سوال ۱۰۸ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۳

آماده‌سازی: مرتب‌سازی مجدد برای غالب بودن قطری

روش گاوس–سایدل تنها زمانی همگرایی‌اش تضمین می‌شود که ماتریس ضرایب (به‌طور اکید) غالب قطری باشد. در ماتریس داده‌شده سطر دوم $(-1,2,-5)$ در ستون $3$ غالب است (نه ستون $2$)، بنابراین سطرهای $2$ و $3$ را جابه‌جا می‌کنیم. دستگاهِ مرتب‌شده و غالب قطری چنین است:

$\begin{cases} 3x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 + 3x_2 + x_3 = 6 \\ -x_1 + 2x_2 - 5x_3 = 7 \end{cases}$

اکنون در سطرهای $1$ و $2$ داریم $|3|>|1|+|1|$ و در سطر $3$ داریم $|-5|>|-1|+|2|$: غالب بودن قطری اکید برقرار است، پس تکرار همگرا می‌شود.

یک گام کامل گاوس–سایدل از $x^{(0)}=(2,a,b)^{T}$

هر معادله برای مجهول قطری خود حل می‌شود و بلافاصله از به‌روزترین مؤلفه‌های محاسبه‌شده استفاده می‌کند.

به‌روزرسانی $x_1$ (از مقادیر قدیم $x_2=a,\;x_3=b$ استفاده می‌کند): $x_1^{(1)}=\frac{0-x_2^{(0)}-x_3^{(0)}}{3}=\frac{-(a+b)}{3}.$ با توجه به $x_1^{(1)}=0\;\Rightarrow\; a+b=0.$

به‌روزرسانی $x_2$ (از مقدار جدید $x_1^{(1)}=0$ و مقدار قدیم $x_3^{(0)}=b$ استفاده می‌کند): $x_2^{(1)}=\frac{6-x_1^{(1)}-x_3^{(0)}}{3}=\frac{6-0-b}{3}.$ با توجه به $x_2^{(1)}=\frac{5}{3}\;\Rightarrow\; 6-b=5\;\Rightarrow\; b=1,$ و در نتیجه $a=-b=-1.$

بررسی $x_3$ (از مقادیر جدید $x_1^{(1)}=0,\;x_2^{(1)}=\frac{5}{3}$ استفاده می‌کند): $x_3^{(1)}=\frac{7+x_1^{(1)}-2x_2^{(1)}}{-5}=\frac{7-\frac{10}{3}}{-5}=\frac{11/3}{-5}=-\frac{11}{15}.\;\checkmark$

هر سه مؤلفهٔ داده‌شده بازتولید می‌شوند و این $a=-1,\;b=1$ را تأیید می‌کند.

پاسخ

$b-a = 1-(-1)=2.$

نکتهٔ کنکوری: در روش گاوس–سایدل (برخلاف ژاکوبی) به‌روزرسانی هر مؤلفه از مؤلفه‌های پیشینِ تازه‌محاسبه‌شده اما از مؤلفه‌های بعدیِ قدیمی استفاده می‌کند. در اینجا $x_2^{(1)}$ مقدار جدید $x_1=0$ را می‌بیند اما مقدار قدیم $x_3=b$ را — همین تک‌مقدارِ باقی‌ماندهٔ $b$ دقیقاً همان چیزی است که امکان حل کردن برای آن را فراهم می‌کند.