فضاهای متریک: کامل بودن، کرانداری و همبندی
گوی‌های باز یک متریک، تمام توپولوژی آن را تعیین می‌کنند؛ بنابراین بازبودن، پیوستگی، همگرایی، فشردگی و همبندی تحت هر تغییرِ متریکِ هم‌ارز ( dmapstod/(1+d) ) پابرجا می‌مانند — و «همانیِ (X,d)→(X,ρ) یک هومئومورفیسم است» دقیقاً همان «مجموعه‌های باز یکسان، دنباله‌های همگرای یکسان یا مجموعه‌های فشردهٔ یکسان» است، ولی اکیداً ضعیف‌تر از کران دوطرفهٔ لیپشیتسی α^(-1)d≤ρ≤β d ؛ در مقابل کوشی‌بودن/کامل‌بودن فقط تحت هم‌ارزیِ یکنواخت و کرانداری فقط تحت هم‌ارزیِ لیپشیتسی حفظ می‌شوند؛ از همین رو همبندی یک مقدارِ فاصلهٔ ممنوع را به یک کرانِ سراسری ارتقا می‌دهد، تسلطِ یک‌طرفهٔ d_1≤ d_2 تنها τ_(d_1)⊆τ_(d_2) را می‌دهد (بازبودن و درون‌ها از درشت → ریز و فشردگی، بستارها و نقاط حدی از ریز → درشت سفر می‌کنند)، ∑_n d(x_n,x_(n+1))<∞⇒ کوشی ⇒ d(x_n,x_(n+1))→0 که هر دو پیکان برگشت‌ناپذیرند، «هر تک‌عضوی باز است» ناهمبندی کامل و فشرده = متناهی را تحمیل می‌کند ولی هرگز کامل‌بودن را، کرانداریِ هر تابع پیوستهٔ حقیقی‌مقدار (و نه هر خودنگاشت) مشخصهٔ فشردگی است، و bigcap_koverline x_n:n≥ k (مجموعهٔ نقاط انباشت) تنها در فضای فشرده همگرایی را تضمین می‌کند.
metric-spacecompletenesscauchy-sequencesequivalent-metrics