مجموعه‌های باز و بسته، درون، بستار، مرز و چگالی

۱. عملگرهای نقطه‌مجموعه‌ای — به‌همراه چگالی

یک فضای متریک $(X,d)$ را ثابت بگیرید (هر چه در ادامه می‌آید، تا وقتی از گوی، فاصله یا دنباله استفاده نشود، در یک فضای توپولوژیک عمومی نیز برقرار است) و زیرمجموعه‌ای $A\subseteq X$ در نظر بگیرید. برای گوی باز می‌نویسیم $B(x,\varepsilon)=\{y:d(x,y)<\varepsilon\}$ و $A^{c}=X\setminus A$.

• مجموعهٔ باز: هر نقطه گویی درون $A$ دارد: $\forall x\in A,\ \exists\varepsilon>0,\ B(x,\varepsilon)\subseteq A$.
• مجموعهٔ بسته: $X\setminus A$ باز است — هم‌ارز با آن‌که $A$ همهٔ نقاط حدی‌اش را در بر دارد.
• درون $A^{\circ}$ (که $\operatorname{int}A$ هم نوشته می‌شود): بزرگ‌ترین مجموعهٔ باز درون $A$؛ $\ x\in A^{\circ}\iff\exists\varepsilon>0,\ B(x,\varepsilon)\subseteq A$.
• بستار $\overline A$: کوچک‌ترین مجموعهٔ بستهٔ شامل $A$؛ $\ x\in\overline A\iff\forall\varepsilon>0,\ B(x,\varepsilon)\cap A\neq\varnothing$ (یک نقطهٔ چسبیده).
• مجموعهٔ مشتق $A'$ (نقاط حدی / انباشتگی): $\ x\in A'\iff\forall\varepsilon>0,\ B(x,\varepsilon)\cap(A\setminus\{x\})\neq\varnothing$ — هر گوی، $A$ را در نقطه‌ای $\neq x$ قطع می‌کند.
• مرز $\partial A$: $\ x\in\partial A\iff$ هر گوی هم $A$ و هم $X\setminus A$ را قطع کند.
• نقطهٔ منزوی $A$: نقطهٔ $x\in A$ که گویی با $B(x,\varepsilon)\cap A=\{x\}$ داشته باشد. نقاط منزوی دقیقاً همان $A\setminus A'$ هستند؛ می‌نویسیم $\operatorname{Iso}(A)=A\setminus A'$.
• نقطهٔ تراکم $A$: نقطهٔ $x\in X$ که برای هر $\varepsilon>0$، مجموعهٔ $B(x,\varepsilon)\cap A$ ناشمارا باشد. می‌نویسیم $\operatorname{Cond}(A)$. هر نقطهٔ تراکم یک نقطهٔ حدی است؛ عکس آن نادرست است ($A=\{1/n\}$ دارای $A'=\{0\}$ است ولی $\operatorname{Cond}(A)=\varnothing$).
• چگال در خود / کامل: $A$ را چگال در خود می‌گوییم هرگاه $A\subseteq A'$ (بدون نقطهٔ منزوی) و کامل می‌گوییم هرگاه $A=A'$ (بسته و بدون نقطهٔ منزوی).
• مجموعهٔ هم‌باز‌وبسته (clopen): هم‌زمان باز و بسته — هم‌ارز با $\partial A=\varnothing$. همبندی دقیقاً دربارهٔ همین مجموعه‌هاست (§۹).
• مجموعهٔ چگال: $D\subseteq X$ با $\overline D=X$ — هم‌ارز با آن‌که $D$ هر مجموعهٔ باز ناتهی را قطع کند.
• مجموعهٔ هیچ‌جا چگال: مجموعهٔ $N$ با $\left(\overline N\right)^{\circ}=\varnothing$ — بستارش هیچ گویی را در بر ندارد؛ هم‌ارز با آن‌که $X\setminus\overline N$ چگال باشد.
• باز منظم / بستهٔ منظم: $A=\left(\overline A\right)^{\circ}$ / $A=\overline{A^{\circ}}$ — اکیداً قوی‌تر از باز / بسته (§۶).

سه گوی و قطر. در کنار گوی باز $B(a,r)$، از گوی بسته $\bar B[a,r]=\{x:d(x,a)\le r\}$، از کره $S(a,r)=\{x:d(x,a)=r\}$ و از قطر $\operatorname{diam}A=\sup\{d(x,y):x,y\in A\}$ نیز استفاده می‌شود. گوی باز، باز است، گوی بسته و کره بسته‌اند، و — و این یک تلهٔ همیشگی است — $\overline{B(a,r)}$ لزوماً برابر $\bar B[a,r]$ نیست (§۵). قطر و کران‌داری خواصِ متریکاند نه توپولوژی: متریک $d'=\dfrac{d}{1+d}$ با $1$ کران‌دار است و دقیقاً همان مجموعه‌های باز را القا می‌کند، پس هیچ فرضی دربارهٔ $\operatorname{diam}X$ هرگز نمی‌تواند پرسشی دربارهٔ باز، بسته، درون، بستار یا چگالی را حل کند.

