توابع و تبدیل‌های متغیرهای تصادفی (روش تابع توزیع، تابع مولد گشتاور)

این کارت جعبه‌ابزار تبدیل‌ها است: با داشتن یک یا چند متغیر تصادفی، چگونه توزیع، گشتاورها، چندک‌ها یا کران دنبالهٔ تابعی از آن‌ها را به دست می‌آوریم؟ این کارت مکمل کارت امید ریاضی (خطی بودن، ضرب‌ها، واریانس، نامساوی ینسن) است و ماشین‌آلاتی را می‌افزاید که امید ریاضی به‌تنهایی نمی‌دهد — توزیع $Y=g(X)$، توزیع توأم بردار تبدیل‌شدهٔ $(U,V)=T(X,Y)$، گشتاورهای خام در برابر مرکزی یک تبدیل، چندک‌های یک نگاشت یکنوا، فرهنگ‌نامهٔ نرمال $\to\chi^{2}$ برای پیشامدهای درجه‌دو، تابع مولد گشتاور، کوواریانس برای ترکیب‌های خطی، و کران‌های مارکوف/چبیشف.

به‌طور صوری، برای یک $g$ اندازه‌پذیر، متغیر $Y=g(X)$ دارای توزیع پیش‌رانده (pushforward) $P_Y=P_X\circ g^{-1}$ است: $P(Y\in B)=P\big(X\in g^{-1}(B)\big)\qquad\text{for every Borel }B\subseteq\mathbb{R}.$ هر تکنیکی که در ادامه می‌آید فقط راهی راحت برای محاسبهٔ همین یک اتحاد است. یک هشدار در همان ابتدا: $g$ می‌تواند نوع متغیر را عوض کند. یک $X$ پیوسته ممکن است $Y$ ای گسسته بسازد (جزء صحیح، گِرد کردن، تابع مشخصه) یا آمیخته (بریدگی $\min(X,c)$)؛ پس پیش از بررسی، هرگز فرض نکنید که $Y$ چگالی دارد.

۱. گام صفر — تکیه‌گاه را بیابید

پیش از نوشتن هر فرمولی، برد $S_Y=g(S_X)$ را حساب کنید، که در آن $S_X=\{x:f_X(x)>0\}$ تکیه‌گاه $X$ است. تکیه‌گاه تعیین می‌کند که (i) پاسخ روی کدام بازه اعلام می‌شود، (ii) آیا $g$ روی آن یک‌به‌یک است، و (iii) وارون‌گیری چند شاخه دارد. مثلاً $g(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ روی $(0,1)$ یک تناظر یک‌به‌یک نزولی به روی $(0,1)$ است — یک شاخه — در حالی که همین $g$ روی $(-1,1)$ دوبه‌یک است و چگالی یک شاخهٔ اضافی می‌گیرد. به همین ترتیب $g(x)=1/x^{2}$ تکیه‌گاه متقارن $(-1,1)$ را دوبه‌یک به $(1,\infty)$ می‌نگارد. گزینه‌های کنکور همیشه با بازه یا ناحیه‌ای مشخص می‌آیند، پس تنها یک تکیه‌گاه نادرست، گزینه‌ها را حذف می‌کند.

میان‌بُر تقارن (اول تا بزنید). اگر $S_X$ نسبت به $0$ متقارن باشد، $f_X$ زوج باشد و $g$ تابعی زوج باشد، آنگاه $Y=g(X)\stackrel{d}{=}g(\lvert X\rvert)$: پیش از تبدیل، متغیر را تا بزنید و دوباره به یک شاخه بازمی‌گردید. مثلاً $X\sim\mathrm{Uniform}(-1,1)\Rightarrow \lvert X\rvert\sim\mathrm{Uniform}(0,1)$، پس هر تابع زوجی از یک $\mathrm{Uniform}(-1,1)$ همان توزیعِ آن تابع از یک $\mathrm{Uniform}(0,1)$ را دارد — نصف‌شدن چگالی و دوبرابرشدن شاخه‌ها دقیقاً یکدیگر را خنثی می‌کنند.

۲. توزیع یک تبدیل $Y=g(X)$

سه مسیر استاندارد، به ترتیب افزایش دقت.

