سوال ۱۳۱ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۱

برپاسازی توزیع دونقطه‌ای

تکیه‌گاه برابر $S=\{2,7\}$ است، پس $X$ تنها دو مقدار $2$ و $7$ را می‌گیرد. بنویسیم $p = P(X=2), \qquad 1-p = P(X=7), \qquad 0<p<1 .$ (هر دو احتمال اکیداً مثبت‌اند، زیرا هر نقطه از تکیه‌گاه یک متغیر تصادفی گسسته جرم مثبت دارد.)

گام ۱ — استفاده از میانگین برای یافتن $p$

$E[X] = 2p + 7(1-p) = 7 - 5p = 4 \;\Longrightarrow\; p = \frac{3}{5},\qquad 1-p=\frac{2}{5}.$

پس $P(X=2)=\tfrac35$ و $P(X=7)=\tfrac25$ — که واقعاً یک توزیع معتبر است.

گام ۲ — گشتاور دوم و واریانس

$E[X^{2}] = 2^{2}\cdot\frac{3}{5} + 7^{2}\cdot\frac{2}{5} = \frac{12}{5} + \frac{98}{5} = \frac{110}{5} = 22 .$

بنا بر رابطهٔ محاسباتی $\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-\left(E[X]\right)^{2}$ داریم

$\operatorname{Var}(X) = 22 - 4^{2} = 22-16 = \boxed{6}.$

یک راه‌حل یک‌خطی (ارزش حفظ کردن دارد)

هر متغیر تصادفی با تکیه‌گاه دقیقاً دو نقطهٔ $a<b$، تصویری آفین از یک متغیر برنولی است: $X = a + (b-a)B$ که در آن $B\sim\mathrm{Bernoulli}(q)$ و $q=P(X=b)$. آنگاه $\mu = a+(b-a)q$ و $\operatorname{Var}(X) = (b-a)^{2}q(1-q) = (\mu-a)(b-\mu).$ در اینجا $a=2$، $b=7$، $\mu=4$، پس مستقیماً $\operatorname{Var}(X) = (4-2)(7-4) = 2\cdot 3 = 6 .$ هیچ احتمالی لازم نیست محاسبه شود.

بنابراین پاسخ گزینهٔ ۲ است.

نکتهٔ کنکوری: برای یک متغیر تصادفی دومقداری، واریانس همواره برابر $(\mu-a)(b-\mu)$ است — حاصل‌ضرب دو فاصلهٔ میانگین تا دو سر بازه. این مقدار وقتی $\mu$ در وسط بازه باشد بیشینه می‌شود (در اینجا $=(b-a)^2/4=6.25$)، و همین نشان می‌دهد چرا $8$ و $10$ برای تکیه‌گاه $\{2,7\}$ ناممکن‌اند: واریانس متغیری که در بازه‌ای به طول $5$ محصور است هرگز نمی‌تواند از $6.25$ بیشتر شود (نامساوی پوپوویچیو).