سوال ۶۱ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۵

سرعت و شتاب دقیقاً زمانی بر هم عمودند که ضرب داخلی آن‌ها صفر شود، یعنی $\vec{v}\cdot\vec{a}=0$.

سرعت — بردار مکان را مؤلفه‌به‌مؤلفه مشتق می‌گیریم: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = 2\,\hat{i} + (5-4t)\,\hat{j} + (-2-2t)\,\hat{k}.$

شتاب — یک بار دیگر مشتق می‌گیریم: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = 0\,\hat{i} - 4\,\hat{j} - 2\,\hat{k}.$

ضرب داخلی — جملهٔ $\hat{i}$ حذف می‌شود (چون $a_x=0$): $\vec{v}\cdot\vec{a} = (5-4t)(-4) + (-2-2t)(-2) = -20 + 16t + 4 + 4t = 20t - 16.$

با برابر صفر قرار دادن آن: $20t - 16 = 0 \;\Rightarrow\; t = 0.8\ \text{s}.$

چون شتاب ثابت است، $\vec{v}\cdot\vec{a}$ نسبت به $t$ خطی است، بنابراین دقیقاً یک لحظهٔ عمود بودن وجود دارد، $t = 0.8\,\text{s}$ — گزینهٔ ۱.

نکتهٔ کنکوری: شرط $\vec{v}\perp\vec{a}$ معادل $\frac{d}{dt}|\vec{v}|^{2}=2\,\vec{v}\cdot\vec{a}=0$ است، یعنی همان لحظه‌ای که تندی لحظه‌ای مانا می‌شود (بیشینه یا کمینه). نیازی به محاسبهٔ نمودار کامل تندی نیست — کافی است $\vec{v}\cdot\vec{a}=0$ قرار دهید.