(الف) LOTUS — فقط گشتاورها. اگر تنها به $E[g(X)]$ (یا $E[Y^k]$) نیاز دارید، هرگز توزیع $Y$ را پیدا نکنید؛ نسبت به توزیع $X$ انتگرال بگیرید: $E[g(X)]=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,f_X(x)\,dx\quad\text{(or }\textstyle\sum_x g(x)p_X(x)).$

(ب) روش تابع توزیع تجمعی (CDF) — همیشه کار می‌کند. پیشامد را از میان $g$ عبور دهید و مشتق بگیرید: $F_Y(y)=P(g(X)\le y),\qquad f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y).$ برای $g$ ای که اکیداً صعودی است، $F_Y(y)=F_X(g^{-1}(y))$؛ و برای $g$ ای که اکیداً نزولی است، $F_Y(y)=1-F_X(g^{-1}(y))$ — وارون‌گیری از میان یک نگاشت نزولی، نامساوی را دقیقاً یک بار برمی‌گرداند. این مسیر نه به یکنوایی نیاز دارد، نه به همواری و نه به چگالی، پس تنها روشی است که در برابر $g$ نایکنوا، $Y$ گسسته یا آمیخته، و توابعی از چند متغیر ($\max$، $\min$، مجموع‌ها، نسبت‌ها) دوام می‌آورد. برای $X_1,\dots,X_n$ های مستقل، حدی‌ترین آماره‌های ترتیبی را در یک خط می‌دهد: $F_{\max}(t)=\prod_i F_i(t)$ و $F_{\min}(t)=1-\prod_i\big(1-F_i(t)\big)$.

(ج) تغییر متغیر (ژاکوبی) — برای $g$ یکنوای هموار. فرض‌ها: $X$ چگالی $f_X$ دارد، و روی تکیه‌گاه، $g$ پیوسته‌مشتق‌پذیر و اکیداً یکنواست با $g'\neq 0$. آنگاه $g^{-1}$ وجود دارد و مشتق‌پذیر است، و مشتق‌گیری از (ب) می‌دهد $f_Y(y)=f_X\!\big(g^{-1}(y)\big)\,\left|\frac{d}{dy}\,g^{-1}(y)\right|=\frac{f_X(x)}{|g'(x)|}\bigg|_{\,x=g^{-1}(y)},\qquad y\in g(S_X),$ و $f_Y=0$ بیرون از $g(S_X)$. وقتی $g$ یکنوا نیست، برد را به شاخه‌های یکنوای $x_1,\dots,x_m$ که در $g(x)=y$ صدق می‌کنند بشکنید و آن‌ها را جمع بزنید: $f_Y(y)=\sum_i f_X(x_i)/|g'(x_i)|$. (به همین شکل است که $Z\sim N(0,1)\Rightarrow Z^2\sim\chi^2_1$ دو شاخهٔ $\pm\sqrt{y}$ خود را می‌گیرد.)

سه الگوی زوج/وارون، یک‌بار برای همیشه. نوشتن آن‌ها زیر فشار امتحان، کل مشتق‌گیری را صرفه‌جویی می‌کند: $f_{X^{2}}(y)=\frac{f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})}{2\sqrt{y}},\qquad f_{1/X}(y)=\frac{f_X(1/y)}{y^{2}},\qquad f_{1/X^{2}}(y)=\frac{f_X\!\left(y^{-1/2}\right)+f_X\!\left(-y^{-1/2}\right)}{2\,y^{3/2}}.$ هر کدام فقط همان مجموع روی شاخه‌ها با $\lvert dx/dy\rvert$ است که یک‌بار حساب شده؛ تنها تکیه‌گاه است که باید در هر مسئله از نو تعیین شود. و حالت اَفاین همان است که همه به آن نیاز دارند: برای $a\neq 0$، $f_{aX+b}(y)=f_X\!\left(\frac{y-b}{a}\right)\big/\lvert a\rvert$.

الگوی چهارمی که ارزش حفظ‌کردن دارد: نگاشت موبیوس. برای $g(x)=\dfrac{x}{1+x}=1-\dfrac{1}{1+x}$ (اکیداً صعودی روی $x>-1$، با $g'(x)=(1+x)^{-2}>0$)، وارون آن $x=\dfrac{y}{1-y}$ است، پس برای $X\sim\mathrm{Uniform}(0,1)$ $F_Y(y)=\frac{y}{1-y},\qquad f_Y(y)=\frac{1}{(1-y)^{2}}\qquad\text{on }\left(0,\tfrac12\right).$ هر تبدیل کسری‌ـ‌خطیِ کراندارِ یک توزیع یکنواخت به همین شیوه حل می‌شود؛ تنها کار، وارون‌کردن $y=g(x)$ و خواندن بازهٔ جدید است.

فهرست تبدیل‌هایی که کنکور بازیافت می‌کند.

نسخهٔ دومتغیره (در §۵ بسط داده شده). برای یک نگاشت هموار و یک‌به‌یک $(X,Y)\mapsto(U,V)$، $f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}\big(x(u,v),y(u,v)\big)\,\left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|,$ و پس از آن از متغیر کمکی انتگرال می‌گیرید تا حاشیه‌ای را که واقعاً می‌خواهید به دست آورید — راه استاندارد به‌دست‌آوردن توزیع مجموع‌ها، نسبت‌ها و ضرب‌ها.