هر چه یک سؤال کنکوری می‌تواند دربارهٔ این اشیا بپرسد، از اتحادهای §۲–§۹ زاده می‌شود.

۲. اتحادهایی که کنکور بر آن‌ها بنا شده است

$\overline A \;=\; A\cup A' \;=\; A^{\circ}\,\sqcup\,\partial A,\qquad A^{\circ}\;=\;X\setminus\overline{\,X\setminus A\,}.$

$\partial A \;=\; \overline A\setminus A^{\circ}\;=\;\overline A\cap\overline{\,X\setminus A\,}\;=\;\partial(X\setminus A).$

نتایجی که باید بی‌درنگ نقل شوند:

• $A$ بسته $\iff A=\overline A\iff A'\subseteq A$.
• $A$ باز $\iff A=A^{\circ}\iff A\cap\partial A=\varnothing$.
• $A$ هم‌باز‌وبسته $\iff \partial A=\varnothing$.
• $A^{\circ}\subseteq A\subseteq\overline A$، و $X=A^{\circ}\ \sqcup\ \partial A\ \sqcup\ (X\setminus A)^{\circ}$ (سه تکهٔ مجزا).
• بستار دنباله‌ای (متریک / شمارای اول): $x\in\overline A\iff$ دنباله‌ای $x_n\in A$ با $x_n\to x$ وجود داشته باشد. برای یک نقطهٔ حدی $x\in A'$ می‌توان $x_n\neq x$ گرفت؛ برای یک نقطهٔ چسبیدهٔ منزوی، دنبالهٔ ثابت $x_n=x$ کار می‌کند — به همین دلیل است که بستار نقاط منزوی‌ای را می‌گیرد که $A'$ و $\partial A$ از دست می‌دهند.
• بستگی دنباله‌ای: $F$ بسته است $\iff$ حد هر دنبالهٔ همگرای متشکل از نقاط $F$ در $F$ باشد. این ابزار اصلی برای اثبات «این مجموعهٔ مشخص بسته است» می‌باشد (§۷).
• افراز یک مجموعه با نقاط خودش: $A=\operatorname{Iso}(A)\ \sqcup\ (A\cap A')$ — هر نقطهٔ $A$ یا در $A$ منزوی است یا نقطهٔ حدی $A$ است.

بستار و درون به‌عنوان مجموعه‌های اکسترمال. دو واژهٔ «کوچک‌ترین» و «بزرگ‌ترین» به‌معنای واقعی اشتراک/اجتماع‌اند:

$\overline A=\bigcap\{F\subseteq X:\ F\ \text{closed},\ A\subseteq F\},\qquad A^{\circ}=\bigcup\{U\subseteq X:\ U\ \text{open},\ U\subseteq A\}.$

این روش استاندارد پنهان‌کردن واژهٔ «بستار» در کنکور است: برای هر مجموعهٔ $Y$، $Y\subseteq\overline A\iff\bigl(\forall F\ \text{closed}\bigr)\bigl(A\subseteq F\Rightarrow Y\subseteq F\bigr).$

جبر عملگرها (تله در همان نامتقارنی‌هاست):

• $\overline{A\cup B}=\overline A\cup\overline B$، اما تنها $\overline{A\cap B}\subseteq\overline A\cap\overline B$ — که برای $A=\mathbb{Q},\ B=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ اکید است ($\varnothing$ در برابر $\mathbb{R}$).
• صورت ترمیم‌شدهٔ شمول ناموفق: اگر $U$ باز باشد آنگاه $\overline A\cap U\subseteq\overline{A\cap U}$ برای هر $A$ — نگاه کنید به §۵، که در آن این لم اثبات و به‌کار گرفته می‌شود.
• $(A\cap B)^{\circ}=A^{\circ}\cap B^{\circ}$، اما تنها $A^{\circ}\cup B^{\circ}\subseteq(A\cup B)^{\circ}$؛ صورت دوگانِ ترمیم‌شده این است: $(A\cup F)^{\circ}\subseteq A^{\circ}\cup F$ برای $F$ بسته.
• اجتماع دلخواه و اشتراک متناهی مجموعه‌های باز، باز است (و به‌طور دوگان برای بسته‌ها). رابطهٔ $\bigcap_{n\ge1}\left(-\tfrac1n,\tfrac1n\right)=\{0\}$ نشان می‌دهد اشتراک‌های نامتناهی از این قاعده می‌گریزند.
• $\partial A$ همواره بسته است؛ $\partial\overline A\subseteq\partial A$، $\ \partial(A^{\circ})\subseteq\partial A$، و $\partial(\partial A)\subseteq\partial A$.
• $\partial(A\cup B)\subseteq\partial A\cup\partial B$ و $\partial(A\cap B)\subseteq\partial A\cup\partial B$، با تساوی در مورد اول هرگاه $\overline A\cap\overline B=\varnothing$.
• یکنوا $+$ خودتوان: $A\subseteq B\Rightarrow\overline A\subseteq\overline B$ و $A^{\circ}\subseteq B^{\circ}$؛ $\overline{\overline A}=\overline A$، $(A^{\circ})^{\circ}=A^{\circ}$.

