس‌ها مثال نقض استاندارد هستند.