۳. گشتاورهای یک تبدیل: خام، مرکزی، و اسب‌های بارکش گسسته

بسیار پیش می‌آید که صورت مسئله اصلاً توزیع $Y=g(X)$ را نمی‌خواهد — فقط یک گشتاور را می‌خواهد. نخست واژگان را تثبیت کنید، چون گزینه‌های انحرافی از خلط این دو خانواده ساخته می‌شوند: $\mu_k'=E\big[X^{k}\big]\ \ (k\text{-th }\textbf{raw}\text{ moment, about }0),\qquad \mu_k=E\big[(X-\mu)^{k}\big]\ \ (k\text{-th }\textbf{central}\text{ moment}),$ که با این پل به هم می‌پیوندند $E\big[X^{2}\big]=\operatorname{Var}(X)+\big(E[X]\big)^{2}\qquad\Longrightarrow\qquad \text{“second moment”}=\text{variance}\iff E[X]=0 .$ بدون قید، «گشتاور دوم» همیشه به معنای گشتاور خام $E[X^{2}]$ است. این کمیت دقیقاً برای متغیرهای مرکزی‌شده با واریانس یکی می‌شود — و تفاضل دو متغیر هم‌توزیع به‌طور خودکار مرکزی است، و به همین دلیل است که این‌همه سؤال دربارهٔ $X_1-X_2$ به یک محاسبهٔ واریانس فرو می‌کاهد.

تفاضل‌ها و مجموع‌های متغیرهای مستقل. ضرایب به‌صورت مجذور وارد واریانس می‌شوند (§۱۰)، پس یک علامت منفی هرگز واریانس‌ها را کم نمی‌کند: $X_1\perp X_2\ \Longrightarrow\ \operatorname{Var}(X_1\pm X_2)=\operatorname{Var}(X_1)+\operatorname{Var}(X_2),$ و از این رو برای یک زوج مستقل و هم‌توزیع $E\big[(X_1-X_2)^{2}\big]=2\operatorname{Var}(X)=2\Big(E\big[X^{2}\big]-E[X]^{2}\Big),$ و دقیقاً همین عدد پاسخ پرسش دربارهٔ $\lvert X_1-X_2\rvert$ نیز هست، چون به توان دو رساندن علامت را از بین می‌برد. (گشتاور مطلقِ اول، یعنی $E\lvert X_1-X_2\rvert$، شیئی واقعاً متفاوت است — به تابع احتمال/چگالی تفاضل نیاز دارد.)

ثابت‌های توزیع یکنواخت گسسته، پرکاربردترین ورودی این مبحث:

این‌ها از $\sum_{k=1}^{n}k=\tfrac{n(n+1)}{2}$ و $\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ نتیجه می‌شوند (برای $n=6$: $21$ و $91$).

توزیع تفاضل، آنجا که واقعاً به آن نیاز دارید. برای $D_1,D_2\sim DU\{1,\dots,n\}$ مستقل و هم‌توزیع، شمردن پیش‌نگاره‌ها یک توزیع چادری (مثلثی) گسسته می‌دهد $P(D_1-D_2=d)=\frac{n-\lvert d\rvert}{n^{2}},\qquad d=-(n-1),\dots,n-1,$ و $D_1+D_2$ همان شکل چادری را دارد که حول $n+1$ بازمرکزی شده است. محاسبهٔ $E[X^{2}]=\sum_d d^{2}\,(n-\lvert d\rvert)/n^{2}$ همیشه به‌عنوان یک بررسی مستقل برای مسیر جبری در دسترس است — عادتی خوب وقتی گزینه‌ها به اندازهٔ ضریب $2$ با هم فرق دارند.

گشتاورهای بالاتر با بسط. $E\big[(aX+bY)^{2}\big]=a^{2}E[X^{2}]+2ab\,E[XY]+b^{2}E[Y^{2}]$، که در آن $E[XY]=E[X]E[Y]$ تنها تحت استقلال (یا کوواریانس صفر) برقرار است؛ همین بسط همراه با LOTUS، $E\big[g(X)^{2}\big]$ را برای $g$ غیرخطی نیز حل می‌کند.

۴. چندک‌های یک تبدیل: هم‌وردایی یکنوا

برای $p\in(0,1)$، چندک $p$-اُم $X$ همان وارون تعمیم‌یافته است $Q_p(X)=F_X^{-1}(p)=\inf\{x\in\mathbb{R}:\ F_X(x)\ge p\},$ پس $Q_{1/4}$ چارک اول، $Q_{1/2}$ میانه و $Q_{3/4}$ چارک سوم است.