۳. دوگانی متمم‌گیری، و این‌که مرز کِی هیچ‌جا چگال است

قضیه (دوگانی). در هر فضای توپولوژیک و برای هر $A\subseteq X$،

$\left(A^{\circ}\right)^{c}=\overline{A^{c}},\qquad\qquad\left(\overline A\right)^{c}=\left(A^{c}\right)^{\circ}.$

اثبات. $x\notin A^{\circ}$ یعنی هیچ گوی $B(x,r)$ درون $A$ قرار ندارد، یعنی هر گوی $A^{c}$ را قطع می‌کند، یعنی $x\in\overline{A^{c}}$ — و این همان اتحاد اول است. با جای‌گذاری $A^{c}$ به‌جای $A$ در آن، $\left(\left(A^{c}\right)^{\circ}\right)^{c}=\overline A$ به‌دست می‌آید و متمم‌گیری اتحاد دوم را می‌دهد. $\blacksquare$

این دو اتحاد یک گزاره‌اند که از دو سو دیده شده‌اند: متمم‌گیری، درون و بستار را جابه‌جا می‌کند. با مرتب‌سازی دوباره می‌خوانیم $A^{\circ}=X\setminus\overline{A^{c}}$ و $\overline A=X\setminus\left(A^{c}\right)^{\circ}$ (همان صورتی که در §۲ نقل شد)، و این‌ها بی‌درنگ «$A$ باز $\iff A^{c}$ بسته» و نیز $\partial A=\overline A\cap\overline{A^{c}}=\partial(A^{c})$ را دوباره اثبات می‌کنند. با یک خوانش دیگر، اتحاد اول همان معیار چگالی $\overline{X\setminus A}=X\iff A^{\circ}=\varnothing$ است که §۸ آن را به یک روال تصمیم‌گیری بدل می‌کند.

قضیه (مرز یک مجموعهٔ باز، یا یک مجموعهٔ بسته، درون تهی دارد).

$F\ \text{closed}\ \Longrightarrow\ \left(\partial F\right)^{\circ}=\varnothing,\qquad U\ \text{open}\ \Longrightarrow\ \left(\partial U\right)^{\circ}=\varnothing.$

اثبات (حالت بسته). داریم $\overline F=F$، پس $\partial F=F\setminus F^{\circ}$. فرض کنید $V$ باز و $V\subseteq\partial F$ باشد. آنگاه $V\subseteq F$، و بازبودن $V$ ایجاب می‌کند $V\subseteq F^{\circ}$؛ اما $V\subseteq\partial F$ و $\partial F\cap F^{\circ}=\varnothing$. پس $V=\varnothing$.

(حالت باز.) $\partial U=\overline U\setminus U$. اگر $V$ باز و ناتهی و $V\subseteq\partial U$ باشد، آنگاه $V\cap U=\varnothing$ در حالی که $V\subseteq\overline U$ — اما هر همسایگی هر نقطهٔ $\overline U$ مجموعهٔ $U$ را قطع می‌کند و $V$ چنین همسایگی‌ای است. تناقض. $\blacksquare$

نتیجه (گزاره‌های «ترمیم‌شده»). برای هر $A$ مجموعه‌های $\overline A$، $A^{\circ}$ و $\partial A$ باز یا بسته‌اند، پس

$\left(\partial\overline A\right)^{\circ}=\varnothing,\qquad\left(\partial A^{\circ}\right)^{\circ}=\varnothing,\qquad\left(\partial\partial A\right)^{\circ}=\varnothing.$

اما $\left(\partial A\right)^{\circ}=\varnothing$ برای $A$ دلخواه نادرست است. مثال نقض معیار، مجموعهٔ چگال‌وهم‌چگال‌متمم است: $A=\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}$ دارای $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$ و $\mathbb{Q}^{\circ}=\varnothing$ است، پس $\partial\mathbb{Q}=\overline{\mathbb{Q}}\setminus\mathbb{Q}^{\circ}=\mathbb{R},\qquad\left(\partial\mathbb{Q}\right)^{\circ}=\mathbb{R}\neq\varnothing.$ گذاشتن یک بستار (یا یک درون) پیش از $A$ گزاره را ترمیم می‌کند؛ رهاکردن $A$ به‌صورت برهنه چنین نمی‌کند. تمام محتوای یک سؤال کنکوری پرتکرار، همین تفاوت یک‌نمادی است.

نردبان مرز. $\partial A$ بسته است، پس $\partial\partial A=\partial A\setminus\left(\partial A\right)^{\circ}$، که معیار دقیق زیر را می‌دهد

$\partial\partial A=\partial A\iff\left(\partial A\right)^{\circ}=\varnothing\iff\partial A\ \text{is nowhere dense},$

و همواره $\partial\partial\partial A=\partial\partial A$ — نردبان در پلهٔ دوم تثبیت می‌شود. برای $A=\mathbb{Q}$ این نردبان اکیداً افت می‌کند: $\partial\mathbb{Q}=\mathbb{R}$ ولی $\partial\partial\mathbb{Q}=\partial\mathbb{R}=\varnothing$.

