فشردگی: پوشش‌های باز، هاینه–برل و نتایج آن

تعریف

فرض کنید $(X,\tau)$ یک فضای توپولوژیک و $K \subseteq X$ باشد. یک پوشش باز برای $K$ خانواده‌ای مانند $\{U_i\}_{i\in I}$ از مجموعه‌های باز است که $K \subseteq \bigcup_{i\in I} U_i$. مجموعهٔ $K$ فشرده است اگر هر پوشش باز آن یک زیرپوشش متناهی بپذیرد: یعنی اندیس‌هایی مانند $i_1,\dots,i_n$ وجود داشته باشند که $K \subseteq U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_n}$.

شهود مطلب: فشردگی همان متناهی‌بودنِ توپولوژیک است — اطلاعاتی را که موضعاً (در نزدیکی هر نقطه) برقرارند به یک حکم یکنواخت و سراسری روی تمام $K$ ارتقا می‌دهد.

دو مفهوم همراه، در فضاهای متریک با آن یکی می‌شوند:

• فشردگی دنباله‌ای: هر دنباله در $K$ زیردنباله‌ای دارد که به نقطه‌ای از $K$ همگرا می‌شود.
• فشردگی نقطهٔ حدی (بولتزانو–وایرشتراس): هر زیرمجموعهٔ نامتناهی از $K$ یک نقطهٔ حدی در $K$ دارد.

در یک فضای متریک، فشرده $\iff$ فشردهٔ دنباله‌ای $\iff$ کامل و کراندار کلی. در یک فضای توپولوژیک عمومی این سه می‌توانند واقعاً متفاوت باشند.

فشردگی خاصیتی ذاتی است: هرگز به فضای دربرگیرنده وابسته نیست

فرض کنید $Y\subseteq X$ توپولوژی زیرفضایی را داشته باشد: مجموعه‌های باز $Y$ دقیقاً اثرهای $U\cap Y$ با $U$ باز در $X$ هستند، و مجموعه‌های بستهٔ $Y$ دقیقاً $F\cap Y$ با $F$ بسته در $X$. (برای فضاهای متریک این همان توپولوژی القاشده توسط متریک محدودشدهٔ $d_Y=d|_{Y\times Y}$ است — محدود کردن متریک و محدود کردن توپولوژی به یک چیز می‌انجامند.)

قضیه (ذاتی‌بودن فشردگی). برای $K\subseteq Y\subseteq X$، $K\ \text{compact in}\ Y \iff K\ \text{compact in}\ X .$

اثبات ($\Rightarrow$). فرض کنید $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ پوششی برای $K$ با مجموعه‌های باز در $X$ باشد. هر $U_\alpha\cap Y$ در $Y$ باز است و $K \;=\; K\cap Y \;\subseteq\; \Big(\bigcup_{\alpha} U_\alpha\Big)\cap Y \;=\; \bigcup_{\alpha}\,(U_\alpha\cap Y),$ پس بنا بر فشردگی در $Y$ تعداد متناهی اندیس کافی است: $K\subseteq\bigcup_{i=1}^{n}(U_{\alpha_i}\cap Y)\subseteq\bigcup_{i=1}^{n}U_{\alpha_i}$. جهت ($\Leftarrow$) همان محاسبه است که وارونه خوانده می‌شود، زیرا هر مجموعهٔ باز در $Y$ به شکل $U\cap Y$ است. $\blacksquare$

پس فشردگی خاصیتی از خودِ فضای $(K,\tau|_K)$ است و هرگز به قید «در کدام فضا؟» نیاز ندارد. بازگویی متریک این را شفاف می‌کند: «هر دنباله در $K$ زیردنباله‌ای همگرا به نقطه‌ای از $K$ دارد» اصلاً هیچ مجموعهٔ دربرگیرنده‌ای را ذکر نمی‌کند.

همین حکم دربارهٔ همبندی، کامل‌بودن، کراندار کلی بودن، کرانداری و تفکیک‌پذیری نیز درست است؛ اما برای بازبودن و بسته‌بودن قاطعانه نادرست است.

