سوال ۱۰۸ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۵

برپاسازی تجزیه

چون $Q$ متعامد است، $Q^{-1} = Q^{\top}$، پس از $A = QB$ نتیجه می‌گیریم

$B = Q^{\top} A.$

تنها به درایهٔ $B_{13}$ نیاز داریم. بنا بر تعریف ضرب ماتریس‌ها و با استفاده از $(Q^{\top})_{1k} = Q_{k1}$،

$B_{13} = \sum_{k=1}^{3} (Q^{\top})_{1k}\, A_{k3} = \sum_{k=1}^{3} Q_{k1}\, A_{k3} = Q_{11}A_{13} + Q_{21}A_{23} + Q_{31}A_{33}.$

جای‌گذاری درایه‌های معلوم

ستون سوم $A$ برابر $(A_{13}, A_{23}, A_{33}) = (2,\,10,\,1)$ است، و از ساختار $Q$ درایهٔ میانی ستون اولش $Q_{21} = 0$ می‌باشد. بنابراین

$B_{13} = 2\,Q_{11} + 10\cdot 0 + 1\cdot Q_{31} = 2\,Q_{11} + Q_{31}.$

پس شرط $B_{13} = 0$ نتیجه می‌دهد

$Q_{31} = -2\,Q_{11}.$

استفاده از یکامتعامدی ستون‌ها

چون $Q$ متعامد است، هر یک از ستون‌هایش برداری یکه است. ستون اول $(Q_{11},\,0,\,Q_{31})^{\top}$ است، پس

$Q_{11}^{2} + 0^{2} + Q_{31}^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad Q_{11}^{2} + Q_{31}^{2} = 1.$

با جای‌گذاری $Q_{31} = -2\,Q_{11}$:

$Q_{11}^{2} + 4\,Q_{11}^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 5\,Q_{11}^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad Q_{11}^{2} = \tfrac{1}{5}.$

آنگاه $Q_{31}^{2} = 4\,Q_{11}^{2} = \tfrac{4}{5}$، پس

$\lvert Q_{31}\rvert = \frac{2}{\sqrt{5}}.$

این گزینهٔ ۱ است.

نکتهٔ کنکوری: یک درایهٔ هدفِ خاص از $B = Q^{\top}A$ تنها به یک ستون از $A$ و یک ستون از $Q$ وابسته است — هرگز کل حاصل‌ضرب را تشکیل ندهید. اینجا تنکی ($Q_{21}=0$) درایهٔ $B_{13}$ را به دو جمله فرومی‌کاهد، و یکامتعامدی ستون $Q$ معادلهٔ دوم را برای یافتن $\lvert Q_{31}\rvert$ فراهم می‌کند.