سوال ۶۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲

آماده‌سازی. برای یک نقطهٔ $z \in X$ و یک مجموعهٔ $S \subseteq X$، فاصلهٔ $z$ تا $S$ عبارت است از

$d(z,S) \;=\; \inf\{\, d(z,s) \;:\; s \in S \,\},$

با قرارداد همیشگی $d(z,\varnothing) = \inf \varnothing = +\infty$. چون $d \ge 0$، همواره $d(z,S) \ge 0$ است؛ بنابراین «$\neq 0$» دقیقاً به‌معنای «$> 0$» است.

دو مشخص‌سازی استاندارد، مسئله را حل می‌کنند.

۱. بستار: $\;y \in \overline{A} \iff d(y,A) = 0$

در یک فضای متریک، $y \in \overline{A}$ یعنی هر گوی باز حول $y$ با $A$ اشتراک دارد:

$y \in \overline{A} \iff \forall \varepsilon > 0 \ \exists a \in A:\ d(y,a) < \varepsilon .$

طرف راست دقیقاً می‌گوید که $0$ بزرگ‌ترین کران پایین مجموعهٔ $\{d(y,a): a\in A\}$ است، یعنی

$\boxed{\;\overline{A} = \{\, z \in X : d(z,A) = 0 \,\}\;}$

(برعکس، اگر $d(y,A)=0$ باشد، آنگاه برای هر $\varepsilon>0$، برابر $0$ بودن اینفیمم عضوی مانند $a \in A$ با $d(y,a) < \varepsilon$ می‌دهد، پس $y$ نقطهٔ چسبندهٔ $A$ است.) بنابراین برای $y$ عبارت درست $d(y,A) = 0$ است — نه $\neq 0$.

۲. درون: $\;x \in A^{\circ} \iff d(x, X\setminus A) \neq 0$

بنا بر تعریف، $x \in A^{\circ}$ اگر و تنها اگر گویی حول $x$ درون $A$ قرار گیرد:

$x \in A^{\circ} \iff \exists r>0:\ B(x,r) \subseteq A \iff \exists r>0:\ B(x,r) \cap (X\setminus A) = \varnothing .$

اما $B(x,r) \cap (X \setminus A) = \varnothing$ یعنی هر $z \notin A$ در $d(x,z) \ge r$ صدق می‌کند، یعنی $d(x, X\setminus A) \ge r > 0$. برعکس، اگر $d(x,X\setminus A) = r > 0$ باشد آنگاه $B(x,r) \subseteq A$. بنابراین

$\boxed{\;A^{\circ} = \{\, z \in X : d(z, X\setminus A) > 0 \,\}\;}$

این چیزی جز صورت متممیِ گزارهٔ ۱ برای $X\setminus A$ نیست، زیرا $A^{\circ} = X \setminus \overline{X \setminus A}$:

$z \notin A^{\circ} \iff z \in \overline{X\setminus A} \iff d(z, X\setminus A) = 0 .$

نتیجه

$x \in A^{\circ} \ \text{and}\ y \in \overline{A} \iff d(x, X\setminus A) \neq 0 \ \text{and}\ d(y,A) = 0,$

که همان گزینهٔ ۳ است.

بررسی حالت‌های تباهیده. اگر $A = X$ باشد آنگاه $X\setminus A = \varnothing$ و برای هر $x$ داریم $d(x,\varnothing) = +\infty \neq 0$، که با $X^{\circ} = X$ سازگار است. اگر $A = \varnothing$ باشد آنگاه برای هر $y$ داریم $d(y,\varnothing) = +\infty \neq 0$، که با $\overline{\varnothing} = \varnothing$ سازگار است. پس این قرارداد، هر دو اتحاد کادرشده را بدون استثنا معتبر نگه می‌دارد.

نکتهٔ کنکوری: این زوج را چنین به خاطر بسپارید: «بستار = فاصلهٔ صفر تا $A$، درون = فاصلهٔ مثبت تا متمم». چهار گزینه دقیقاً همان چهار الگوی علامت‌اند، پس تمام مسئله به درست‌چیدنِ همین دو سطر فرهنگ‌نامه‌ای فرومی‌کاهد. لغزش کلاسیک، نوشتن $x \in A^{\circ} \Rightarrow d(x,A)=0$ است — درست ولی بی‌فایده، زیرا $d(x,A)=0$ برای هر نقطهٔ $\overline{A}$ برقرار است و درون‌بودن را تشخیص نمی‌دهد؛ درون‌بودن باید نسبت به $X \setminus A$ سنجیده شود.