سوال ۱۲۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۴

برپایی مسئله. متغیرهای $X_i$ مستقل و هم‌توزیع با توزیع $N(0,\sigma^2)$ هستند، پس $E[X_i^2] = \operatorname{Var}(X_i) = \sigma^2$. تعریف می‌کنیم $T^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^2.$ از آنجا که $T \ge 0$ و $\sigma > 0$، پیشامد $\{T > \sigma\}$ هم‌ارز با $\{T^2 > \sigma^2\}$ است: $P(T > \sigma) = P\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^2 > \sigma^2\right) = P\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i^2 > n\sigma^2\right).$

استفاده از توزیع کای-دو. چون $X_i/\sigma \sim N(0,1)$، داریم $\sum_i (X_i/\sigma)^2 \sim \chi^2_n$. بنابراین $Y := \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sim \chi^2_n, \qquad E[Y] = n, \quad \operatorname{Var}(Y) = 2n,$ و پیشامد به صورت $P(T>\sigma) = P(Y > n) = P(Y > E[Y])$ درمی‌آید.

تقریب نمونهٔ بزرگ (قضیهٔ حد مرکزی). بنا بر قضیهٔ حد مرکزی، $\bar{W} = \frac{1}{n}\sum X_i^2$ (به بیان دیگر $Y/n$) برای $n$ بزرگ تقریباً نرمال است و در نتیجه حول میانگین خود متقارن است. برای یک توزیع حدیِ متقارن، احتمال اینکه یک متغیر تصادفی از میانگین خودش بیشتر شود به $\tfrac12$ میل می‌کند: $P(Y > n) = P\!\left(\frac{Y - n}{\sqrt{2n}} > 0\right) \xrightarrow{n\to\infty} P(Z > 0) = \frac{1}{2},$ که در آن $Z \sim N(0,1)$.

پس $P(T > \sigma) \approx \frac{1}{2}.$

گزینه‌های (۳) و (۴) را می‌توان بی‌درنگ کنار گذاشت: یک احتمال عددی محض در بازهٔ $[0,1]$ است و نمی‌تواند به پارامتر مقیاسِ $\sigma$ وابسته باشد.

نکتهٔ کنکوری: واژهٔ «تقریباً» در کنار یک میانگین نمونه‌ای، نشانهٔ قضیهٔ حد مرکزی است. هر آمارهٔ به شکل $\frac1n\sum g(X_i)$ به‌طور مجانبی حول $E[g(X)]$ نرمال است، پس احتمال اینکه از میانگین خودش پیشی بگیرد $\approx \tfrac12$ است — بدون نیاز به محاسبهٔ هیچ انتگرال دنباله‌ای.