سه مثال نقض استاندارد، همگی با $X=\mathbb{R}$:

• بازبودن نسبی است: $[0,1)=(-1,1)\cap Y$ در $Y=[0,2)$ باز است، ولی هیچ گویی حول $0$ درون آن نمی‌گنجد، پس در $\mathbb{R}$ باز نیست.
• بسته‌بودن نسبی است: $\left(0,\tfrac12\right]=\left[-1,\tfrac12\right]\cap Y$ در $Y=(0,1)$ بسته است، ولی بستار آن در $\mathbb{R}$ برابر $\left[0,\tfrac12\right]$ است، پس در $\mathbb{R}$ بسته نیست.
• هاینه–برل قضیه‌ای عمومی برای فضاهای متریک نیست: $A=[0,1]\cap\mathbb{Q}$ در $Y=\mathbb{Q}$ بسته و کراندار است، اما فشرده نیست — اعداد گویای صعودی به $\tfrac{1}{\sqrt2}$ هیچ زیردنبالهٔ همگرا در درون $A$ ندارند؛ به‌طور هم‌ارز $\big\{(-1,\tfrac{1}{\sqrt2}-\tfrac1n)\cup(\tfrac{1}{\sqrt2}+\tfrac1n,2)\big\}_{n\in\mathbb{N}}$ پوششی باز بدون زیرپوشش متناهی است. در یک فضای متریک عمومی معیار درست کامل $+$ کراندار کلی است.

قضیه‌های اصلی

هاینه–برل. $K\subseteq\mathbb{R}^n$ فشرده است $\iff$ $K$ بسته و کراندار باشد. این حکم در بُعد نامتناهی شکست می‌خورد: گوی واحد بستهٔ یک فضای نرم‌دار بی‌بعد نامتناهی بسته و کراندار است ولی فشرده نیست (لم ریس)؛ در $\ell^2$ بردارهای یکه در $\lVert e_n-e_m\rVert=\sqrt2$ صدق می‌کنند، پس هیچ زیردنباله‌ای کوشی نیست.

تصویر پیوسته. اگر $f:X\to Y$ پیوسته و $K\subseteq X$ فشرده باشد، آنگاه $f(K)$ فشرده است — فشردگی تحت نگاشت‌های پیوسته حفظ می‌شود. همین یک حکم موتور بیشتر مسائل کنکور است.

قضیهٔ مقدار اکسترمم (EVT). تابع پیوستهٔ $f:K\to\mathbb{R}$ روی یک $K$ فشردهٔ ناتهی کراندار است و ماکسیمم و مینیمم خود را اختیار می‌کند، زیرا $f(K)$ زیرمجموعه‌ای فشرده (و در نتیجه بسته و کراندار) از $\mathbb{R}$ است و بنابراین $\sup f(K)$ و $\inf f(K)$ را در بر دارد.

دوگانگی بسته/فشرده. هر زیرمجموعهٔ بسته از یک فضای فشرده فشرده است؛ و هر زیرمجموعهٔ فشرده از یک فضای هاسدورف بسته است. پس در هر فضای متریک همواره فشرده $\Rightarrow$ بسته و کراندار — تنها عکس آن به $\mathbb{R}^n$ نیاز دارد. نتایج: اجتماع متناهی مجموعه‌های فشرده فشرده است، و در یک فضای هاسدورف اشتراک دلخواه مجموعه‌های فشرده فشرده است.

فشردگی تناظرهای یک‌به‌یکِ پیوسته را ارتقا می‌دهد. یک تناظر یک‌به‌یک پیوستهٔ $f:K\to Y$ از فضای فشردهٔ $K$ بر روی فضای هاسدورف $Y$ به‌طور خودکار یک همسان‌ریختی است: این نگاشت بسته است (بستهٔ $\subseteq K$ $\Rightarrow$ فشرده $\Rightarrow$ تصویر فشرده $\Rightarrow$ بسته)، پس $f^{-1}$ رایگان پیوسته می‌شود.

هاینه–کانتور. هر نگاشت پیوسته از یک فضای متریک فشرده به هر فضای متریک دیگر یکنواخت پیوسته است — فشردگی، پیوستگی نقطه‌به‌نقطه را به یک $\delta$ یکنواخت واحد تبدیل می‌کند.

لم عدد لبگ. برای هر پوشش باز از یک فضای متریک فشردهٔ $K$، عدد $\delta>0$ وجود دارد چنان‌که هر زیرمجموعهٔ $K$ با قطر $<\delta$ درون یک عضو از پوشش قرار گیرد. همین $\delta$ موتور پشت هاینه–کانتور و پشت بیشتر احکام «یکنواخت» است.

