سوال ۳۱ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۰

روش: مکان‌یابی ریشه — نخست با استفاده از یکنوایی تابع (نقاط بحرانی آن) تعداد ریشه‌های حقیقی را می‌شماریم، سپس ریشه را با یک تغییر علامت (قضیهٔ بولتزانو / مقدار میانی) محبوس می‌کنیم؛ دقیقاً همان پیش‌پردازشی که پیش از اجرای روش تنصیف انجام می‌شود.

۱. نوشتن معادله به شکل $f(x)=0$

$f(x)=x(x-1)(x-2)-1=x^{3}-3x^{2}+2x-1 .$

۲. شکل تابع $g(x)=x(x-1)(x-2)$

$g'(x)=3x^{2}-6x+2=0\quad\Longrightarrow\quad x=1\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0.423,\ 1.577 .$

تغییر متغیر $t=x-1$ تابع فرد $g=t^{3}-t$ را می‌دهد، پس در نقاط بحرانی $t=\mp\frac{1}{\sqrt3}$ داریم:

$g_{\max}=g\!\left(1-\tfrac{1}{\sqrt3}\right)=\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt3}{9}\approx 0.385,\qquad g_{\min}=g\!\left(1+\tfrac{1}{\sqrt3}\right)=-\frac{2\sqrt3}{9}\approx-0.385 .$

بنابراین $g$ روی $(-\infty,\,0.423]$ صعودی است تا مقدار $0.385$، روی $[0.423,\,1.577]$ نزولی است تا $-0.385$ و سپس تا $+\infty$ صعودی می‌شود.

۳. خط $y=1$ چند بار این نمودار را قطع می‌کند؟

بیشینهٔ نسبی یعنی $0.385$ از پیش کوچک‌تر از $1$ است، پس خط افقی $y=1$ شاخهٔ صعودی نخست و شاخهٔ نزولی را اصلاً قطع نمی‌کند. این خط دقیقاً یک بار با نمودار برخورد می‌کند، آن هم روی شاخهٔ صعودی پایانی $x>1+\tfrac{1}{\sqrt3}$. پس معادله دقیقاً یک ریشهٔ حقیقی دارد.

تأیید جبری. با $t=x-1$ معادله به معادلهٔ درجه‌سوم تحویل‌یافتهٔ $t^{3}-t-1=0$ تبدیل می‌شود که مبیّن آن برابر است با $\Delta=-4p^{3}-27q^{2}=-4(-1)^{3}-27(-1)^{2}=4-27=-23<0,$ و برای یک معادلهٔ درجه‌سوم حقیقی، $\Delta<0$ به معنای یک ریشهٔ حقیقی و دو ریشهٔ مختلط مزدوج است.

۴. محبوس‌کردن ریشه (بولتزانو)

$f(0)=-1,\qquad f(1)=-1,\qquad f(2)=0\cdot 1\cdot 2-1=-1,\qquad f(3)=3\cdot 2\cdot 1-1=5 .$

تابع $f$ پیوسته است و $f(2)\,f(3)=-5<0$، پس بنا بر قضیهٔ مقدار میانی ریشه‌ای در $(2,3)$ وجود دارد. روی $[0,1]$ هیچ تغییر علامتی رخ نمی‌دهد — در واقع $f<0$ روی تمام بازهٔ $[0,2]$ برقرار است، زیرا در آنجا $g\le \frac{2\sqrt3}{9}<1$. با یک بار پالایش بیشتر: $g(2.3)=2.3(1.3)(0.3)=0.897<1$ در حالی که $g(2.5)=2.5(1.5)(0.5)=1.875>1$، پس ریشه در $(2.3,2.5)$ قرار دارد؛ به‌طور دقیق $x=1+\rho\approx 2.3247$ که در آن $\rho\approx 1.3247$ عدد پلاستیک است ($\rho^{3}=\rho+1$).

نتیجه: دقیقاً یک ریشهٔ حقیقی وجود دارد و در $[2,3]$ قرار می‌گیرد — گزینهٔ ۲.

نکتهٔ کنکوری: معادله را بسط ندهید و دنبال ریشه نگردید. طرف راست یعنی $1$ را با مقادیر اکسترمم نسبی $\pm\frac{2\sqrt3}{9}\approx\pm 0.385$ تابع $x(x-1)(x-2)$ مقایسه کنید: چون $1$ از بیشینهٔ نسبی بزرگ‌تر است، خط $y=1$ تنها می‌تواند شاخهٔ صعودی پایانی را قطع کند و همین یک ریشهٔ یکتا را پس از بزرگ‌ترین صفر یعنی $x=2$ ایجاب می‌کند. همین یکنوایی گزینه‌های ۳ و ۴ را نیز رد می‌کند (وجود دو یا سه ریشه برای $x\ge 2$ در ناحیه‌ای که $g$ اکیداً صعودی است ناممکن است) و گزینهٔ ۱ باطل می‌شود، زیرا روی $[0,1]$ داریم $g\le 0.385<1$.