سوال ۱۰۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۳

ماتریس $H = I - 2uu^{\top}$ با شرط $\|u\|_2 = 1$ یک بازتاب هاوس‌هولدر (Householder reflection) است. خواص استاندارد آن، تکلیف هر گزینه را مشخص می‌کند.

تقارن. $H^{\top} = (I - 2uu^{\top})^{\top} = I - 2uu^{\top} = H$، پس $H$ متقارن است.

متعامد بودن (گزینه‌های ۲ و ۳). با استفاده از $u^{\top}u = 1$، $H^{\top}H = H^2 = (I - 2uu^{\top})^2 = I - 4uu^{\top} + 4u(u^{\top}u)u^{\top} = I - 4uu^{\top} + 4uu^{\top} = I.$ بنابراین $H$ متعامد است، پس نُرم اقلیدسی را حفظ می‌کند: $\|Hx\|_2^2 = x^{\top}H^{\top}Hx = x^{\top}x = \|x\|_2^2$ برای هر $x$. گزینه‌های ۲ و ۳ درست‌اند (و هم‌ارز یکدیگرند).

دترمینان (گزینه ۴). ماتریس $H$ قطری‌شدنی است؛ بردار ویژهٔ $u$ رابطهٔ $Hu = u - 2u(u^{\top}u) = -u$ را می‌دهد (مقدار ویژهٔ $-1$)، در حالی که هر بردار عمود بر $u$ ثابت می‌ماند (مقدار ویژهٔ $+1$ با کثرت $2n-1$). بنابراین $\det(H) = (-1)^1 \cdot (1)^{2n-1} = -1.$ گزینه ۴ درست است.

معیّن مثبت بودن (گزینه ۱). طیف $H$ برابر است با $\{-1,\, +1,\dots,+1\}$. چون $H$ دارای مقدار ویژهٔ $-1$ است (با بردار ویژهٔ $u$)، معیّن مثبت نیست: $u^{\top} H u = -\|u\|_2^2 = -1 < 0$. پس این ادعا که «$H$ متقارن معیّن مثبت است» نادرست است.

بنابراین تنها گزارهٔ نادرست، گزینه ۱ است که با کلید پاسخ مطابقت دارد.

نکتهٔ کنکوری: یک بازتاب هاوس‌هولدر هم‌زمان متقارن و متعامد با $\det = -1$ است؛ مقادیر ویژهٔ آن $-1$ (یک بار) و $+1$ هستند. ماتریس‌های متقارنِ متعامد، درگیرندگی (involution) هستند ($H^2=I$) و مگر آن‌که برابر $I$ باشند، هرگز معیّن مثبت نیستند.