سوال ۱۲۸ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۴

ابزار اصلی، نامساوی ینسن است. برای یک متغیر تصادفی $X$ و یک تابع $\varphi$:

• اگر $\varphi$ محدب باشد، آنگاه $\varphi(E(X)) \le E(\varphi(X))$؛
• اگر $\varphi$ مقعر باشد، آنگاه $E(\varphi(X)) \le \varphi(E(X))$.

در اینجا $\varphi(x)=\sqrt{x}$ روی $[0,\infty)$ است که دقیقاً به این دلیل خوش‌تعریف است که $X\ge 0$. مشتق دوم آن،

$\varphi''(x) = -\tfrac{1}{4}x^{-3/2} < 0,$

منفی است، بنابراین $\sqrt{x}$ تابعی مقعر است. با اعمال شکل مقعر نامساوی ینسن با $E(X)=a$ به دست می‌آید

$E(\sqrt{X}) \le \sqrt{E(X)} = \sqrt{a}.$

این دقیقاً گزینهٔ ۱ است.

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند.

• گزینهٔ ۲ جهت نامساوی را برعکس می‌کند — این مستلزم آن است که $\sqrt{x}$ محدب باشد که چنین نیست. (تساوی $E(\sqrt X)=\sqrt a$ تنها در حالت واگن (تباهیده) برقرار است که در آن $X$ تقریباً مطمئناً ثابت باشد.)
• گزینه‌های ۳ و ۴، خودِ $E(\sqrt X)$ را با $a=E(X)$ مقایسه می‌کنند، نه با $\sqrt a$؛ چنین کرانی به‌طور کلی برقرار نیست. برای مثال، اگر $X$ برابر با ثابت $\tfrac14$ باشد، آنگاه $a=\tfrac14$ و $E(\sqrt X)=\tfrac12 > a$، که گزینهٔ ۳ را رد می‌کند؛ اگر $X=4$ ثابت باشد، آنگاه $a=4$ و $E(\sqrt X)=2 < a$، که گزینهٔ ۴ را رد می‌کند.

نکتهٔ کنکوری: برای یک تبدیل مقعر، نامساوی به سمت «امیدِ درونی» اشاره می‌کند: $E(\varphi(X)) \le \varphi(E(X))$. از آنجا که $\sqrt{\cdot}$ مقعر است، میانگین ریشه‌ها هرگز از ریشهٔ میانگین فراتر نمی‌رود.