اشتراک کانتور / خاصیت اشتراک متناهی (FIP). $K$ فشرده است $\iff$ هر خانواده از زیرمجموعه‌های بستهٔ $K$ که خاصیت اشتراک متناهی دارد (هر زیرخانوادهٔ متناهی اشتراک ناتهی دارد)، اشتراک کل ناتهی داشته باشد. به‌ویژه یک زنجیرهٔ نزولی $K_1\supseteq K_2\supseteq\cdots$ از فشرده‌های ناتهی دارای $\bigcap_n K_n\neq\varnothing$ است.

فاصله‌ها اختیار می‌شوند. اگر $K$ فشرده و $x$ نقطه‌ای دلخواه باشد، $d(x,K)=\min_{k\in K}d(x,k)$ اختیار می‌شود؛ و اگر افزون بر آن $F$ بسته با $K\cap F=\varnothing$ باشد، آنگاه $d(K,F)>0$. (هر دو برای $K$ی که تنها بسته است شکست می‌خورند: $d\big(\mathbb{Z}\, ,\, \{n+\tfrac1n\}\big)=0$.)

ساختار فضاهای متریک فشرده. فشرده $\Rightarrow$ کامل، کراندار کلی، کراندار، تفکیک‌پذیر، شمارای دوم و لیندلوف. هر فضای هاسدورف فشرده نرمال ($T_4$) است.

تیخونوف. هر حاصل‌ضرب از فضاهای فشرده در توپولوژی حاصل‌ضربی فشرده است (برای مجموعه‌های اندیس دلخواه به اصل انتخاب نیاز دارد).

فشردگی و پیوستگی یکنواخت

یادآوری: $f:(X,d_X)\to(Y,d_Y)$ یکنواخت پیوسته است هرگاه $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x,x'\in X:\ d_X(x,x')<\delta\ \Rightarrow\ d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon,$ یعنی یک $\delta$ در همهٔ نقاط کار کند. سه واقعیت هر سؤال امتحانی در این باره را سامان می‌دهند:

1. هاینه–کانتور. $X$ فشرده و $f$ پیوسته $\Rightarrow$ $f$ یکنواخت پیوسته است.
2. ترکیب. یکنواخت پیوسته $\circ$ یکنواخت پیوسته $=$ یکنواخت پیوسته. صرفِ پیوستگی یکی از دو عامل کافی نیست.
3. وارون‌گیری — اصل انتقال. اگر $g:Y\to Z$ یک تزریق پیوسته باشد و $Y$ فشرده باشد، آنگاه $g:Y\to g(Y)$ همسان‌ریختی روی مجموعهٔ فشردهٔ $g(Y)$ است و $g^{-1}:g(Y)\to Y$ پیوسته و در نتیجه (هاینه–کانتور روی $g(Y)$ی فشرده) یکنواخت پیوسته است. بنابراین از پیوستگی یکنواخت $g\circ f$ می‌توان بازیابی کرد که $f \;=\; g^{-1}\circ (g\circ f) \quad\text{uniformly continuous},$ و این بدون هیچ فرضی روی $f$ — حتی بدون فرض پیوستگی، که خودبه‌خود نتیجه می‌شود.

فرض تعیین‌کننده، فشردگی فضای میانی است (هم‌دامنهٔ $f$ = دامنهٔ $g$). فشردگی مبدأ یا مقصد هیچ کاری نمی‌کند، زیرا چیزی دربارهٔ $g^{-1}$ نمی‌گوید.

روش — چگونه فشردگی را به کار ببندیم

۱. مجموعهٔ فشرده را پیدا کنید — معمولاً یک بازهٔ بسته $[a,b]$، یک کره/گوی، یا فرض صریح فشردگی. همین موتور کار است. ۲. آن را از یک نگاشت پیوسته عبور دهید — نمودارها، تصویرها و مجموعه‌های تراز همگی تصاویر پیوسته‌اند، پس فشردگی را به ارث می‌برند. ۳. نتیجه را نقد کنید — فشرده $\Rightarrow$ بسته $+$ کراندار $\Rightarrow$ اختیار کردن اکسترمم‌ها (EVT) $\Rightarrow$ وارون پیوسته (همسان‌ریختی) $\Rightarrow$ پیوستگی یکنواخت (هاینه–کانتور). ۴. خواص را به ذاتی و نسبی تفکیک کنید. فشرده / همبند / کامل / کراندار کلی به فضای دربرگیرنده نیاز ندارند؛ باز و بسته همیشه دارند. هرگز «بسته و کراندار $\Rightarrow$ فشرده» را بیرون از $\mathbb{R}^n$ نبرید. ۵. برای انتقال اطلاعات به عقب در طول یک نگاشت، آن را روی دامنه‌ای فشرده وارون کنید. نگاشت مجهول را به شکل $g^{-1}\circ(g\circ f)$ بنویسید و دامنهٔ $g$ را فشرده بگیرید؛ آنگاه $g^{-1}$ یکنواخت پیوسته است و قاعدهٔ ترکیب کار را تمام می‌کند. ۶. برای شکستن یک عکسِ حکم، فشردگی را حذف کنید از فضای تعیین‌کننده؛ مثال‌های نقض استاندارد همگی دقیقاً همان‌جایی زندگی می‌کنند که فشردگی برداشته شده است.

