قضیهٔ حد مرکزی و تقریب نرمال

بیان قضیه

فرض کنید $X_1, X_2, \ldots, X_n$ متغیرهایی مستقل و هم‌توزیع با میانگین متناهی $\mu = E[X_i]$ و واریانس متناهی $\sigma^2 = \operatorname{Var}(X_i) > 0$ باشند. میانگین نمونه‌ای را با $\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ نشان می‌دهیم. آنگاه وقتی $n \to \infty$،

$\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \;\xrightarrow{d}\; Z \sim N(0,1).$

به‌طور معادل، برای $n$ بزرگ مجموع و میانگین تقریباً نرمال هستند:

$\sum_{i=1}^{n} X_i \;\approx\; N\!\left(n\mu,\; n\sigma^2\right), \qquad \bar{X}_n \;\approx\; N\!\left(\mu,\; \frac{\sigma^2}{n}\right).$

این نتیجه صرف‌نظر از توزیع مادر (برنولی، خی‌دو، یکنواخت، ...) برقرار است، به شرط آنکه $\sigma^2 < \infty$ باشد. همین جهانی‌بودن دقیقاً دلیلی است که واژهٔ «تقریباً» در صورت یک سؤال کنکوری تقریباً همیشه نشانهٔ قضیهٔ حد مرکزی است.

نحوهٔ به‌کارگیری (دستور کار کنکوری)

1. بلوک‌های سازندهٔ مستقل و هم‌توزیع را شناسایی کنید و آمارهٔ $S = \sum g(X_i)$ یا میانگین $T = \frac1n\sum g(X_i)$ را مشخص کنید.
2. $E[g(X)]$ و $\operatorname{Var}(g(X))$ را برای یک جملهٔ منفرد محاسبه کنید.
3. میانگین و انحراف معیار مقدار تجمیعی را بسازید: $E[T] = E[g(X)], \qquad \operatorname{SD}(T) = \sqrt{\frac{\operatorname{Var}(g(X))}{n}}.$
4. آستانهٔ $t$ را به یک نمرهٔ $z$ استانداردسازی کنید و دنبالهٔ نرمال استاندارد را بخوانید: $P(T > t) \approx P\!\left(Z > \frac{t - E[T]}{\operatorname{SD}(T)}\right).$

دو حالت خاص متعارف

نسبت نمونه‌ای (دو-موآور–لاپلاس). اگر $g(X_i) = I(A_i)$ یک شاخص با احتمال موفقیت $p$ باشد، آنگاه $S \sim \text{Binomial}(n,p)$ و نسبت $\hat p = S/n$ در رابطهٔ زیر صدق می‌کند

$\hat p \;\approx\; N\!\left(p,\; \frac{p(1-p)}{n}\right).$

میان‌بُر تقارن. برای هر آماره‌ای که به‌طور مجانبی حول میانگین خود $m$ نرمال است، توزیع حدی حول $m$ متقارن است، پس

$P(T > m) \;\xrightarrow{n\to\infty}\; P(Z > 0) = \frac{1}{2}.$

وقتی آستانه برابر با میانگین باشد، هیچ انتگرال دنباله‌ای لازم نیست.

مقادیر دنبالهٔ نرمال استاندارد که ارزش حفظ‌کردن دارند

نمونه‌های حل‌شدهٔ کنکوری

آستانه = میانگین $\Rightarrow \tfrac12$ (سؤال ۱۲۷). با $X_i \sim N(0,\sigma^2)$ و $T^2 = \frac1n\sum X_i^2$، توجه کنید که $\sum (X_i/\sigma)^2 \sim \chi^2_n$ با میانگین $n$ است. چون $\{T>\sigma\} = \{\frac1n\sum X_i^2 > \sigma^2\}$ این پرسش را مطرح می‌کند که آیا میانگین نمونه‌ای $X_i^2$ از میانگین خودش $E[X_i^2]=\sigma^2$ فراتر می‌رود، قضیهٔ حد مرکزی آن را متقارن می‌کند و $P \approx \tfrac12$ می‌شود.

رسیدن به $z = 1.96$ (سؤال ۱۳۷). با $T = \frac{1}{25}\sum_{i=1}^{25} I(X_i \ge \mu)$ و $p = P(X_i \ge \mu) = \tfrac12$ بنا بر تقارن نرمال، $T$ یک نسبت نمونه‌ای با $E[T]=0.5$ و $\operatorname{SD}(T)=\sqrt{\frac{(1/2)(1/2)}{25}}=0.1$ است. آنگاه $z = \frac{0.696-0.5}{0.1} = 1.96$، پس $P(T>0.696) \approx P(Z>1.96) = 0.025$.

نکتهٔ کنکوری: «تقریباً» + یک میانگین نمونه‌ای = قضیهٔ حد مرکزی. ابتدا بررسی کنید که آیا آستانه برابر با میانگین است — اگر چنین باشد پاسخ $\tfrac12$ است بدون هیچ محاسبه‌ای. در غیر این صورت استانداردسازی کنید و به دنبال یک $z$ مهندسی‌شده باشید ($1.645$, $1.96$, $2.33$). یک احتمال عددی محض در $[0,1]$ است، پس هر گزینه‌ای که به یک پارامتر مقیاس مانند $\sigma$ وابسته باشد از نظر بُعدی ناممکن است و می‌توان آن را در نگاه اول حذف کرد.