سوال ۶۱ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۴

اهمیت

۰/۵

ردّ تانسور لختی یک مکعب همگن به جرم M و ضلع a در دستگاه مختصاتی که مبدأ آن در مرکز جرم واقع است و محورهای مختصات عمود بر وجوه مکعب‌اند، کدام است؟

پاسخ صحیح: گزینهٔ A — $\frac{۱}{۲} \mathrm{Ma}^{۲}$

پاسخ تشریحی

صورت‌بندی مسئله

مبدأ مختصات را در مرکز جرم مکعب و محورها را عمود بر وجه‌ها می‌گیریم، بنابراین هر مختصهٔ دکارتی در بازهٔ زیر تغییر می‌کند

-\frac{a}{2} \le x,\,y,\,z \le \frac{a}{2}, \qquad \rho = \frac{M}{a^{3}} \ \ (\text{uniform}).

تانسور ممان اینرسی عبارت است از

I_{ij} = \int \rho\,\bigl( r^{2}\delta_{ij} - x_i x_j \bigr)\, dV , \qquad r^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2}.

رد (تریس) یک میان‌بُر مستقل از دستگاه مختصات است

از تانسور رد می‌گیریم (در سه بُعد $\delta_{ii}=3$ است و روی $i$ جمع بسته می‌شود):

\mathrm{Tr}\,\mathbf{I} = I_{ii} = \int \rho\,\bigl( 3r^{2} - x_i x_i \bigr)\, dV = \int \rho\,\bigl( 3r^{2} - r^{2} \bigr)\, dV = 2\int \rho\, r^{2}\, dV .

پس برای هر جسم صلب، رد تانسور برابر دو برابرِ ممان دوم قطبی نسبت به مبدأ است — و چون یک رد است، تحت دوران محورها ناوردا می‌ماند؛ بنابراین هیچ نیازی به یافتن محورهای اصلی نیست.

محاسبهٔ انتگرال برای مکعب

به دلیل تقارن مکعب،

\int \rho\, x^{2}\, dV = \int \rho\, y^{2}\, dV = \int \rho\, z^{2}\, dV ,

و انتگرال تجزیه‌پذیر است:

\int \rho\, x^{2}\, dV = \frac{M}{a^{3}} \left( \int_{-a/2}^{a/2} x^{2}\, dx \right)\!\left( \int_{-a/2}^{a/2} dy \right)\!\left( \int_{-a/2}^{a/2} dz \right) = \frac{M}{a^{3}} \cdot \frac{a^{3}}{12} \cdot a \cdot a = \frac{M a^{2}}{12}.

بنابراین

\int \rho\, r^{2}\, dV = 3\cdot \frac{M a^{2}}{12} = \frac{M a^{2}}{4}, \qquad \mathrm{Tr}\,\mathbf{I} = 2\cdot\frac{M a^{2}}{4} = \frac{1}{2} M a^{2}.

بررسی متقابل با ممان‌های مقدماتی

برای یک بلوک مستطیلی همگن، نتیجهٔ استاندارد حول محوری از مرکز جرم و عمود بر یک وجه برابر $I = \tfrac{1}{12}M(b^{2}+c^{2})$ است که در آن $b,c$ دو یال عرضی‌اند. برای مکعب $b=c=a$ :

I_{xx}=I_{yy}=I_{zz}=\frac{1}{12}M\left(a^{2}+a^{2}\right)=\frac{1}{6}Ma^{2}.

مکعب کاملاً متقارن است، پس این محورها اصلی‌اند و حاصل‌ضرب‌های اینرسی صفر می‌شوند؛ در نتیجه تانسور به شکل $\mathbf{I}=\tfrac{1}{6}Ma^{2}\,\mathbb{1}$ درمی‌آید. از این رو

\mathrm{Tr}\,\mathbf{I} = 3\times \frac{1}{6}Ma^{2} = \frac{1}{2}Ma^{2}.

هر دو مسیر هم‌خوانی دارند، پس پاسخ گزینهٔ ۱ است.

نکتهٔ کنکوری: رابطهٔ $\mathrm{Tr}\,\mathbf{I}=2\int\rho r^{2}dV$ برای هر جسمی و هر جهت‌گیری‌ای از محورها برقرار است، پس می‌توانید رد تانسور را بدون هیچ قطری‌سازی‌ای مستقیماً از ممان قطبی بخوانید. برای جسمی همسانگرد مانند مکعب، $\mathbf{I}$ مضربی از ماتریس همانی است — هر محوری که از مرکز بگذرد اصلی است و همان مقدار $\tfrac{1}{6}Ma^{2}$ را می‌دهد؛ به همین دلیل مقدار هر محور $\tfrac{1}{6}$ است نه $\tfrac{1}{12}$ .

تلهٔ رایج: $I_{xx}=\tfrac{1}{6}Ma^{2}$ (که شبیه گزینهٔ $\tfrac{1}{6}$ است) را با رد تانسور اشتباه نگیرید، و از $\tfrac{1}{12}Ma^{2}$ استفاده نکنید — آن مربوط به میلهٔ باریک، یا تنها یک جملهٔ $\int\rho x^{2}dV$ است، نه ممان اینرسی مکعب.

#inertia-tensor#rigid-body#trace#cube#moment-of-inertia#center-of-mass

کارت‌های مرتبط

مفهوممکانیک کلاسیک

دینامیک جسم صلب، تانسورهای اینرسی و تقدیم دقیق فرفرهٔ سنگین

گشتاورهای جفتی با وزن جرمی، تانسورهای اینرسی، پایداری اویلری، تقدیم دقیق فرفرهٔ سنگین و کمینهٔ آهنگ چرخش اویلری، غلتش و گیراندازی در لولا با بررسی ضربه و انرژی.

inertia-tensorpairwise-distancesintermediate-axis-theoremhinged-capture