مثال کوچک حل‌شدهٔ ۱ — یک تصویر پیوسته

ادعا. اگر $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ پیوسته باشد، آنگاه نمودار آن $G_f=\{(x,f(x)):x\in[0,1]\}$ در $\mathbb{R}^2$ فشرده است.

نگاشت $\Phi:[0,1]\to\mathbb{R}^2,\ \Phi(x)=(x,f(x))$ پیوسته است (هر مؤلفه پیوسته است) و دامنهٔ آن $[0,1]$ فشرده است، پس $G_f=\Phi([0,1])$ تصویر پیوستهٔ یک مجموعهٔ فشرده و در نتیجه فشرده است. هم‌ارز با آن، بنا بر هاینه–برل: کراندار است، چون $f$ روی $[0,1]$ کراندار است، و بسته است، چون زیرمجموعه‌ای فشرده از فضای هاسدورف $\mathbb{R}^2$ است.

عکس‌های حکم شکست می‌خورند به‌محض آن‌که فشردگی کار را انجام ندهد:

• نمودار همبند $\not\Rightarrow$ پیوستگی: منحنی سینوسی توپولوژیست $f(x)=\sin(1/x)$، $f(0)=0$، نموداری همبند دارد ولی در $0$ ناپیوسته است.
• نمودار بسته $\not\Rightarrow$ پیوستگی: $f(x)=1/x$ روی $(0,1]$، $f(0)=0$، نموداری بسته دارد ولی ناپیوسته است — قضیهٔ نمودار بسته به هم‌دامنهٔ فشرده نیاز دارد.

مثال کوچک حل‌شدهٔ ۲ — وارون‌گیری از طریق یک فضای میانی فشرده

کاربرد متعارف دوم: اگر $g:Y\to Z$ تزریقی پیوسته باشد و $Y$ فشرده باشد، آنگاه $g:Y\to g(Y)$ تناظری یک‌به‌یک و پیوسته بر روی یک فضای هاسدورف و در نتیجه همسان‌ریختی است، و $g(Y)$ فشرده است پس $g^{-1}$ حتی یکنواخت پیوسته است. دقیقاً همین است که اجازه می‌دهد $g$ را درون ترکیب $g\circ f$ وارون کنید: آنچه اهمیت دارد فشردگی فضای میانی است — نه مبدأ و نه مقصد.

ادعا. فرض کنید $X,Y,Z$ فضاهای متریک، $f:X\to Y$ نگاشتی دلخواه، و $g:Y\to Z$ پیوسته و یک‌به‌یک با $Y$ فشرده باشند. اگر $g\circ f$ یکنواخت پیوسته باشد، آنگاه $f$ نیز چنین است.

اثبات. بنا بر اصل انتقال بالا $g^{-1}:g(Y)\to Y$ یکنواخت پیوسته است، و $f=g^{-1}\circ(g\circ f)$ ترکیب دو نگاشت یکنواخت پیوسته است. به‌طور صریح: به‌ازای $\varepsilon>0$ داده‌شده، $\eta>0$ را چنان برگزینید که روی $g(Y)$ داشته باشیم $d_Z(z,z')<\eta\Rightarrow d_Y(g^{-1}z,g^{-1}z')<\varepsilon$، سپس $\delta>0$ را چنان که $d_X(x,x')<\delta\Rightarrow d_Z\big((g\circ f)(x),(g\circ f)(x')\big)<\eta$. $\blacksquare$

هر فرض همسایه‌ای واقعاً ضعیف‌تر است:

