سوال ۶۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲

آماده‌سازی: دو اتحاد مربوط به مرز

در هر فضای توپولوژیک (به‌ویژه متریک)، برای مجموعهٔ $S$ می‌نویسیم

$S^{\circ} \subseteq S \subseteq \overline{S}, \qquad \partial S := \overline{S} \setminus S^{\circ},$

به‌طوری که $\overline{S}$ به‌صورت اجتماع مجزا تجزیه می‌شود:

$\overline{S} \;=\; S^{\circ} \;\sqcup\; \partial S .$

از اینجا دو مشخص‌سازی استاندارد نتیجه می‌شود.

(i) $S$ بسته است $\iff \partial S \subseteq S$.

• ($\Rightarrow$) اگر $S$ بسته باشد آنگاه $\overline{S}=S$ و در نتیجه $\partial S \subseteq \overline{S}=S$.
• ($\Leftarrow$) اگر $\partial S \subseteq S$ باشد آنگاه $\overline{S}=S^{\circ}\cup\partial S \subseteq S \cup S = S$، پس $\overline{S}=S$ و $S$ بسته است.

(ii) $S$ باز است $\iff \partial S \cap S = \varnothing$.

• ($\Rightarrow$) اگر $S$ باز باشد آنگاه $S=S^{\circ}$، و $\partial S = \overline{S}\setminus S^{\circ}$ بنا بر ساخت از $S^{\circ}=S$ مجزاست.
• ($\Leftarrow$) فرض کنید $x\in S$. آنگاه $x\in\overline{S}=S^{\circ}\sqcup\partial S$؛ چون بنا بر فرض $x\notin\partial S$، پس $x\in S^{\circ}$. بنابراین $S\subseteq S^{\circ}$، یعنی $S=S^{\circ}$ و $S$ باز است.

اعمال (i) روی $A$ و (ii) روی $B$ دقیقاً می‌دهد

$A \text{ closed and } B \text{ open} \iff \partial A \subseteq A \ \text{ and } \ \partial B \cap B = \varnothing,$

که همان گزینهٔ ۱ است.

چرا هر گزینهٔ دیگر نادرست است

گزینهٔ ۲ — شرط دوم درست است، اما $\partial A = \partial\overline{A}$ بستگی $A$ را ایجاب نمی‌کند. مثلاً $A=(0,1)\subset\mathbb{R}$ را در نظر بگیرید: آنگاه $\partial A=\{0,1\}$، $\overline{A}=[0,1]$ و $\partial\overline{A}=\{0,1\}$، پس شرط برقرار است در حالی که $A$ بسته نیست. (به‌طور کلی همواره $\partial \overline{A}\subseteq \partial A$ برقرار است و برای هر مجموعه‌ای که بستارش درون تازه‌ای اضافه نکند تساوی رخ می‌دهد — شرطی بسیار ضعیف‌تر از بسته بودن.)

گزینهٔ ۳ — شرط اول درست است، اما $\partial B=\varnothing$ به معنای $\overline{B}=B^{\circ}$ است، یعنی $B$ باز-بسته (clopen) است که اکیداً قوی‌تر از باز بودن است. در $\mathbb{R}$ (که همبند است) تنها $B=\varnothing$ و $B=\mathbb{R}$ باقی می‌ماند، در حالی که $B=(0,1)$ باز است و $\partial B=\{0,1\}\neq\varnothing$.

گزینهٔ ۴ — اینجا شرط دوم در واقع درست است: چون $B^{\circ}\subseteq B\subseteq\overline{B}$، همواره $\overline{B}\setminus B \subseteq \overline{B}\setminus B^{\circ}=\partial B$ برقرار است و تساوی اگر و تنها اگر $B\setminus B^{\circ}=\varnothing$، یعنی اگر و تنها اگر $B$ باز باشد، رخ می‌دهد. اما شرط اول، یعنی $A=\overline{(A^{\circ})}$، مجموعه‌های بستهٔ منظم (regular closed) را مشخص می‌کند که زیرردهٔ سرهٔ مجموعه‌های بسته است. مثال نقض: $A=\{0\}\subset\mathbb{R}$ بسته است، ولی $A^{\circ}=\varnothing$ و $\overline{(A^{\circ})}=\varnothing\neq A$.

بنابراین تنها گزینهٔ هم‌ارز با «$A$ بسته و $B$ باز» گزینهٔ ۱ است.

نکتهٔ کنکوری: این جفت را به خاطر بسپارید: «بسته $\iff$ مجموعه مرز خود را در بر می‌گیرد؛ باز $\iff$ مجموعه مرز خود را قطع نمی‌کند»، و به یاد داشته باشید که $\partial S=\varnothing$ یعنی باز-بسته (بیش از حد قوی) و $S=\overline{S^{\circ}}$ یعنی بستهٔ منظم (باز هم بیش از حد قوی). گزینه‌های انحرافی این سؤال همگی استلزام‌هایی یک‌طرفه هستند.