سوال ۷۵ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۰ — فرض کنیم x_n یک دنباله در یک فضای متریک باشد. کدام گزاره درست است؟

Question

فرض کنیم x_n یک دنباله در یک فضای متریک باشد. کدام گزاره درست است؟

Accepted Answer

اگر سری ∑_(n=1)^(∞) d(x_n , x_(n-1)) همگرا باشد آنگاه دنبالهٔ x_n کوشی است ولی عکس این گزاره درست نیست.

Answer

دنبالهٔ x_n کوشی است اگر و تنها اگر سری ∑_(n=1)^(∞) d(x_n , x_(n+1)) همگرا باشد.

Answer

دنبالهٔ x_n کوشی است اگر و تنها اگر دنبالهٔ مجموع‌های جزئی سری ∑_(n=1)^(∞) d(x_n , x_(n+1)) کراندار باشد.

Answer

اگر دنبالهٔ x_n کوشی باشد آنگاه سری ∑_(n=1)^(∞) d(x_n , x_(n+1)) همگرا است ولی عکس این گزاره درست نیست.