سوال ۱۳۲ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۱

روش. برای یک متغیر تصادفی پیوسته، تابع چگالی باید انتگرالش برابر $1$ شود (شرط بهنجارش)، و آنگاه $E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx .$ پس این یک مسئلهٔ دومرحله‌ای است: نخست $c$ را تعیین می‌کنیم، سپس از $x f(x)$ انتگرال می‌گیریم.

گام ۱ — ثابت بهنجارش. $1=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{1}^{2} c\,x^{2}\,dx=c\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2}=c\cdot\frac{8-1}{3}=\frac{7c}{3},$ بنابراین $c=\frac{3}{7}.$ (توجه کنید که $c>0$ است، همان‌گونه که برای یک تابع چگالی لازم است.)

گام ۲ — امید ریاضی. $E[X]=\int_{1}^{2} x\cdot\frac{3}{7}x^{2}\,dx=\frac{3}{7}\int_{1}^{2}x^{3}\,dx=\frac{3}{7}\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{1}^{2}=\frac{3}{7}\cdot\frac{16-1}{4}=\frac{3}{7}\cdot\frac{15}{4}=\frac{45}{28}.$

وارسی منطقی پاسخ. $\frac{45}{28}\approx 1.607$ که در بازهٔ $[1,2]$ قرار دارد و از نقطهٔ میانی $1.5$ بزرگ‌تر است، زیرا چگالی $\frac{3}{7}x^{2}$ روی $[1,2]$ صعودی است — یعنی جرم احتمال بیشتری نزدیک $x=2$ متمرکز شده است. هر پاسخی بیرون از $[1,2]$ ناممکن است و همین نکته گزینه‌های ۲، ۳ و ۴ را حذف می‌کند.

خاستگاه گزینه‌های انحرافی.

نکتهٔ کنکوری: تکیه‌گاه $[1,2]$ ایجاب می‌کند که $1\le E[X]\le 2$. کران‌گذاری میانگین بر پایهٔ تکیه‌گاه، پیش از هر انتگرال‌گیری سه گزینه از چهار گزینه را حذف می‌کند — همیشه میانگین را نسبت به تکیه‌گاه بازه‌وارسی کنید.