بازگویی هیچ‌جا چگالی. $N$ هیچ‌جا چگال است $\iff\left(\overline N\right)^{\circ}=\varnothing\iff X\setminus\overline N$ چگال است. برای یک مجموعهٔ بسته این عیناً یعنی «درون تهی»؛ و چون $\partial A$ همواره بسته است، «$\partial A$ هیچ‌جا چگال است» و «$\left(\partial A\right)^{\circ}=\varnothing$» یک جمله‌اند.

قضیهٔ ۱۴ مجموعه‌ای کوراتوفسکی سر دیگر این بازی است: اعمال متناوب بستار و متمم بر یک مجموعه حداکثر ۱۴ مجموعهٔ متمایز تولید می‌کند، و $A=(0,1)\cup(1,2)\cup\{3\}\cup\left([4,5]\cap\mathbb{Q}\right)$ هر ۱۴ تا را محقق می‌سازد. سؤال‌های کنکور هرگز به این شمارش نیاز ندارند — فقط به اتحادهای بالا.

۴. بسته بنا بر ساختار — کدام مجموعه‌های مشتق‌شده همیشه بسته‌اند

خانوادهٔ کاملی از سؤال‌های کنکور چهار عبارت مجموعه‌ساز وابسته به یک $E\subseteq X$ به شما می‌دهند و می‌پرسند کدام‌یک لزوماً بسته است (یا نیست). تقریباً پشت همهٔ آن‌ها یک دلیل ساختاری واحد نهفته است.

لم گویِ کوچک‌شونده. فرض کنید $\Phi$ خاصیتی از زیرمجموعه‌های $X$ باشد که یکنواست (اگر $S\subseteq T$ و $\Phi(S)$ برقرار باشد، آنگاه $\Phi(T)$ برقرار است). آنگاه

$C=\{x\in X:\ \forall r>0,\ \Phi\bigl(B(x,r)\bigr)\}\quad\text{is closed.}$

اثبات. نشان می‌دهیم $X\setminus C$ باز است. اگر $x\notin C$، عدد $r>0$ را چنان برگزینید که $\neg\Phi\bigl(B(x,r)\bigr)$. برای هر $y\in B(x,r)$ قرار دهید $\rho=r-d(x,y)>0$؛ آنگاه $B(y,\rho)\subseteq B(x,r)$، و یکنوایی (به‌صورت عکس نقیض) نتیجه می‌دهد $\neg\Phi\bigl(B(y,\rho)\bigr)$، پس $y\notin C$. بنابراین $B(x,r)\subseteq X\setminus C$. $\blacksquare$

با گرفتن $\Phi(S)=$ «$S\cap E\neq\varnothing$» به $\overline E$ می‌رسیم؛ $\Phi(S)=$ «$S\cap E$ ناشماراست» به $\operatorname{Cond}(E)$ می‌رسد؛ و ترکیب عطفی «$S$، $E$ را قطع می‌کند» و «$S$، $E^{c}$ را قطع می‌کند» به $\partial E$ می‌انجامد. مجموعهٔ مشتق به یک سطر اضافی نیاز دارد، چون شرط آن به مرکز اشاره می‌کند:

$E'$ بسته است. اگر $x\notin E'$، عدد $r>0$ را با $B(x,r)\cap(E\setminus\{x\})=\varnothing$ برگزینید. برای $y\in B(x,r)$ با $y\neq x$، قرار دهید $\rho=\min\{r-d(x,y),\,d(x,y)\}>0$؛ آنگاه $B(y,\rho)\subseteq B(x,r)$ و $x\notin B(y,\rho)$، پس $B(y,\rho)\cap(E\setminus\{y\})\subseteq B(x,r)\cap(E\setminus\{x\})=\varnothing$، یعنی $y\notin E'$. این به‌همراه $x\notin E'$ نتیجه می‌دهد $B(x,r)\subseteq X\setminus E'$. (در یک فضای توپولوژیک عمومی، $E'$ به‌محض $T_1$ بودن فضا بسته است؛ بدون $T_1$ ممکن است ناموفق باشد.)

چرا $\operatorname{Iso}(E)$ می‌گریزد. این مجموعه برابر $E$ منهای یک مجموعهٔ بسته است، و هیچ چیز چنین تفاضلی را به بسته‌بودن ملزم نمی‌کند. مثال نقض معیار در $\mathbb{R}$:

$E=\left\{\tfrac1n:n\in\mathbb{N}\right\}\cup\{0\}\ \Longrightarrow\ \operatorname{Iso}(E)=\left\{\tfrac1n:n\in\mathbb{N}\right\},$

که حدّ آن یعنی $0$ در آن نیست — نقاط منزوی در یک نقطهٔ غیرمنزوی انباشته می‌شوند. (حتی ساده‌تر: خود $E=\{1/n\}$ تماماً منزوی و ناـبسته است.) اما آنچه همیشه درست است: $\operatorname{Iso}(E)$ در زیرفضای $E$ باز است، و $E$ با متریک القایی دقیقاً وقتی گسسته است که $E=\operatorname{Iso}(E)$.

