سوال ۱۲۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲

برپا کردن آمیخته

فرض کنید $C$ اندیس سکهٔ انتخاب‌شده باشد، پس $P(C=i)=\tfrac{1}{10}$ برای $i=1,\dots,10$، و بنویسید $p_i=\frac{i}{10}$ برای احتمال شیر آمدن سکهٔ $i$. به شرط $C=i$، پرتاب‌ها مستقل و هم‌توزیع برنولی$(p_i)$ هستند — اما به‌طور غیرشرطی پرتاب‌ها مستقل نیستند: مشاهدهٔ شیر، سکه‌های با اریبی بالا را محتمل‌تر می‌کند. تمام نکتهٔ این پرسش همین است.

فرض کنید $H_k$ پیشامد «$k$ پرتاب نخست همگی شیر می‌آیند» باشد. بنا بر قانون احتمال کل، $P(H_k)=\sum_{i=1}^{10}P(H_k\mid C=i)\,P(C=i)=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}p_i^{\,k}.$

احتمال پیش‌بین

پیشامد «۵ شیر نخست و شیر ششم» دقیقاً همان $H_6$ است، پس بنا بر تعریف احتمال شرطی $P(\text{6th toss is heads}\mid H_5)=\frac{P(H_6)}{P(H_5)}=\frac{\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}p_i^{6}}{\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}p_i^{5}}=\frac{\sum_{i=1}^{10}p_i^{6}}{\sum_{i=1}^{10}p_i^{5}}.$

(هم‌ارز با این: این همان احتمال پیش‌بین پسین $\sum_i p_i\,P(C=i\mid H_5)$ است، زیرا وزن‌های پسین برابرند با $P(C=i\mid H_5)=p_i^5/\sum_j p_j^5$.)

اکنون $p_i=i/10$ را جای‌گذاری کنید:

این همان گزینهٔ ۴ است.

وارسی مرتبهٔ بزرگی

با استفاده از $\sum_{i=1}^{n} i^{5}=\tfrac{1}{12}n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)$ و $\sum_{i=1}^{n} i^{6}=\tfrac{1}{42}n(n+1)(2n+1)(3n^{4}+6n^{3}-3n+1)$ با $n=10$: $\sum_{i=1}^{10} i^{5}=220825,\qquad \sum_{i=1}^{10} i^{6}=1978405,$ پس پاسخ برابر است با $\frac{1978405}{2208250}\approx 0.896$. این مقدار به‌راحتی بزرگ‌تر از میانگین پیشین $\frac{1}{10}\sum_i \frac{i}{10}=0.55$ است — دقیقاً همان کاری که به‌روزرسانی بیزی پس از پنج شیر پیاپی باید انجام دهد — و $<1$ است، چنان‌که هر احتمالی باید باشد. گزینه‌های ۱ و ۳ در این وارسی‌ها مردود می‌شوند: گزینهٔ ۱ مقدار $\approx 8.96>1$ می‌دهد (ناممکن) و گزینهٔ ۳ مقدار $\approx 0.0112$ می‌دهد (احتمالی که پس از دیدن شیرها کاهش یافته است).

نکتهٔ کنکوری: هرگاه پارامتری به‌طور تصادفی انتخاب و سپس آزمایش‌ها اجرا شوند، احتمال پیش‌بین یک موفقیت دیگر پس از $k$ موفقیت، همان نسبت گشتاورها $E[p^{k+1}]/E[p^{k}]$ است — یعنی قاعدهٔ توالی لاپلاس در لباسی دیگر. توان‌های $10$ را با دقت دنبال کنید: عامل اضافی $\left(\tfrac{1}{10}\right)$ که از $p_i=i/10$ پدید می‌آید، تنها چیزی است که گزینهٔ ۴ را از گزینهٔ ۱ جدا می‌کند.