سوال ۱۳۳ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۱

صورت‌بندی مسئله

$X\sim\mathrm{U}(-1,1)$ دارای چگالی $f_X(x)=\tfrac{1}{2}\,\mathbf{1}_{(-1,1)}(x),$ است و $Y=1/X^{2}$ (پیشامد $X=0$ احتمال $0$ دارد، پس $Y$ تقریباً همه‌جا خوش‌تعریف است).

ابتدا تکیه‌گاه. برای $|x|<1$ داریم $0<x^{2}<1$، پس $Y=1/x^{2}>1$. بنابراین $Y$ مقادیری در $(1,\infty)$ می‌گیرد و چگالی باید برای $y<1$ صفر باشد — هر چهار گزینه این شرط را رعایت می‌کنند، پس تکیه‌گاه تمایزی ایجاد نمی‌کند.

روش تابع توزیع تجمعی (CDF)

تبدیل $x\mapsto 1/x^{2}$ روی $(-1,1)$ یک‌به‌یک نیست، بنابراین فرمول ساده‌ی تغییر متغیر تک‌شاخه‌ای کاربرد ندارد. راه مطمئن، محاسبه‌ی تابع توزیع تجمعی است. برای $y\ge 1$، $F_Y(y)=P\!\left(\frac{1}{X^{2}}\le y\right)=P\!\left(X^{2}\ge \frac{1}{y}\right)=P\!\left(|X|\ge y^{-1/2}\right).$

چون $y\ge 1$ نتیجه می‌دهد $0<y^{-1/2}\le 1$، و برای یک متغیر تصادفی یکنواخت روی $(-1,1)$ داریم $P(|X|\le a)=a$ برای $0\le a\le 1$ (مجموعه‌ی $\{|x|\le a\}$ طول $2a$ دارد، ضرب‌در چگالی $\tfrac12$)، $F_Y(y)=1-P\!\left(|X|< y^{-1/2}\right)=1-y^{-1/2},\qquad y\ge 1,$ و $F_Y(y)=0$ برای $y<1$.

مشتق‌گیری

$f_Y(y)=\frac{d}{dy}\left(1-y^{-1/2}\right)=\frac{1}{2}\,y^{-3/2},\qquad y\ge 1,$ و $f_Y(y)=0$ برای $y<1$. این همان گزینه‌ی ۱ است.

بررسی متقابل با فرمول ژاکوبی دوشاخه‌ای

برای $y>1$ معادله‌ی $y=1/x^{2}$ دو ریشه‌ی $x_{\pm}=\pm y^{-1/2}$ دارد که هر یک با $\left|\frac{dx_{\pm}}{dy}\right|=\frac{1}{2}y^{-3/2}.$ بنابراین $f_Y(y)=\sum_{\pm} f_X(x_{\pm})\left|\frac{dx_{\pm}}{dy}\right|=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}y^{-3/2}=\frac{1}{2}y^{-3/2}.$

بررسی بهنجارش: $\int_{1}^{\infty}\frac{1}{2}y^{-3/2}\,dy=\left[-y^{-1/2}\right]_{1}^{\infty}=1.\checkmark$

(توجه کنید $E[Y]=\int_1^\infty \tfrac12 y^{-1/2}dy=\infty$: امید ریاضی $1/X^2$ بی‌نهایت است، که با یک دُم از نوع پارتو با شاخص $\tfrac{1}{2}$ سازگار است.)

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

هر سه گزینه‌ی انحرافی نیز چگالی‌های معتبری روی $[1,\infty)$ هستند (انتگرال هرکدام برابر $1$ است)، پس بهنجارش به‌تنهایی تعیین‌کننده نیست — باید واقعاً تبدیل را انجام دهید.

نکتهٔ کنکوری: هرگاه $g$ زوج باشد (اینجا $g(x)=x^{-2}$) و تکیه‌گاه متقارن باشد، از روش تابع توزیع تجمعی استفاده کنید — یا از فرمول چندشاخه‌ای $f_Y(y)=\sum_i f_X(x_i)\,|dx_i/dy|$. تقارن باعث می‌شود دو شاخه سهم برابر داشته باشند، پس پاسخ دقیقاً دو برابر پاسخ یک‌طرفه است — که در اینجا اتفاقاً همان نتیجه‌ی حالت $X\sim\mathrm{U}(0,1)$ را بازتولید می‌کند، چون چگالی یک‌طرفه نصف شده است.