سوال ۱۲۸ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲

روش. متغیر تصادفی یکنواخت پیوسته را با یک تابع پلکانی (جزء صحیح) تبدیل می‌کنیم و تابع جرم احتمال القاشده را مستقیماً از اندازهٔ یکنواخت بازه‌های پیش‌نگاره به دست می‌آوریم.

گام ۱ — مقیاس‌گذاری. اگر $U\sim U([0,1])$ باشد، آن‌گاه $nU\sim U([0,n])$؛ یعنی $nU$ روی $[0,n]$ چگالی $\tfrac{1}{n}$ دارد.

گام ۲ — جزء صحیح $n$ مقدار می‌گیرد. قرار دهید $Y=\lfloor nU\rfloor$. برای عدد صحیح $k$ داریم $\{Y=k\}=\{k\le nU<k+1\}=\left\{\frac{k}{n}\le U<\frac{k+1}{n}\right\}.$ این پیشامد دقیقاً برای $k=0,1,\ldots,n-1$ ناتهی (با احتمال مثبت) است — زیرا بازه‌های $[\tfrac{k}{n},\tfrac{k+1}{n})$ برای همین $k$ها بازهٔ $[0,1)$ را افراز می‌کنند — و $P(Y=k)=\frac{k+1}{n}-\frac{k}{n}=\frac{1}{n},\qquad k=0,1,\ldots,n-1 .$ پس $Y=\lfloor nU\rfloor\sim DU\left(\{0,1,\ldots,n-1\}\right)$.

مقدار $Y=n$ مستلزم $U=1$ است که برای یک توزیع یکنواخت پیوسته احتمال $0$ دارد؛ به همین دلیل بزرگ‌ترین مقدار $n-1$ است، نه $n$.

گام ۳ — انتقال به اندازهٔ $1$. انتقال قطعی (جمع با یک ثابت) یک متغیر یکنواخت گسسته، باز هم یکنواخت گسسته روی تکیه‌گاه منتقل‌شده است: $X=Y+1,\qquad P(X=j)=P(Y=j-1)=\frac{1}{n},\quad j=1,2,\ldots,n .$ بنابراین $\boxed{X\sim DU\left(\{1,2,\ldots,n\}\right)}$ که گزینهٔ ۱ است.

وارسی درستی ($n=2$). $X=\lfloor 2U\rfloor+1$ وقتی $U\in[0,\tfrac12)$ برابر $1$ و وقتی $U\in[\tfrac12,1)$ برابر $2$ است، هرکدام با احتمال $\tfrac12$ — یعنی یک سکهٔ سالم روی $\{1,2\}$، دقیقاً همان $DU(\{1,2\})$. همچنین $E[X]=\frac{n+1}{2}$ و $\operatorname{Var}(X)=\frac{n^{2}-1}{12}$ که همان گشتاورهای استاندارد توزیع یکنواخت گسسته‌اند.

اهمیت کاربردی. این دقیقاً همان دستور کلاسیک کتاب‌های درسی برای شبیه‌سازی یک تاس سالم / انتخاب یکنواخت از $\{1,\ldots,n\}$ با یک بار فراخوانی مولد اعداد شبه‌تصادفی $U(0,1)$ است.

نکتهٔ کنکوری: گزینه‌های ۲ و ۴ دو تلهٔ کلاسیک «یکی کم/زیاد» هستند: گزینهٔ ۲ جمع با $+1$ را از قلم می‌اندازد و گزینهٔ ۴ به اشتباه اجازه می‌دهد $\lfloor nU\rfloor$ به $n$ برسد. همیشه تکیه‌گاه را با این پرسش پیدا کنید که کدام بازه‌های نیم‌باز $\left[\tfrac{k}{n},\tfrac{k+1}{n}\right)$ بازهٔ $[0,1)$ را می‌پوشانند: دقیقاً $n$ بازه، با اندیس‌های $k=0,\ldots,n-1$.