قضیه (هم‌وردایی چندک). فرض کنید $g$ روی تکیه‌گاه $X$ پیوسته و اکیداً صعودی باشد. آنگاه $Q_p\big(g(X)\big)=g\big(Q_p(X)\big)\qquad\text{for every }p\in(0,1).$ اگر $g$ پیوسته و اکیداً نزولی باشد، سطح بازتاب می‌یابد: $Q_p\big(g(X)\big)=g\big(Q_{1-p}(X)\big).$ اثبات یک‌خطی. برای $g$ صعودی، $\{g(X)\le g(x)\}=\{X\le x\}$، پس $F_{g(X)}\big(g(x)\big)=F_X(x)$ و وارون‌ها بر هم منطبق می‌شوند؛ برای $g$ نزولی پیشامد متمم می‌شود و $F_{g(X)}\big(g(x)\big)=1-F_X(x^{-})$ به دست می‌آید، یعنی $p\mapsto 1-p$.

عدم تقارنی که کنکور واقعاً آن را می‌سنجد. چندک‌ها با هر نگاشت اکیداً یکنوا جابه‌جا می‌شوند؛ امید ریاضی تنها با نگاشت‌های اَفاین جابه‌جا می‌شود: $E[aX+b]=aE[X]+b,\qquad\text{but}\qquad E\big[g(X)\big]\neq g\big(E[X]\big)\ \text{in general},$ و نامساوی ینسن جهت را تثبیت می‌کند — $E[g(X)]\le g(E[X])$ برای $g$ مقعّر، و $\ge$ برای $g$ محدّب، با تساوی اگر و تنها اگر $g$ روی تکیه‌گاه اَفاین باشد (یا $X$ تباهیده باشد). مثال شاخص: برای $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$، توزیع لگ‌نرمال $e^{X}$ دارای میانه $e^{\mu}$ است (تبدیلِ میانه) اما میانگین آن $e^{\mu+\sigma^{2}/2}$ است.

چندک‌هایی که باید از بر باشید.

دستور کار برای «$E[Y]$ و یک چندک از $Y=g(X)$ را بدهید». ۱. یکنوایی $g$ را روی $S_X$ بررسی کنید (با محاسبهٔ $g'$) و برد $g(S_X)$ را ثبت کنید. ۲. میانگین با LOTUS: از $g$ نسبت به $f_X$ انتگرال بگیرید — هرگز میانگین را در $g$ جای‌گذاری نکنید. ۳. چندک با هم‌وردایی: چندک $X$ را در $g$ جای‌گذاری کنید (وقتی $g$ نزولی است $p\mapsto 1-p$ کنید) — هرگز میانگین را جای‌گذاری نکنید.

۴. پالایهٔ سلامت‌سنجی: هر دو عدد باید در $g(S_X)$ بیفتند؛ گزینه‌ای که بیرون از آن بازه است، یا علامت نادرست دارد، بی‌درنگ می‌میرد.

۵. تبدیل بردارهای تصادفی

قضیه (تغییر متغیر در $\mathbb{R}^n$). فرض کنید $(X,Y)$ چگالی توأم $f_{X,Y}$ با تکیه‌گاه $S\subseteq\mathbb{R}^{2}$ داشته باشد و $T:(x,y)\mapsto(u,v)$ یک تناظر یک‌به‌یک از $S$ به روی $T(S)$ باشد که وارون آن $T^{-1}(u,v)=\big(x(u,v),y(u,v)\big)$ پیوسته‌مشتق‌پذیر با دترمینان ژاکوبی ناصفر است. آنگاه $f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}\big(x(u,v),y(u,v)\big)\,\bigl\lvert\det J\bigr\rvert,\qquad J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)},$ که تکیه‌گاه آن دقیقاً $T(S)$ است و در جای دیگر صفر است. حکم $n$-بعدی عیناً همین است با ژاکوبی $n\times n$؛ اگر $T$ به‌صورت $m$-به-یک باشد، همین عبارت را روی $m$ شاخهٔ وارون جمع بزنید.

چهار نکته که کار را سریع می‌کند:

• ژاکوبی‌های وارون. $\det\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\left(\det\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right)^{-1}$ — در هر جهتی که آسان‌تر است مشتق بگیرید و عدد را وارون کنید.
• نگاشت‌های خطی ژاکوبی ثابت دارند. اگر $(U,V)^{\mathsf T}=A\,(X,Y)^{\mathsf T}$ با $A$ وارون‌پذیر، آنگاه $f_{U,V}(w)=f_{X,Y}\big(A^{-1}w\big)\big/\lvert\det A\rvert$. برای زوج پرکاربرد مجموع/تفاضل با $A=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$، داریم $\det A=2$، پس چگالی در $\tfrac12$ ضرب می‌شود.
• یک تابع، یک متغیر کمکی. برای یافتن توزیع یک $U=g_1(X,Y)$ تنها، آن را با یک $V$ مناسب (معمولاً $V=Y$، $V=X$ یا $V=X+Y$) به یک تناظر یک‌به‌یک کامل کنید، قضیه را به کار ببرید، سپس از $v$ انتگرال بگیرید.
• باز هم اول تکیه‌گاه. $T(S)$ با عبور دادن هر نامساوی تعریف‌کنندهٔ $S$ از میان نگاشت وارون به دست می‌آید. این همان گامی است که گزینه‌ها برای تنبیه‌کردنش طراحی شده‌اند.