اکتشاف سورها. شرط‌هایی به شکل «$\forall r>0$، گوی $B(x,r)$ چنین‌وچنان می‌کند» مجموعه‌های بسته می‌سازند (نقیض‌شان از کوچک‌شدن گوی جان سالم به‌در می‌برد)؛ شرط‌هایی به شکل «$\exists r>0$، گوی چنین‌وچنان می‌کند» مجموعه‌های باز (یا نسبتاً باز) می‌سازند. پس در یک سؤال چهارگزینه‌ای، آن گزینه‌ای که با $\exists r$ نوشته شده — و معمولاً با قید اضافی $x\in E$ به‌جای $x\in X$ — همان گزینهٔ ناهمخوان است.

نظریهٔ ساختاری که دانستنش می‌ارزد.

• $E$ بسته است $\iff E'\subseteq E$؛ چگال در خود $\iff E\subseteq E'$؛ کامل $\iff E=E'$.
• $E'$ بسته است، پس $E''\subseteq E'$؛ تکرار این کار مشتق‌های کانتور–بندیکسون را می‌دهد.
• کانتور–بندیکسون (در $\mathbb{R}^{n}$، یا هر فضای لهستانی): هر مجموعهٔ بستهٔ $F$ به‌صورت $F=P\sqcup C$ تجزیه می‌شود که در آن $P$ کامل است (در واقع $P=\operatorname{Cond}(F)$) و $C$ شماراست. پس هر مجموعهٔ بستهٔ ناشمارا شامل یک مجموعهٔ کامل است و عدد اصلی $\mathfrak c$ دارد.
• هر زیرمجموعهٔ کامل ناتهی از یک فضای متریک کامل ناشماراست (استدلال قطری/گوی‌های تودرتوی کانتور) — به همین دلیل است که مجموعهٔ کانتور با آن‌که هیچ‌جا چگال است، ناشماراست.
• فشرده $+$ همهٔ نقاط منزوی $\Rightarrow$ متناهی: گوی‌های منزوی‌کننده یک پوشش باز بدون زیرپوشش سره تشکیل می‌دهند.

۵. گوی‌ها، کره‌ها، و این‌که بستار چگونه یک مجموعهٔ باز را قطع می‌کند

۵.۱ بستار گوی باز، گوی بسته نیست

همواره $B(a,r)\subseteq\overline{B(a,r)}\subseteq\bar B[a,r]$، زیرا $\bar B[a,r]=\{x:d(x,a)\le r\}$ بسته است (مجموعهٔ زیرتراز تابع پیوستهٔ $x\mapsto d(x,a)$) و شامل $B(a,r)$ است. به‌همین ترتیب $\partial B(a,r)\subseteq S(a,r)$. هر دو شمول می‌توانند اکید باشند.

• متریک گسسته ($d(x,y)=1$ برای $x\neq y$) روی هر $X$ با $\ge2$ نقطه: $B(a,1)=\{a\}$، هر مجموعه بسته است پس $\overline{B(a,1)}=\{a\}$، در حالی که $\bar B[a,1]=X$ و $S(a,1)=X\setminus\{a\}$ اما $\partial B(a,1)=\varnothing$.
• $X=\mathbb{Z}$ با متریک $\mathbb{R}$: $\overline{B(0,1)}=\{0\}$ ولی $\bar B[0,1]=\{-1,0,1\}$.
• تساوی در یک فضای نرم‌دار برقرار است (و در هر فضای متریک طولی/محدب): اگر $\lVert x-a\rVert=r$ آنگاه $a+t(x-a)\in B(a,r)$ برای $0\le t<1$ و $a+t(x-a)\to x$، پس $x\in\overline{B(a,r)}$. دقیقاً به همین دلیل است که آن گزارهٔ نادرست، درست به‌نظر می‌رسد: عادتی از $\mathbb{R}^{n}$ است که قاچاقی به فضای متریک عمومی برده شده.

۵.۲ فشردگی گوی‌ها

در یک فضای متریک، فشرده $\iff$ فشردهٔ دنباله‌ای $\iff$ کامل $+$ کاملاً کران‌دار. در نتیجه «$K$ فشرده است» و «هر دنباله در $K$ زیردنبالهٔ همگرا دارد» یک گزاره‌اند — سؤالی که هر دو را به‌عنوان گزینه‌های جدا عرضه کند، دو گزینهٔ غلط عرضه کرده است.

• هاینه–بورل محلیِ $\mathbb{R}^{n}$ است: بسته $+$ کران‌دار $\Rightarrow$ فشرده فقط آن‌جا برقرار است. در $\mathbb{Q}$، در یک فضای گسستهٔ نامتناهی، یا در $\ell^{2}$ ناموفق است.
• ریس: در یک فضای نرم‌دار، گوی واحد بسته فشرده است $\iff$ فضا متناهی‌البعد باشد. در $\ell^{2}$ بردارهای یکامتعامد در $\lVert e_n-e_m\rVert=\sqrt2$ برای $n\neq m$ صدق می‌کنند، پس $(e_n)$ هیچ زیردنبالهٔ کوشی — و در نتیجه هیچ زیردنبالهٔ همگرا — ندارد.
• بنابراین «$\overline{B(a,1)}$ فشرده است» در حالت کلی نادرست است؛ در $\mathbb{R}^{n}$ و در هر فضای متریک سره (فضایی که در آن مجموعه‌های بستهٔ کران‌دار فشرده‌اند) درست است.

