سوال ۱۲۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲

صورت‌بندی مسئله

$X\sim\mathrm{Uniform}(0,1)$، پس

$f_X(x)=1,\qquad 0<x<1 .$

تابع $g(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ و $Y=g(X)$ را تعریف می‌کنیم. روی بازهٔ $(0,1)$ نگاشت $g$ اکیداً نزولی است (زیرا $g'(x)=-x/\sqrt{1-x^{2}}<0$) و بازهٔ $(0,1)$ را پوشا بر $(0,1)$ می‌نگارد. بنابراین تکیه‌گاه $Y$ همان $(0,1)$ است و $g$ روی آن یک تناظر یک‌به‌یک است — پس قضیهٔ تغییر متغیر (ژاکوبی) قابل استفاده است.

روش اول — روش تابع توزیع تجمعی (مطمئن‌ترین راه)

برای $0<y<1$ داریم

$F_Y(y)=P\!\left(\sqrt{1-X^{2}}\le y\right)=P\!\left(1-X^{2}\le y^{2}\right)=P\!\left(X^{2}\ge 1-y^{2}\right).$

چون $X>0$، رابطهٔ $X^{2}\ge 1-y^{2}\iff X\ge\sqrt{1-y^{2}}$ برقرار است، و برای متغیر تصادفی $\mathrm{Uniform}(0,1)$ داریم $P(X\ge a)=1-a$ به‌ازای $0\le a\le 1$. بنابراین

$F_Y(y)=1-\sqrt{1-y^{2}},\qquad 0<y<1 .$

با مشتق‌گیری،

$f_Y(y)=\frac{d}{dy}\left(1-\sqrt{1-y^{2}}\right)=-\frac{-2y}{2\sqrt{1-y^{2}}}=\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}},\qquad 0<y<1 .$

روش دوم — فرمول ژاکوبی (تبدیل متغیر)

وارون‌گیری: $y=\sqrt{1-x^{2}}\Rightarrow x=h(y)=\sqrt{1-y^{2}}$ (وارون همان خودِ تابع است — نگاشت یک درگیرنده (involution) است). آنگاه

$f_Y(y)=f_X\big(h(y)\big)\left|h'(y)\right|=1\cdot\left|\frac{-y}{\sqrt{1-y^{2}}}\right|=\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}},\qquad 0<y<1 .$

وارسی درستی (بهنجارش)

$\int_{0}^{1}\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}\,dy=\Big[-\sqrt{1-y^{2}}\Big]_{0}^{1}=0-(-1)=1 .$

پس این گزینه واقعاً یک چگالی است. سه گزینهٔ دیگر همگی در این آزمون مردود می‌شوند: انتگرال‌های $\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-y^{2}}}{y}dy$، $\int_{0}^{1}\frac{y}{1-y^{2}}dy$ و $\int_{0}^{1}\frac{1-y^{2}}{y}dy$ هر سه واگرا هستند (به‌صورت لگاریتمی؛ برای گزینه‌های ۱ و ۴ در $y=0$ و برای گزینهٔ ۳ در $y=1$). بنابراین اصولاً تنها گزینهٔ ۲ می‌تواند یک تابع چگالی احتمال باشد.

پاسخ: گزینهٔ ۲.

نکتهٔ کنکوری: وقتی هر چهار گزینه نامزدِ تابع چگالی هستند، انتگرال‌گیری از آن‌ها روی تکیه‌گاه داده‌شده معمولاً سریع‌تر از انجام تبدیل متغیر است — یک چگالی واقعی باید انتگرالش برابر $1$ شود، و اینجا سه گزینه از چهار گزینه واگرا می‌شوند. حتی پس از استخراج پاسخ نیز از این ترفند به‌عنوان وارسی استفاده کنید.

تلهٔ رایج: قدر مطلقِ ژاکوبی را فراموش نکنید. چون $g$ نزولی است، $h'(y)<0$؛ حذف $|\cdot|$ یک «چگالی» منفی به دست می‌دهد. همچنین توجه کنید که $Y=\sqrt{1-X^{2}}$ تنها به این دلیل شکل توزیعیِ یکسان با $\sqrt{1-U^2}$ دارد که $g$ روی $(0,1)$ یک‌به‌یک است؛ روی $(-1,1)$ این نگاشت دوبه‌یک می‌شود و چگالی دو برابر می‌گردد.