دستور کار. (۱) وارون کنید: $x,y$ را برحسب $u,v$ حل کنید. (۲) $\lvert\det J\rvert$ را حساب کنید. (۳) در $f_{X,Y}$ جای‌گذاری و ساده کنید — اغلب توان جمع می‌شود چون متغیرهای جدید طوری انتخاب شده‌اند که با آن بخوانند. (۴) تکیه‌گاه را منتقل کنید: هر نامساوی $x\in\cdot$ و $y\in\cdot$ را برحسب $(u,v)$ بازنویسی و اشتراک بگیرید. (۵) بررسی اختیاری: انتگرال چگالی روی ناحیهٔ منتقل‌شده باید $1$ شود، و انتگرال‌گیری از یک متغیر باید حاشیه‌ای آشنا برگرداند.

نتایج استاندارد. $f_{X+Y}(s)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,s-x)\,dx\ \ \xrightarrow{\ \text{independent}\ }\ \ (f_X*f_Y)(s)=\int f_X(x)f_Y(s-x)\,dx,$ $f_{X/Y}(r)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(ry,y)\,\lvert y\rvert\,dy,\qquad f_{XY}(p)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}\!\left(x,\tfrac{p}{x}\right)\frac{dx}{\lvert x\rvert}.$

استقلال را از روی تصویر بخوانید. اگر تکیه‌گاه منتقل‌شدهٔ $T(S)$ حاصل‌ضرب بازه‌ها نباشد (یک گوه، یک مثلث، یک قرص)، آنگاه $U$ و $V$ وابسته‌اند، هرچقدر هم که فرمول به‌زیبایی تجزیه شود — چون برد یک متغیر به مقدار دیگری بستگی دارد. برعکس، روی یک تکیه‌گاه مستطیلی، تجزیهٔ $f_{U,V}(u,v)=g(u)h(v)$ واقعاً استقلال می‌دهد. ناهم‌بستگی موضوعی متفاوت و ضعیف‌تر است: برای $X,Y$ مستقل و هم‌توزیع، زوج $U=X-Y$ و $V=X+Y$ دارای $\operatorname{Cov}(U,V)=\operatorname{Var}(X)-\operatorname{Var}(Y)=0$ است اما معمولاً وابسته است — نمونهٔ کتاب درسیِ زوج ناهم‌بسته اما وابسته.

۶. وقتی تبدیل گسسته است: روش مجموعه‌های تراز

اگر $g$ تنها شمارا مقدار بگیرد، چگالی‌ای برای یافتن وجود ندارد؛ تابع احتمال را مستقیماً از روی پیش‌نگاره‌ها بخوانید: $p_Y(k)=P\big(X\in g^{-1}(\{k\})\big).$ برای جزء صحیح (کف) یا سقف، پیش‌نگاره‌ها بازه‌اند، پس هر جرم فقط یک تفریق از مقادیر تابع توزیع است: $\{\lfloor h(X)\rfloor=k\}=\{k\le h(X)<k+1\},\qquad \{\lceil h(X)\rceil=k\}=\{k-1<h(X)\le k\}.$

واقعیت‌های کلیدی، همه یک‌خطی از همین قاعده:

• یکنواخت $\to$ یکنواخت گسسته. اگر $U\sim\mathrm{Uniform}(0,1)$ و $n\in\mathbb{N}$، بازه‌های $\left[\tfrac{k}{n},\tfrac{k+1}{n}\right)$ برای $k=0,1,\dots,n-1$ بازهٔ $[0,1)$ را کاشی‌کاری می‌کنند و هر کدام طول $\tfrac1n$ دارند، پس $\lfloor nU\rfloor\sim DU\{0,1,\dots,n-1\},\qquad \lfloor nU\rfloor+1\sim DU\{1,2,\dots,n\}.$ این دقیقاً همان دستور کتاب درسی برای شبیه‌سازی یک تاس سالم $n$-وجهی با یک فراخوانی از مولد $U(0,1)$ است؛ $\lceil nU\rceil\sim DU\{1,\dots,n\}$ نیز (تقریباً حتماً) برقرار است. گشتاورهای مفید روی $\{1,\dots,n\}$: $E=\dfrac{n+1}{2}$، $\operatorname{Var}=\dfrac{n^{2}-1}{12}$.
• یک انتقال قطعی، خانواده را حفظ می‌کند. $P(Y+c=j)=P(Y=j-c)$، پس انتقال یا بازتاب یک توزیع یکنواخت گسسته، باز هم یک یکنواخت گسسته روی تکیه‌گاه منتقل/بازتاب‌شده می‌دهد — تنها برچسب‌ها جابه‌جا می‌شوند.
• نمایی $\to$ هندسی. اگر $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$ آنگاه $P(\lfloor X\rfloor=k)=e^{-\lambda k}\left(1-e^{-\lambda}\right)$، یعنی $\lfloor X\rfloor$ روی $\{0,1,2,\dots\}$ هندسی با $p=1-e^{-\lambda}$ است — سایهٔ گسستهٔ بی‌حافظگی.
• تابع مشخصه. $Y=\mathbf{1}_{\{X\in A\}}\sim\mathrm{Bernoulli}\big(P(X\in A)\big)$؛ تابع احتمال هر تابع پلکانی از $X$ با احتمال‌های مجموعه‌های تراز آن داده می‌شود.
• وارون‌تبدیل، نسخهٔ گسسته. $Y=\min\{k:\ F(k)\ge U\}$ هر تابع توزیع گسستهٔ مقرر $F$ را می‌سازد.

حساب‌وکتاب نقاط انتهایی. برای $X$ پیوسته، تک‌نقطه‌ها پوچ‌اند، پس $[\,\cdot\,)$ در برابر $(\,\cdot\,]$ هرگز یک احتمال را تغییر نمی‌دهد — اما شمار تکیه‌گاه را تغییر می‌دهد. مقدار $\lfloor nU\rfloor=n$ مستلزم $U=1$ است، پیشامدی با احتمال $0$؛ پس بزرگ‌ترین مقدار حاصل‌شدنی $n-1$ است، نه $n$. با $n=2$ سلامت‌سنجی کنید: $\lfloor 2U\rfloor+1$ روی $[0,\tfrac12)$ برابر $1$ و روی $[\tfrac12,1)$ برابر $2$ است — یک سکهٔ سالم روی $\{1,2\}$.

۷. تبدیل انتگرال احتمال (یکسان‌ساز بزرگ)

اگر $X$ تابع توزیع پیوستهٔ $F$ داشته باشد، آنگاه $U=F(X)\sim\mathrm{Uniform}(0,1),$ زیرا $P(F(X)\le u)=P(X\le F^{-1}(u))=F(F^{-1}(u))=u$ برای $u\in(0,1)$. (اگر $F$ قطعه‌های افقی داشته باشد، $x_u=\sup\{x:F(x)\le u\}$ را بگیرید؛ قطعه‌های افقی احتمال $0$ حمل می‌کنند، پس محاسبه تغییری نمی‌کند.) نتایجی که کنکور عاشقشان است:

• $1-F(X)\sim\mathrm{Uniform}(0,1)$ نیز هست، پس هر تبدیلی که برحسب $F(X)$ نوشته شود به تبدیلی از یک یکنواخت استاندارد بدل می‌شود — چگالی خاص $X$ کاملاً حذف می‌شود.
• برای $U\sim\mathrm{Uniform}(0,1)$، $E[U^k]=\int_0^1 u^k\,du=\dfrac{1}{k+1}$، که بی‌درنگ می‌دهد $E[U]=\tfrac12$، $E[U^2]=\tfrac13$، $E[U^4]=\tfrac15$؛ و از این رو $\operatorname{Var}(U)=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac1{12}$ و $\operatorname{sd}(U)=\tfrac{1}{2\sqrt3}$.
• بنابراین هر نسبتی از گشتاورهای یکنواخت، یک ثابت جهانی و مستقل از توزیع $X$ است. پرپرسش‌ترین آن‌ها وارون ضریب تغییرات است $\frac{E[F(X)]}{\sqrt{\operatorname{Var}(F(X))}}=\frac{1/2}{1/(2\sqrt3)}=\sqrt{3},$ و به همین سیاق $E[F(X)^{k}]=\tfrac{1}{k+1}$ و $\operatorname{Cov}\big(F(X),F(X)^2\big)=\tfrac14-\tfrac12\cdot\tfrac13=\tfrac1{12}$.
• وارون‌تبدیل: برعکس، $F^{-1}(U)$ تابع توزیع $F$ دارد — پایهٔ شبیه‌سازی، و (بنا بر §۴) دلیل اینکه چندک‌های $X$ همان $F^{-1}$ در نقطهٔ $p$ هستند.
• پیوستگی $F$ ضروری است: اگر $F$ پرش داشته باشد ($X$ گسسته یا آمیخته) آنگاه $F(X)$ یکنواخت نیست؛ تنها در $P(F(X)\le u)\le u$ صدق می‌کند.