۵.۳ لم: برخورد بستار با یک مجموعهٔ باز

لم. در هر فضای توپولوژیک، اگر $U$ باز و $A$ دلخواه باشد، آنگاه $\overline A\cap U\ \subseteq\ \overline{A\cap U}.$

اثبات (صورت متریک). فرض کنید $x\in\overline A\cap U$ و $\varepsilon>0$. چون $U$ باز است، $\delta>0$ای با $B(x,\delta)\subseteq U$ هست. قرار دهید $r=\min\{\varepsilon,\delta\}$. چون $x\in\overline A$، نقطه‌ای $y\in B(x,r)\cap A$ هست؛ اما $B(x,r)\subseteq U$، پس $y\in A\cap U$ و $d(x,y)<\varepsilon$. پس هر گوی $\varepsilon$ حول $x$ مجموعهٔ $A\cap U$ را قطع می‌کند، یعنی $x\in\overline{A\cap U}$. $\blacksquare$

بازبودن ضروری است: برای $U=\{0\}$ و $A=(0,1)$ در $\mathbb{R}$، $\ \overline A\cap U=\{0\}$ در حالی که $\overline{A\cap U}=\varnothing$. توجه کنید که شمول معکوس $\overline{A\cap U}\subseteq\overline A\cap\overline U$ رایگان است (یکنوایی)، پس برای $U$ باز این ساندویچ به‌دست می‌آید: $\overline A\cap U\subseteq\overline{A\cap U}\subseteq\overline A\cap\overline U$.

سه خوانش هم‌ارز، که هر یک جایی در کنکور به‌کار می‌آید:

1. یک مجموعهٔ باز $\overline A$ را قطع می‌کند $\iff$ $A$ را قطع کند («$U\cap A=\varnothing\Rightarrow U\cap\overline A=\varnothing$ برای $U$ باز»).
2. اگر $D$ در $X$ چگال و $U$ باز باشد، آنگاه $D\cap U$ در $U$ چگال است — موتور گام بئر در §۸.
3. صورت متمم: برای $F$ بسته، $(A\cup F)^{\circ}\subseteq A^{\circ}\cup F$.

۶. آزمون‌های مرزی برای «باز» و «بسته» — و شبه‌پاسخ‌ها

تجزیهٔ واحد $\overline S=S^{\circ}\sqcup\partial S$ هر دو آزمون درست را یک‌جا اثبات می‌کند.

• $S$ بسته $\iff\partial S\subseteq S$. ($\Rightarrow$) $\partial S\subseteq\overline S=S$. ($\Leftarrow$) $\overline S=S^{\circ}\cup\partial S\subseteq S\cup S=S$.
• $S$ باز $\iff\partial S\cap S=\varnothing$. ($\Rightarrow$) $\partial S=\overline S\setminus S^{\circ}$ بنا بر ساختار از $S^{\circ}=S$ مجزاست. ($\Leftarrow$) از $x\in S\subseteq\overline S=S^{\circ}\sqcup\partial S$ و $x\notin\partial S$ نتیجه می‌شود $x\in S^{\circ}$.

یک الگوی کامل کنکوری چهار شرط به شما می‌دهد و می‌پرسد کدام‌یک هم‌ارز است (نه صرفاً نتیجه‌شده). کل همسایگی موضوع را بشناسید:

تنها چهار سطر نخست دوطرفه‌اند. بقیه استلزام‌های یک‌طرفه‌اند که در لباس تعریف ظاهر شده‌اند — یک مجموعهٔ بسته هیچ شرط اضافی‌ای برآورده نمی‌کند، اما مجموعهٔ بستهٔ منظم ردهٔ اکیداً کوچک‌تری است، و مجموعهٔ هم‌باز‌وبسته ردهٔ اکیداً کوچک‌تری از باز.

۷. فرهنگ‌نامهٔ متریک: فاصله تا یک مجموعه — و بین دو مجموعه

برای $z\in X$ و $S\subseteq X$ قرار دهید $d(z,S)=\inf\{d(z,s):s\in S\}$، با قرارداد $d(z,\varnothing)=\inf\varnothing=+\infty$. چون $d\ge0$، عبارت «$d(z,S)\neq0$» دقیقاً یعنی «$d(z,S)>0$». آنگاه

$\overline S=\{z\in X: d(z,S)=0\},\qquad S^{\circ}=\{z\in X: d(z,X\setminus S)>0\},$ $\partial S=\{z\in X: d(z,S)=0\ \text{and}\ d(z,X\setminus S)=0\}.$

اثبات‌های یک‌سطری. $d(z,S)=0$ یعنی برای هر $\varepsilon>0$ نقطه‌ای $s\in S$ با $d(z,s)<\varepsilon$ هست، یعنی هر گوی $S$ را قطع می‌کند — چسبندگی. و $d(z,X\setminus S)\ge r>0$ یعنی $B(z,r)\cap(X\setminus S)=\varnothing$، یعنی $B(z,r)\subseteq S$ — درونی‌بودن؛ به‌طور صوری این همان گزارهٔ بستار است که از راه دوگانی $S^{\circ}=X\setminus\overline{X\setminus S}$ از §۳ بر $X\setminus S$ اعمال شده است.

