سوال ۱۳۱ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۰

صورت‌بندی مسئله: آمیزه‌ای از سه تاس یکنواخت

فرض کنید $T$ نشان‌دهندهٔ نوع تاس انتخاب‌شده باشد، به‌طوری که

$P(T=4)=0.20,\qquad P(T=6)=0.50,\qquad P(T=8)=0.30 .$

(مجموع این سه نسبت برابر $1$ است، پس «۳۰٪ باقی‌مانده» سازگار است.)

به شرط $T=n$، تاس سالم است و وجه‌های آن با $1,2,\dots,n$ شماره‌گذاری شده‌اند، یعنی $X\mid T=n \sim \mathrm{Unif}\{1,\dots,n\}$. امید ریاضی توزیع یکنواخت گسسته روی $\{1,\dots,n\}$ برابر است با

$E(X\mid T=n)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2}.$

بنابراین

$E(X\mid T=4)=\tfrac{5}{2}=2.5,\qquad E(X\mid T=6)=\tfrac{7}{2}=3.5,\qquad E(X\mid T=8)=\tfrac{9}{2}=4.5 .$

قانون امید ریاضی کل (خاصیت برجی)

چون پیشامدهای $\{T=4\},\{T=6\},\{T=8\}$ افرازی از فضای نمونه‌اند،

$E(X)=E\big(E(X\mid T)\big)=\sum_{n\in\{4,6,8\}} E(X\mid T=n)\,P(T=n).$

پس

$E(X)=0.20(2.5)+0.50(3.5)+0.30(4.5)=0.50+1.75+1.35=3.60 .$

بنابراین $E(X)=3.6$ که همان گزینهٔ ۲ است.

بررسی از راه تابع احتمال (اختیاری)

می‌توان تابع احتمال آمیزه را نیز مستقیماً ساخت. برای $k=1,2,3,4$ هر سه تاس می‌توانند مقدار $k$ را نشان دهند:

$P(X=k)=\frac{0.2}{4}+\frac{0.5}{6}+\frac{0.3}{8}=0.05+0.08\overline{3}+0.0375=0.1708\overline{3},$

برای $k=5,6$ تنها تاس‌های ۶‌وجهی و ۸‌وجهی سهم دارند، یعنی $P(X=k)=\frac{0.5}{6}+\frac{0.3}{8}=0.1208\overline{3}$، و برای $k=7,8$ تنها تاس ۸‌وجهی، یعنی $P(X=k)=\frac{0.3}{8}=0.0375$. در نتیجه

$E(X)=0.1708\overline{3}(1+2+3+4)+0.1208\overline{3}(5+6)+0.0375(7+8)=1.708\overline{3}+1.3291\overline{6}+0.5625=3.6 .$

هر دو مسیر، چنان‌که باید، به یک نتیجه می‌رسند.

میان‌بُر اَفاین

چون امید ریاضی شرطی، یعنی نگاشت $n\mapsto\frac{n+1}{2}$، نسبت به $n$ اَفاین است، خطی‌بودن امید ریاضی برای هر مجموعه وزن‌های آمیزش می‌دهد:

$E(X)=E\!\left(\frac{T+1}{2}\right)=\frac{E(T)+1}{2}.$

در اینجا $E(T)=0.2(4)+0.5(6)+0.3(8)=6.2$ است، پس $E(X)=\frac{6.2+1}{2}=3.6$ — همان پاسخ؛ و این تصادفی نیست: اَفاین‌بودن آن را ایجاب می‌کند، نه این درصدهای خاص.

نکتهٔ کنکوری: در یک آمیزه، قاعدهٔ مطمئن همیشه این است که «میانگین‌های شرطی را با وزن‌های آمیزش میانگین بگیرید». جایگزین‌کردن پارامتر با میانگینش، یعنی $E(X)=g\big(E(T)\big)$، تنها زمانی مجاز است که $g$ اَفاین باشد — چنان‌که برای $g(n)=\frac{n+1}{2}$ چنین است. برای گشتاور شرطی غیرخطی، مثلاً $E(X^2\mid T=n)=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}$، یا برای واریانس، این میان‌بُر شکست می‌خورد (نامساوی ینسن) و باید به‌درستی شرطی کنید.