سوال ۱۳۲ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۰

گام ۱ — یافتن ثابت نرمال‌سازی $k$

یک تابع تنها در صورتی چگالی است که انتگرال آن برابر $1$ باشد. حاصل‌ضرب را باز می‌کنیم و از دو تابع نمایی به‌طور جداگانه انتگرال می‌گیریم (در اینجا برای همگرایی به $a>0$ نیاز است):

$\int_{0}^{\infty} k\,e^{-ax}\left(1-e^{-ax}\right)dx = k\int_{0}^{\infty}\left(e^{-ax}-e^{-2ax}\right)dx = k\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{2a}\right)=\frac{k}{2a}.$

با قرار دادن $\frac{k}{2a}=1$ به دست می‌آید

$\boxed{k = 2a},\qquad f(x)=2a\left(e^{-ax}-e^{-2ax}\right),\quad x>0 .$

گام ۲ — احتمال دنباله

$P(X>1)=\int_{1}^{\infty} 2a\left(e^{-ax}-e^{-2ax}\right)dx = 2a\left[\frac{e^{-a}}{a}-\frac{e^{-2a}}{2a}\right] = 2e^{-a}-e^{-2a}.$

پس پاسخ گزینهٔ ۱ است.

راه هوشمندانه‌تر: شناختن توزیع

با انتگرال‌گیری از چگالی روی بازهٔ $0$ تا $x$ داریم

$F(x)=\int_{0}^{x}2a\left(e^{-at}-e^{-2at}\right)dt = 2\left(1-e^{-ax}\right)-\left(1-e^{-2ax}\right)=\left(1-e^{-ax}\right)^{2}.$

این دقیقاً تابع توزیع تجمعی (CDF) متغیر $X=\max(Y_1,Y_2)$ است که در آن $Y_1,Y_2$ مستقل و هم‌توزیع با توزیع نمایی $\mathrm{Exp}(a)$ هستند. بنابراین

$P(X>1)=1-F(1)=1-\left(1-e^{-a}\right)^{2}=2e^{-a}-e^{-2a},$

که بنا بر اصل شمول و عدم شمول با $P(\text{at least one } Y_i>1)$ نیز برابر است: $2e^{-a}-e^{-2a}$.

چرا گزینه‌های دیگر آمده‌اند

شرط جانبی $a<\mathrm{Ln}\,2$ هیچ نقشی در محاسبه ندارد؛ تنها مقدار عددی را در بازهٔ $P(X>1)=1-(1-e^{-a})^{2}>1-\left(1-\tfrac12\right)^{2}=\tfrac34$ قرار می‌دهد. این شرط یک انحراف‌دهنده (شاه‌ماهی قرمز) است.

نکتهٔ کنکوری: هرگاه چگالی شامل یک ثابت مجهول $k$ باشد، نخست $k$ را از رابطهٔ $\int f = 1$ به دست آورید — گزینهٔ انحرافی ساخته‌شده بر پایهٔ $k=1$ همیشه در میان گزینه‌ها هست. همچنین توجه کنید که چگالی‌ای به شکل $c\,e^{-ax}(1-e^{-ax})$ همان توزیع بیشینهٔ دو متغیر نمایی مستقل و هم‌توزیع است، پس $F(x)=(1-e^{-ax})^{2}$ را می‌توان بدون هیچ انتگرال‌گیری‌ای نوشت.