نتایجی که به‌خاطر سپردنشان می‌ارزد.

• $A$ بسته است $\iff d(x,A)>0$ برای هر $x\notin A$.
• $A$ چگال است $\iff d(x,A)=0$ برای هر $x\in X$.
• لم ۱-لیپ‌شیتز: $|d(z,S)-d(w,S)|\le d(z,w)$، پس $z\mapsto d(z,S)$ پیوسته است. در نتیجه $\overline S$ به‌عنوان مجموعهٔ صفرهای یک تابع پیوسته بسته است، و $f(z)=\dfrac{d(z,S)}{d(z,S)+d(z,T)}$ دو مجموعهٔ بستهٔ ناتهی و مجزای $S,T$ را از هم جدا می‌کند (تابع اوریسون متریک).
• اینفیمم لزوماً حاصل نمی‌شود: $d(x,A)=0$ فقط $x\in\overline A$ را ایجاب می‌کند، هرگز $x\in A$ را. (در $\mathbb{R}^{n}$ یک مجموعهٔ بستهٔ ناتهی $A$ فاصله را محقق می‌کند؛ در فضاهای عمومی ممکن است نکند.)
• حالت‌های تباهیده معتبر می‌مانند با قرارداد $d(z,\varnothing)=+\infty$: برای $A=X$ هر $x$ دارای $d(x,\varnothing)=+\infty>0$ است که با $X^{\circ}=X$ سازگار است؛ برای $A=\varnothing$ هر $y$ دارای $d(y,\varnothing)\neq0$ است که با $\overline{\varnothing}=\varnothing$ سازگار است.

جهت اهمیت دارد. $d(x,A)=0$ آزمون بستار است، نه آزمون درون — این رابطه برای هر نقطهٔ $\overline A$ درست است و بنابراین چیزی دربارهٔ درونی‌بودن آشکار نمی‌کند. درونی‌بودن همواره نسبت به متمم سنجیده می‌شود: $d(x,X\setminus A)>0$.

۷.۱ فاصلهٔ بین دو مجموعه، و این‌که کِی مثبت است

برای $A,B\subseteq X$ ناتهی، $d(A,B)=\inf\{d(a,b):a\in A,\ b\in B\}=\inf_{a\in A}d(a,B).$

این یک متریک روی مجموعه‌ها نیست: $d(A,B)=0$ نه $A=B$ را ایجاب می‌کند، نه $A\cap B\neq\varnothing$ را، و نه حتی $\overline A\cap\overline B\neq\varnothing$ را. آنچه درست است:

• $d(A,B)=d(\overline A,\overline B)$ — گذر به بستارها هرگز آن را تغییر نمی‌دهد.
• $d(A,B)=0\iff$ دنباله‌هایی $a_n\in A$ و $b_n\in B$ با $d(a_n,b_n)\to0$ وجود دارند.
• $d(A,B)>0\iff$ یک $\varepsilon$-همسایگی از $A$ با $B$ برخورد نداشته باشد.

قضیه (جداسازی به فشردگی نیاز دارد). اگر $K$ فشرده، $F$ بسته و $K\cap F=\varnothing$ باشد، آنگاه $d(K,F)>0$ و اینفیمم حاصل می‌شود.

اثبات. تابع $x\mapsto d(x,F)$ پیوسته است و، چون $F$ بسته و $K\cap F=\varnothing$ است، روی $K$ اکیداً مثبت است؛ و یک تابع پیوستهٔ مثبت روی یک مجموعهٔ فشرده به کمینهٔ مثبت خود می‌رسد. $\blacksquare$

بسته $+$ بسته $+$ مجزا کافی نیست. مثال نقض جهان‌شمول، یک خم مجانب با یک خط است: در $\mathbb{R}^{2}$، $A=\left\{\left(x,\tfrac1x\right):x\ge1\right\},\qquad B=[1,\infty)\times\{0\},$ هر دو بسته و مجزا هستند، با این حال $\lVert(n,\tfrac1n)-(n,0)\rVert=\tfrac1n\to0$، پس $d(A,B)=0$. هر دو مجموعه بی‌کران و در نتیجه ناـفشرده‌اند — دقیقاً همان فرض غایب. (نسخه‌های یک‌بعدی: $\mathbb{Z}$ و $\{n+\tfrac1n:n\ge2\}$ در $\mathbb{R}$.) در $\mathbb{R}^{n}$ این همان پدیدهٔ «بسته $+$ بسته لزوماً مجموع بسته ندارد» است، چون $d(A,B)=d\bigl(0,A-B\bigr)$ و $0\in\overline{A-B}\setminus(A-B)$؛ افزودن فشردگیِ یکی از دو جمع‌وند هر دو گزاره را ترمیم می‌کند.

