سوال ۱۲۸ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۵

توزیع حول $0$ متقارن است: مقادیر $-1$ و $+1$ هر یک احتمال $\tfrac{\theta}{2}$ را دارند و $0$ باقی‌مانده را حمل می‌کند.

گام ۱ — میانگین. بنا بر تقارن، $E[X] = (-1)\cdot\tfrac{\theta}{2} + 0\cdot(1-\theta) + (1)\cdot\tfrac{\theta}{2} = 0.$

گام ۲ — واریانس. چون $E[X]=0$، داریم $\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]$، و از آنجا که $x^{2}=1$ در $x=\pm1$ و $x^{2}=0$ در $x=0$، $\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}] = (1)\cdot\tfrac{\theta}{2} + 0\cdot(1-\theta) + (1)\cdot\tfrac{\theta}{2} = \theta.$

گام ۳ — کمینه‌سازی روی بازهٔ مجاز. واریانس برابر $\theta$ است، تابعی اکیداً صعودی از $\theta$. بنابراین روی بازهٔ $\tfrac{1}{2}\le\theta\le 1$ در نقطهٔ انتهایی چپ کمینه می‌شود: $\min_{\frac12\le\theta\le1}\operatorname{Var}(X) = \theta\Big|_{\theta=\frac12} = \tfrac{1}{2}.$

کمینهٔ واریانس در $\theta=\tfrac{1}{2}$ به دست می‌آید که گزینهٔ ۲ را می‌دهد.

نکتهٔ کنکوری: برای توزیعی که حول $0$ متقارن است، میانگین به‌طور خودکار $0$ است، پس واریانس به $E[X^{2}]$ فرو می‌کاهد — که اینجا فقط $\theta$ است. همین که ببینید واریانس نسبت به $\theta$ یکنواخت است، بهینه‌ساز صرفاً نقطهٔ انتهایی بازهٔ داده‌شده است، پس قید $\tfrac12\le\theta\le1$ را رعایت کنید (کمینه در $\theta=\tfrac12$ قرار دارد، نه در $\theta=0$).