سوال ۱۲۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۵

فرض کنید $N$ تعداد برداشت‌ها تا ظاهر شدن نخستین مهرهٔ سفید باشد. چون برداشت با جایگذاری انجام می‌شود، آزمایش‌ها مستقل‌اند و احتمال موفقیت (سفید) ثابت است

$p = P(\text{white}) = \frac{4}{7}, \qquad q = P(\text{black}) = 1-p = \frac{3}{7}.$

آنگاه $N$ دارای توزیع هندسی روی مجموعهٔ $\{1,2,3,\dots\}$ است:

$P(N=n) = q^{\,n-1}\,p, \qquad n = 1,2,3,\dots$

می‌خواهیم $P(N \text{ odd}) = P(N=1) + P(N=3) + P(N=5) + \cdots$ را بیابیم. با نوشتن $n = 2k+1$ برای $k = 0,1,2,\dots$ داریم

$P(N \text{ odd}) = \sum_{k=0}^{\infty} q^{\,2k}\,p = p \sum_{k=0}^{\infty}\left(q^{2}\right)^{k} = \frac{p}{1-q^{2}}.$

مخرج را با استفاده از $1-q^{2} = (1-q)(1+q) = p\,(1+q)$ تجزیه می‌کنیم:

$P(N \text{ odd}) = \frac{p}{p\,(1+q)} = \frac{1}{1+q}.$

با جای‌گذاری $q = \tfrac{3}{7}$:

$P(N \text{ odd}) = \frac{1}{1+\frac{3}{7}} = \frac{1}{\frac{10}{7}} = \frac{7}{10}.$

این با گزینهٔ ۳ مطابقت دارد.

نکتهٔ کنکوری: برای یک متغیر هندسی با احتمال موفقیت $p$ و احتمال شکست $q$، تفکیک فرد/زوج به‌آسانی به‌خاطر می‌ماند: $P(\text{odd}) = \dfrac{1}{1+q}$ و $P(\text{even}) = \dfrac{q}{1+q}$. پارامتر $p$ جز از طریق $q = 1-p$ حذف می‌شود، بنابراین هرگز لازم نیست در جلسهٔ آزمون سری را جمع بزنید.