• «$g$ یکنواخت پیوسته» و «$f$ پیوسته» بی‌فایده‌اند. بگیرید $X=Y=Z=\mathbb{R}$، $f(x)=x^{2}$، $g(y)=\arctan y$. آنگاه $g$ یک تزریق یکنواخت پیوسته است ($\lvert g'\rvert\le 1$)، $f$ پیوسته است، و $(g\circ f)'(x)=\dfrac{2x}{1+x^{4}}$ کراندار است، پس $g\circ f$ لیپ‌شیتز است — با این حال $f(x)=x^2$ روی $\mathbb{R}$ یکنواخت پیوسته نیست. آنچه لازم بود پیوستگی یکنواختِ $g^{-1}$ است، که خواسته‌ای کاملاً متفاوت است.
• «$X$ و $Z$ فشرده‌اند» بی‌فایده است. بگیرید $X=[0,1]$، $Y=[0,2\pi)$، $Z=S^{1}$، $g(t)=(\cos t,\sin t)$ (پیوسته و یک‌به‌یک)، و $f(x)=2\pi x$ برای $x<1$، $f(1)=0$. آنگاه $(g\circ f)(x)=(\cos 2\pi x,\sin 2\pi x)$ روی $[0,1]$ی فشرده پیوسته و در نتیجه یکنواخت پیوسته است، در حالی که $f$ در $x=1$ ناپیوسته است. هر دو سر فشرده‌اند؛ فضای میانی $[0,2\pi)$ فشرده نیست، و به‌راستی $g^{-1}$ در $(1,0)$ ناپیوسته است.

گونه‌ها و مقایسه

حالت‌های مرزی که کنکور جایگزین می‌کند:

• $(0,1)$، $[0,\infty)$، $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ — کراندار یا بسته‌اند ولی فشرده نیستند؛ تله‌های کلاسیک EVT و پیوستگی یکنواخت (مثلاً $x\mapsto 1/x$ روی $(0,1]$ ماکسیمم ندارد و یکنواخت پیوسته نیست).
• گوی‌های بستهٔ بی‌بعدِ نامتناهی — بسته و کراندار، ولی فشرده نیستند.
• فضاهای گسسته — فشرده $\iff$ متناهی.
• $g:[0,2\pi)\to S^{1}$، $t\mapsto(\cos t,\sin t)$ — تناظری یک‌به‌یک و پیوسته بر روی یک فضای هاسدورف فشرده که همسان‌ریختی نیست، چون دامنه فشرده نیست. این مثال نقض جهانی هر مسئله‌ای است که می‌کوشد $f^{-1}$ را رایگان پیوسته بگیرد.
• مجموعهٔ کانتور — فشرده، ناشمارا، تماماً ناهمبند، با اندازهٔ صفر: مثال استاندارد «عجیب اما فشرده».
• تله‌های زیرفضا — $[0,1)$ در $[0,2)$ باز است، $\left(0,\tfrac12\right]$ در $(0,1)$ بسته است: بازبودن و بسته‌بودن نسبی‌اند، فشردگی نه.

نکتهٔ کنکوری: بیشتر سؤالات کنکوری فشردگی یک‌خطی‌اند — تصویر پیوستهٔ یک مجموعهٔ فشرده، فشرده است — که در قالب یک نمودار، یک تصویر یا یک ترکیب پنهان شده‌اند. مجموعهٔ فشرده را پیدا کنید (معمولاً $[a,b]$ یا یک فرض فشردگی)، آن را به‌طور پیوسته نگاشت کنید و بسته $+$ کراندار $+$ اختیارکردن اکسترمم‌ها را بخوانید. برای گزینه‌های انحرافیِ عکس حکم، دو سگ نگهبان را به یاد داشته باشید: $\sin(1/x)$ (نمودار همبند، ناپیوسته) و $1/x$ (نمودار بسته، ناپیوسته) — هر دو دقیقاً جایی زندگی می‌کنند که فشردگی حذف شده است.

تلهٔ رایج: دو عادت بیشترین نمره را می‌سوزانند. (i) بسته و باز را مطلق پنداشتن — این‌ها همیشه نسبت به فضای دربرگیرنده‌اند، حال آن‌که فشردگی (و همبندی، کامل‌بودن و کراندار کلی بودن) ذاتی است. (ii) صادر کردن هاینه–برل به بیرون از $\mathbb{R}^n$: «بسته و کراندار» در $\mathbb{Q}$، در $\ell^2$، یا در هر فضای متریک عمومی هیچ چیزی ثابت نمی‌کند، جایی که معیار درست کامل $+$ کراندار کلی است. و وقتی مسئله می‌پرسد کدام فرض یک نگاشت را نجات می‌دهد، فشردگی را روی فضای میانی بگذارید — گزینه‌هایی که مبدأ یا مقصد را فشرده می‌کنند تنها نیمی از هاینه–کانتور را به شما می‌دهند.