سوال ۱۲۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۴

هر شکستن را به‌صورت ضرب در یک عامل یکنواخت مدل کنید.

وقتی چوبی به طول $\ell$ در نقطه‌ای که به‌طور یکنواخت تصادفی انتخاب می‌شود شکسته شود، قطعهٔ چپ که نگه می‌داریم طولی برابر $U\ell$ دارد، که در آن کسر $U$ روی $(0,1)$ یکنواخت است. مقدار امید ریاضی آن برابر است با $E[U]=\int_0^1 u\,du=\frac{1}{2}.$

شکستن اول. با شروع از طول $L$، قطعهٔ نگه‌داشته‌شده طولی برابر $L_1 = U_1\,L,\qquad U_1\sim\mathrm{Unif}(0,1)$ دارد.

شکستن دوم. اکنون $L_1$ را در نقطه‌ای یکنواخت و مستقل می‌شکنیم و باز هم بخش چپ را نگه می‌داریم: $L_2 = U_2\,L_1 = U_1 U_2\,L,\qquad U_2\sim\mathrm{Unif}(0,1),\ U_2\perp U_1.$

طول باقی‌ماندهٔ مورد انتظار. چون $U_1$ و $U_2$ مستقل‌اند، $E[L_2] = L\,E[U_1]\,E[U_2] = L\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{L}{4}.$

بنابراین امید ریاضی طول چوب باقی‌مانده برابر $\dfrac{L}{4}$ است، که گزینهٔ ۲ می‌باشد.

نکتهٔ کنکوری: هر شکستن یکنواخت مستقل، طول مورد انتظار را در $\tfrac12$ ضرب می‌کند، پس پس از $n$ شکستن پاسخ برابر $L\left(\tfrac12\right)^{n}$ است — اینجا $n=2$ مقدار $L/4$ را می‌دهد. استقلال همان چیزی است که اجازه می‌دهد $E[U_1U_2]=E[U_1]E[U_2]$ را تجزیه کنید؛ وسوسه نشوید که پاسخ $L/2$ بدهید (آن پس از تنها یک شکستن است).