۸. خانوادهٔ نرمال: استانداردسازی، ترکیب‌های خطی و $\chi^{2}$

توزیع نرمال تحت تبدیل‌هایی که کنکور بر آن اعمال می‌کند بسته است، و تبدیل‌های درجه‌دوی آن دنباله‌های بسته‌شکل دارند — همین دو واقعیت با هم، یک دستهٔ کامل از سؤال‌ها را بدون حتی یک انتگرال پاسخ می‌دهد.

نگاشت‌های اَفاین و استانداردسازی. اگر $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ و $a\neq0$ آنگاه $aX+b\sim N(a\mu+b,\ a^{2}\sigma^{2})$؛ به‌ویژه $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).$

خواندن نماد دومتغیره. کنکور به‌صورت $N_2\big(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^{2},\sigma_2^{2},\rho\big)$ می‌نویسد: جایگاه سوم و چهارم واریانس‌اند، نه انحراف معیار. آنگاه:

• هر ترکیب خطی نرمال است: $aX+bY\sim N\big(a\mu_1+b\mu_2,\ a^{2}\sigma_1^{2}+b^{2}\sigma_2^{2}+2ab\rho\sigma_1\sigma_2\big)$.
• $\rho=0\iff X\perp Y$ برای یک زوج نرمال توأم — چگالی توأم تجزیه می‌شود. این هم‌ارزی ویژهٔ نرمال بودن توأم است؛ دو حاشیهٔ نرمال که ناهم‌بسته‌اند وقتی زوج، توأماً نرمال نباشد لازم نیست مستقل باشند.
• توزیع شرطی: $X\mid Y=y\ \sim\ N\!\left(\mu_1+\rho\dfrac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2),\ \sigma_1^{2}(1-\rho^{2})\right)$.

کای‌دو. اگر $Z_1,\dots,Z_k$ مستقل و هم‌توزیع $N(0,1)$ باشند آنگاه $W=\sum_{i=1}^{k}Z_i^{2}\sim\chi^{2}_{k}=\mathrm{Gamma}\!\left(\tfrac{k}{2},\ \text{scale }2\right),\qquad f_W(w)=\frac{w^{k/2-1}e^{-w/2}}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\ (w>0),$ با $E[W]=k$، $\operatorname{Var}(W)=2k$، $M_W(t)=(1-2t)^{-k/2}$ برای $t<\tfrac12$، و جمع‌پذیری در $k$ روی جمعوندهای مستقل. دو درجهٔ آزادی محبوب‌ترینِ کنکور است، چون دنباله مقدماتی است: $\chi^{2}_{2}=\mathrm{Exp}\!\left(\text{rate }\tfrac12\right),\qquad P\big(\chi^{2}_{2}>w\big)=e^{-w/2}.$ برای هر $k=2m$ زوج، دنباله یک مجموع پواسونی است: $P\big(\chi^{2}_{2m}>w\big)=e^{-w/2}\sum_{j=0}^{m-1}\frac{(w/2)^{j}}{j!}$؛ برای $k$ فرد به جدول نیاز دارید، پس سؤالی که پاسخ بسته‌شکل دارد دارد به شما می‌گوید $k$ زوج است.

پیشامدهای درجه‌دو: مربع را کامل کنید، سپس استاندارد کنید. صورتی به شکل $X^{2}+Y^{2}-2\mu(X+Y)>c$ در واقع بیرونِ یک قرص در لباس مبدل است: $X^{2}+Y^{2}-2\mu(X+Y)>c\iff (X-\mu)^{2}+(Y-\mu)^{2}>c+2\mu^{2}$ — توجه کنید که ثابت $\mu^{2}$ به ازای هر متغیر یک‌بار افزوده می‌شود. اگر افزون بر این $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$ و $\rho=0$ باشد، تقسیم بر $\sigma^{2}$ یک $\chi^{2}_{2}$ می‌سازد و $P\Big((X-\mu_1)^{2}+(Y-\mu_2)^{2}>R^{2}\Big)=P\!\left(\chi^{2}_{2}>\frac{R^{2}}{\sigma^{2}}\right)=e^{-R^{2}/(2\sigma^{2})}.$

نگاه قطبی / ریلی. چگالی نرمال دومتغیرهٔ استاندارد $\tfrac{1}{2\pi}e^{-(z_1^{2}+z_2^{2})/2}$ نسبت به دوران ناوردا است، پس تنها شعاع اهمیت دارد: $R=\sqrt{Z_1^{2}+Z_2^{2}}$ چگالی $re^{-r^{2}/2}$ (ریلی) دارد و $P(R>r)=e^{-r^{2}/2}$، که کادر بالا را با یک انتگرال قطبی یک‌خطی از نو نتیجه می‌دهد. زاویه $\mathrm{Uniform}(0,2\pi)$ و مستقل از $R$ است (این همان زوج باکس–مولر است).

