سوال ۱۲۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۵

آماده‌سازی: تبدیل انتگرالی احتمال

چون $F$ یک تابع توزیع پیوسته است، تبدیل انتگرالی احتمال برقرار می‌شود: متغیر تصادفی $U=F(X)$ دارای توزیع یکنواخت$(0,1)$ است. در نتیجه $1-F(X)=1-U$ نیز یکنواخت$(0,1)$ است.

تحویل به یک انتگرال بتا

برای اعداد صحیح نامنفی $a,b$، با استفاده از $U\sim\text{Uniform}(0,1)$، $E\big[F(X)^{a}\,(1-F(X))^{b}\big]=E\big[U^{a}(1-U)^{b}\big]=\int_{0}^{1}u^{a}(1-u)^{b}\,du=B(a+1,b+1)=\frac{a!\,b!}{(a+b+1)!}.$

در اینجا $a=2$ و $b=3$، پس $E\big[F(X)^{2}(1-F(X))^{3}\big]=\frac{2!\,3!}{6!}=\frac{2\cdot 6}{720}=\frac{12}{720}=\frac{1}{60}.$

بررسی مستقیم با $F(x)=x^{2}$

تابع چگالی برابر $f(x)=F'(x)=2x$ روی $[0,1]$ است. با تغییر متغیر $u=x^{2}$ (پس $du=2x\,dx$)، $E\big[X^{4}(1-X^{2})^{3}\big]=\int_{0}^{1}x^{4}(1-x^{2})^{3}\,(2x)\,dx=\int_{0}^{1}u^{2}(1-u)^{3}\,du=B(3,4)=\frac{2!\,3!}{6!}=\frac{1}{60}.$ دو محاسبه با هم توافق دارند و تأیید می‌کنند که این مقدار به شکل خاص $F$ بستگی ندارد.

نکتهٔ کنکوری: برای هر متغیر تصادفی پیوسته، $E\big[F(X)^{a}(1-F(X))^{b}\big]=\dfrac{a!\,b!}{(a+b+1)!}$. رابطهٔ $F(x)=x^{2}$ یک دام گمراه‌کننده است — به‌محض اینکه تشخیص دهید $F(X)\sim\text{Uniform}(0,1)$، مسئله به یک انتگرال بتای ساده فرومی‌ریزد.

تلهٔ رایج: با در نظر گرفتن متقارن توان‌ها، $E\big[(F(X)(1-F(X)))^{2}\big]=B(3,3)=\tfrac{1}{30}$ به گزینهٔ انحرافی (۲) می‌رسد. توان‌ها در اینجا نامتقارن‌اند ($2$ و $3$)، و دقیقاً به همین دلیل پاسخ $\tfrac{1}{60}$ است و نه $\tfrac{1}{30}$.