۷.۲ سه راه استاندارد برای اثبات بسته‌بودن یک مجموعهٔ مشخص

1. معیار دنباله‌ای: $x_n\in F$ با $x_n\to x$ بگیرید و نشان دهید $x\in F$ (همگرایی مؤلفه‌به‌مؤلفه در $\mathbb{R}^{n}$ این کار را مکانیکی می‌کند).
2. تصویر وارون پیوسته: $F=f^{-1}(C)$ با $f$ پیوسته و $C$ بسته. مجموعه‌های تراز $\{g=c\}$، مجموعه‌های زیرتراز $\{g\le c\}$، گوی‌های بسته، کره‌ها، ضرب مجموعه‌های بسته و اشتراک/اجتماع‌های متناهی همگی از این راه پدید می‌آیند.
3. متمم باز است: همان استدلال گویِ کوچک‌شوندهٔ §۴.

قضیهٔ گراف. اگر $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ بسته و $f:D\to\mathbb{R}^{m}$ پیوسته باشد، آنگاه $\Gamma_f=\{(x,f(x)):x\in D\}$ در $\mathbb{R}^{n+m}$ بسته است. (اثبات: اگر $(x_k,f(x_k))\to(a,b)$ آنگاه $a\in D$ چون $D$ بسته است، و $f(x_k)\to f(a)$ به‌دلیل پیوستگی، پس $b=f(a)$.) از بسته‌بودن دامنه استفاده شده، اما این شرط لازم نیست: $\{(x,1/x):x>0\}$ در $\mathbb{R}^{2}$ بسته است هرچند $(0,\infty)$ بسته نیست، زیرا $f$ در نقطهٔ انتهایی غایب منفجر می‌شود؛ حال آن‌که $\{(x,x):0<x<1\}$ بسته نیست.

۸. چگالی — معیارها و آن یک قضیهٔ واقعی

$D\subseteq X$ چگال است اگر و تنها اگر هر یک (و در نتیجه همهٔ) موارد زیر برقرار باشد

$\overline D=X\iff U\cap D\neq\varnothing\ \text{for every nonempty open }U\iff B(x,r)\cap D\neq\varnothing\ \ \forall x\in X,\ r>0\iff (X\setminus D)^{\circ}=\varnothing.$

(هم‌ارزی آخر همان دوگانی §۳ است که وارونه خوانده شده.)

قضیه (معیار متمم — صورت عملیاتی). برای هر $E\subseteq X$،

$\overline{X\setminus E}=X\setminus E^{\circ},\qquad\text{hence}\qquad X\setminus E\ \text{is dense}\iff E^{\circ}=\varnothing.$ اثبات. $x\in\overline{X\setminus E}$ $\iff$ هر گوی $B(x,r)$ مجموعهٔ $X\setminus E$ را قطع کند $\iff$ هیچ گوی $B(x,r)$ درون $E$ نباشد $\iff$ $x\notin E^{\circ}$. $\blacksquare$

این تنها ترجمهٔ درست از «متمم $E$ چگال است» می‌باشد: گزاره‌ای دربارهٔ درونِ $E$ است، نه هرگز دربارهٔ این‌که $E$ چه‌قدر کم‌نقطه است.

مغالطهٔ «مجموعهٔ کوچک». هیچ‌یک از گزاره‌های «$E$ متناهی است»، «$E$ شماراست»، «$\overline E$ متناهی است»، «$E$ نقطهٔ حدی ندارد» ایجاب نمی‌کند که $X\setminus E$ چگال باشد. هر یک از آن‌ها روی فضای $X=\mathbb{N}$ با $d(m,n)=\lvert m-n\rvert$ و $E=\{1\}$ شکست می‌خورد: این‌جا $B(1,\tfrac12)=\{1\}$، پس $E^{\circ}=\{1\}\neq\varnothing$ و $X\setminus E=\{2,3,\dots\}$ بسته است، نه چگال. مقصر همان نقطهٔ منزوی است.

کجا شهودِ مجموعهٔ کوچک به قضیه بدل می‌شود. فضای $X$ را چگال در خود (یا کامل) بنامید هرگاه هیچ نقطهٔ منزوی نداشته باشد — مثلاً $\mathbb{R}^{n}$، هر فضای نرم‌دار ناصفر، مجموعهٔ کانتور. آنگاه

• هر مجموعهٔ باز ناتهی نامتناهی است، پس یک مجموعهٔ متناهی درون تهی دارد و متممش چگال است؛
• اگر افزون بر آن $X$ کامل باشد، تک‌نقطه‌ای‌ها هیچ‌جا چگال‌اند، پس بنا بر قضیهٔ بئر هر مجموعهٔ شمارا درون تهی و متمم چگال دارد.

پس گزارهٔ کنکوری «متناهی $\Rightarrow$ متمم چگال» عادتی وارداتی از $\mathbb{R}$ است؛ آن را فقط با فرض نبودِ نقطهٔ منزوی بیان کنید.

قضیه (گام بئر). اگر $U$ چگال و باز و $D$ چگال باشد، آنگاه $U\cap D$ چگال است.