نتایج توزیع‌های نمونه‌گیری. برای یک نمونهٔ مستقل و هم‌توزیع $N(\mu,\sigma^{2})$: $\bar X\sim N\big(\mu,\sigma^{2}/n\big)$، $\ (n-1)S^{2}/\sigma^{2}\sim\chi^{2}_{n-1}$ مستقل از $\bar X$، که از آن $t=\dfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1}$ نتیجه می‌شود و نسبت‌های $\chi^{2}$های مستقلِ مقیاس‌شده دارای توزیع $F$ هستند.

۹. تابع مولد گشتاور (MGF)

$M_X(t)=E\!\left[e^{tX}\right],\qquad\text{defined for }t\text{ in a neighborhood of }0.$

• گشتاورها را تولید می‌کند: $M_X^{(k)}(0)=E[X^k]$ (بسط تیلور $e^{tX}=\sum \tfrac{t^k}{k!}X^k$). به‌ویژه $E[X]=M'(0)$ و $\operatorname{Var}(X)=M''(0)-M'(0)^2$.
• یکتایی: اگر $M_X=M_Y$ روی بازه‌ای باز حول $0$ باشد، آنگاه $X\stackrel{d}{=}Y$. پس یک تابع مولد گشتاور توزیع را مشخص می‌کند — شکل بستهٔ آن را بشناسید و میانگین/واریانس را بخوانید.
• مجموع‌های مستقل تجزیه می‌شوند: اگر $X\perp Y$، آنگاه $M_{X+Y}(t)=M_X(t)\,M_Y(t)$. این خاصیت‌های بستگی را ثابت می‌کند (مجموع پواسون‌های مستقل پواسون است، مجموع نرمال‌های مستقل نرمال است، و مجموع $\chi^{2}$های مستقل یک $\chi^{2}$ با درجات آزادی جمع‌شده است).
• نگاشت‌های اَفاین: $M_{aX+b}(t)=e^{bt}M_X(at)$.
• هشدار وجود: ممکن است $M_X$ تنها در $t=0$ متناهی باشد (کوشی، لگ‌نرمال، هر دنبالهٔ سنگین)؛ آنگاه هیچ اطلاعی حمل نمی‌کند و از تابع مشخصهٔ $\varphi_X(t)=E\!\left[e^{itX}\right]$ استفاده می‌شود که همیشه وجود دارد و همواره توزیع را تعیین می‌کند.

۱۰. کوواریانس و واریانس ترکیب‌های خطی

کارت امید ریاضی، $\operatorname{Var}(X+Y)$ را تنها تحت استقلال می‌دهد. در حالت کلی، جملهٔ متقاطع باقی می‌ماند: $\operatorname{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y],\qquad \operatorname{Cov}(X,X)=\operatorname{Var}(X).$ کوواریانس دوخطی و متقارن است، پس برای هر ثابتی، $\operatorname{Var}(aX+bY)=a^{2}\operatorname{Var}(X)+b^{2}\operatorname{Var}(Y)+2ab\,\operatorname{Cov}(X,Y),$ $\operatorname{Var}\!\Big(\textstyle\sum_i a_iX_i\Big)=\sum_i a_i^{2}\operatorname{Var}(X_i)+2\sum_{i<j}a_ia_j\,\operatorname{Cov}(X_i,X_j).$ توجه کنید که ضرایب به‌صورت مجذور وارد می‌شوند: یک علامت منفی پیش از یک جمعوند هرگز به واریانس راه نمی‌یابد — تنها علامت جملهٔ متقاطع را برمی‌گرداند، $\operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)-2\operatorname{Cov}(X,Y)$. استقلال، $\operatorname{Cov}=0$ را ایجاب می‌کند (عکس آن نادرست است) و آنگاه مجموع دوگانه کاملاً حذف می‌شود: $X_i\ \text{independent}\ \Longrightarrow\ \operatorname{Var}\!\Big(\textstyle\sum_i a_iX_i\Big)=\sum_i a_i^{2}\operatorname{Var}(X_i).$ میانگین نمونه‌ای حالت خاص تمیز این قاعده است: برای نمونه‌ای مستقل و هم‌توزیع به اندازهٔ $n$ با واریانس جامعهٔ $\sigma^{2}$، جملات متقاطع محو می‌شوند و $\operatorname{Var}(\bar X)=\operatorname{Var}\!\Big(\tfrac1n\textstyle\sum_{i=1}^n X_i\Big)=\frac{1}{n^{2}}\cdot n\sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n}\ \ (\text{not }\sigma^2/n^2).$