سوال ۶۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۵

اتحادهای استاندارد را برای زیرمجموعهٔ $A$ از یک فضای متریک (در واقع هر فضای توپولوژیک) به یاد آورید:

$\overline{A} = A \cup A', \qquad \partial A = \overline{A} \setminus A^{\circ},$

که در آن $A'$ مجموعهٔ مشتق (نقاط حدی)، $A^{\circ}$ درون، و $\overline{A}$ بستار است. فرض $A \cap A' = \emptyset$ می‌گوید که هیچ نقطه‌ای از $A$ نقطهٔ حدی $A$ نیست — یعنی هر نقطهٔ $A$ منزوی است.

گزینهٔ ۱ درست است. فرض کنید $A \cap A' = \emptyset$. یک $x \in A'$ دلخواه بگیرید.

• چون $A' \subseteq \overline{A}$، پس $x \in \overline{A}$.
• چون $A^{\circ} \subseteq A$ و $x \in A'$ در حالی که $A \cap A' = \emptyset$، نتیجه می‌گیریم $x \notin A$، و در نتیجه $x \notin A^{\circ}$.

بنابراین $x \in \overline{A} \setminus A^{\circ} = \partial A$. چون $x$ دلخواه بود، $A' \subseteq \partial A$. $\quad\blacksquare$

چرا بقیه نادرست‌اند (مثال‌های نقض):

• گزینهٔ ۲ ($A \cap A' = \emptyset \Rightarrow \partial A \subseteq A'$). فرض کنید $A = \{0\} \subset \mathbb{R}$. آنگاه $A' = \emptyset$، پس $A \cap A' = \emptyset$ برقرار است، اما $\partial A = \{0\}$ (یک نقطه درونی تهی دارد و با بستار خود برابر است). پس $\partial A = \{0\} \not\subseteq \emptyset = A'$.

• گزینهٔ ۳ ($A$ ناشمارا $\Rightarrow A' \neq \emptyset$). یک مجموعهٔ ناشمارای $X$ را با متریک گسسته $d(x,y)=1$ برای $x\neq y$ در نظر بگیرید و $A = X$ را بردارید. هر نقطه منزوی است، پس $A' = \emptyset$ با وجود آنکه $A$ ناشمارا است. (نتیجه‌گیری از نوع بولتسانو–وایرشتراس در یک فضای متریک عمومی به چیزی بیش از ناشمارایی نیاز دارد.)

• گزینهٔ ۴ ($A$ ناتهی و متناهی $\Rightarrow \partial A \neq \emptyset$). در فضای متریک گسسته، یک تک‌نقطهٔ $A = \{p\}$ هم باز و هم بسته است، پس $A^{\circ} = \overline{A} = A$ و $\partial A = \overline{A}\setminus A^{\circ} = \emptyset$.

نکتهٔ کنکوری: $A \cap A' = \emptyset$ دقیقاً همان گزارهٔ «$A$ مجموعه‌ای از نقاط منزوی است» می‌باشد. آنگاه هیچ نقطه‌ای از $A$ نمی‌تواند درونی باشد، پس نقاط حدی — که در بستار قرار دارند اما بیرون از $A$ — روی مرز $\partial A = \overline A \setminus A^{\circ}$ محبوس می‌شوند.