سوال ۱۳۳ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۰

انتخاب متغیر تصادفی مناسب

هر یک از $n=225$ دارندهٔ بلیت، مستقل از دیگران، با احتمال $0.2$ وجه خود را پس می‌گیرد؛ بنابراین با احتمال

$p = 1 - 0.2 = 0.8 .$

وجه خود را پس نمی‌گیرد. فرض کنید $X$ تعداد مسافرانی باشد که وجه خود را پس نمی‌گیرند. آنگاه

$X \sim \mathrm{Bin}(n,p) = \mathrm{Bin}(225,\,0.8),$

$\mathbb{E}[X] = np = 225 \times 0.8 = 180, \qquad \operatorname{Var}(X) = np(1-p) = 225 \times 0.8 \times 0.2 = 36, \qquad \sigma = 6 .$

پیشامد «حداکثر ۶۰٪ آنان وجه خود را پس نگیرند» عبارت است از

$\left\{ \frac{X}{225} \le 0.6 \right\} = \{X \le 135\}.$

تقریب نرمال (قضیهٔ حد مرکزی / دوموآور–لاپلاس)

چون $np = 180 \ge 5$ و $n(1-p) = 45 \ge 5$، قضیهٔ دوموآور–لاپلاس (همان قضیهٔ حد مرکزی برای مجموع متغیرهای برنولی مستقل و هم‌توزیع) نتیجه می‌دهد

$\frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \;\xrightarrow{\ d\ }\; Z \sim N(0,1).$

بنابراین

$P(X \le 135) \approx P\!\left( Z \le \frac{135 - 180}{6} \right) = P(Z \le -7.5) \approx 0,$

و با تصحیح پیوستگی $P(X\le 135)\approx P\!\left(Z \le \frac{135.5-180}{6}\right)=P(Z\le -7.42)$ — که به همان نتیجه می‌رسد.

انحراف استاندارد نرمالِ $-7.5$ احتمال دُنباله‌ای از مرتبهٔ $3\times 10^{-14}$ دارد، یعنی عملاً صفر. هم‌ارز آن، برحسب نسبت نمونه‌ای $\hat p = X/225$ با خطای معیار $\sqrt{p(1-p)/n} = \sqrt{0.16/225} \approx 0.0267$، شرط $\hat p \le 0.6$ وقتی $p = 0.8$ است یعنی قرار گرفتن در فاصلهٔ $7.5$ خطای معیار پایین‌تر از میانگین.

حتی بدون جدول نرمال هم یک کران خام چبیشف گزینه‌ها را مشخص می‌کند:

$P(X \le 135) \le P\big(|X - 180| \ge 45\big) \le \frac{36}{45^{2}} = \frac{36}{2025} \approx 0.018,$

که همین‌جا گزینه‌های $0.5$، $0.75$ و $1$ را رد می‌کند؛ سپس دنبالهٔ نرمال مقدار را روی $0$ تثبیت می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۱ — صفر.

تلهٔ رایج: واژهٔ زیرخط‌دار نگیرند («وجه خود را پس نگیرند») تمام صورت مسئله است. اگر آن را «حداکثر ۶۰٪ وجه خود را پس بگیرند» بخوانید، $\mathrm{Bin}(225,0.2)$ با میانگین $45$ را می‌گیرید، به $z = (135-45)/6 = +15$ می‌رسید و پاسخ $\approx 1$ می‌دهید — دقیقاً گزینهٔ انحرافی ۴ که برای همین بدخوانی کار گذاشته شده است.