فرض کنید X یک فضای متریک باشد و A ⊆ X . گزاره x ∈ A با کدام گزینه معادل است، که در آن A بستار A است؟

x یک نقطه مرزی A است.

x یک نقطه انباشتگی (حدی) A است.

x ∈ A' ∪ ∂ A ، که ∂ A مجموعه نقاط مرزی و A' مجموعه نقاط انباشتگی (حدی) A است.

ریاضی 1405

سوال 66 سوال 68

سوال ۶۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۵

توپولوژیمتوسطمجموعه‌های باز و بسته، نقاط مرزی و حدی

اهمیت

۰/۵

فرض کنید $X$ یک فضای متریک باشد و $A \subseteq X$ . گزاره $x \in \bar{A}$ با کدام گزینه معادل است، که در آن $\bar{A}$ بستار $A$ است؟

پاسخ صحیح: گزینهٔ C — دنباله‌ای از نقاط $A$ مانند $\{x_n\}$ وجود دارد به‌طوری که $\lim_{n\to\infty} x_n = x$ .

پاسخ تشریحی

مقدمه. در یک فضای متریک، بستار $\bar{A}$ مجموعهٔ نقاط چسبنده (چسبیده) به $A$ است: نقاطی مانند $x$ که هر گوی باز $B(x,\varepsilon)$ با $A$ اشتراک دارد، $x \in \bar{A} \iff \forall \varepsilon>0,\ B(x,\varepsilon)\cap A \ne \varnothing.$ به‌طور معادل، $\bar{A} = A \cup A'$ ، که در آن $A'$ مجموعهٔ مشتق (نقاط حدی) است.

چرا گزینهٔ ۳ معادل دقیق است. این همان توصیف دنباله‌ای بستار است که در هر فضای متریک (که شمارای‌نوع‌اول است) معتبر است.

( $\Leftarrow$ ) اگر $x_n \in A$ و $x_n \to x$ ، آنگاه هر گوی $B(x,\varepsilon)$ سرانجام شامل مقداری $x_n \in A$ می‌شود، پس $x$ چسبنده است، یعنی $x \in \bar{A}$ .
( $\Rightarrow$ ) اگر $x \in \bar{A}$ ، آنگاه برای هر $n$ گوی $B\!\left(x,\tfrac{1}{n}\right)$ با $A$ اشتراک دارد؛ عضوی $x_n \in B\!\left(x,\tfrac1n\right)\cap A$ برمی‌گزینیم. آنگاه $d(x_n,x) < \tfrac1n \to 0$ ، پس $x_n \to x$ در حالی که همهٔ $x_n \in A$ هستند.

نکتهٔ اساسی آنکه این توصیف نقاط منزوی $A$ را نیز پوشش می‌دهد: اگر $x \in A$ منزوی باشد، دنبالهٔ ثابت $x_n = x \in A$ به $x$ همگرا می‌شود، و به‌راستی $x \in \bar A$ .

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند.

گزینه	مثال نقض	دلیل نادرستی
۱. نقطهٔ مرزی	$x$ در درون $A$	نقاط درونی در $\bar A$ قرار دارند اما نقطهٔ مرزی نیستند ( $\bar A = A^{\circ}\cup\partial A$ ، نه تنها $\partial A$ )
۲. نقطهٔ حدی	$x$ یک نقطهٔ منزوی $A$	$\bar A = A \cup A'$ ؛ یک نقطهٔ منزوی در $\bar A$ هست ولی $x \notin A'$
۴. $A'\cup\partial A$	$X=\{0\}\cup[1,2]$ ، $A=\{0\}$	$0$ در $X$ منزوی است، پس $A'=\varnothing$ و $\partial A=\bar A\cap\overline{X\setminus A}=\{0\}\cap[1,2]=\varnothing$ ، با این حال $\bar A=\{0\}$ ؛ پس $x=0\in\bar A$ اما $x\notin A'\cup\partial A$

گزینهٔ ۴ ظریف است: برای یک نقطهٔ منزوی $x\in A$ که در کل فضا منزوی نیست، $x$ در $\partial A$ قرار می‌گیرد، پس گزینهٔ ۴ غالباً درست به نظر می‌رسد. اما هنگامی که $x$ در خودِ $X$ منزوی باشد، متمم $X\setminus A$ به $x$ نزدیک نمی‌شود، پس $x\notin\partial A$ (و $x\notin A'$ ) — گزینهٔ ۴ آن را از دست می‌دهد. تنها توصیف دنباله‌ای (گزینهٔ ۳) تمامِ $\bar A$ را، از جمله چنین نقاط منزوی‌ای را از طریق دنباله‌های ثابت، دربرمی‌گیرد.

پاسخ: گزینهٔ ۳.

تلهٔ رایج: بستار را با مجموعهٔ نقاط حدی یکسان نگیرید. $\bar A = A \cup A'$ نقاط منزوی $A$ را نیز شامل می‌شود. دنباله‌هایی که یک نقطهٔ بستار را تقریب می‌زنند مجازند ثابت/سرانجام‌ثابت باشند، و این دقیقاً همان چیزی است که آن نقاط منزوی را مدیریت می‌کند.

#closure#adherent-point#limit-point#boundary-point#metric-space#sequential-closure

کارت‌های مرتبط

مفهومتوپولوژی

مجموعه‌های باز و بسته، درون، بستار، مرز و چگالی

در یک فضای متریک، عملگرهای نقطه‌مجموعه‌ای با اتحاد overline A=A∪ A'=A^(∘)sqcup∂ A ، با دوگانی متمم‌گیری (A^(∘))^c=overline A^c (پس X∖ A دقیقاً وقتی چگال است که A^(∘)=∅ )، با فرهنگ‌نامهٔ فاصله overline A= d(·,A)=0 ، A^(∘)= d(·,X∖ A)>0 و با آزمون‌های مرزی (بسته ⇔∂ A⊆ A ، باز ⇔∂ A∩ A=∅ ، هم‌باز‌وبسته ⇔∂ A=∅ — که دقیقاً همان آزمون همبندی است) به هم گره خورده‌اند؛ overline A ، A' ، ∂ A و مجموعهٔ نقاط تراکم بنا به ساختارشان بسته‌اند، حال آن‌که مجموعهٔ نقاط منزوی A∖ A' لزوماً بسته نیست، B(a,r) می‌تواند اکیداً کوچک‌تر از گوی بسته باشد، دو مجموعهٔ بستهٔ مجزا می‌توانند در فاصلهٔ 0 از هم بنشینند مگر آن‌که یکی فشرده باشد، ∂ A تنها وقتی درون تهی دارد که A باز یا بسته باشد، و چگالی یعنی overline D=X ، یعنی « D هر مجموعهٔ باز ناتهی را قطع می‌کند».

open-closed-setsclosureinteriorboundary