سوال ۶۲ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۴

صورت‌بندی مسئله: شتاب ثابت در یک بُعد

برای حرکت مستقیم‌الخط با شتاب ثابت $a$، با حذف زمان میان $v = v_0 + at$ و $x = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2}at^2$ رابطهٔ مکان–سرعت (رابطهٔ توریچلی) به‌دست می‌آید:

که در آن $x_0 = 0$ و $v_0 \equiv v(0)$ همان تندی مجهول در مبدأ است:

نکتهٔ ساختاری کلیدی این است که $v^2$ تابعی خطی از $x$ است — و دقیقاً به همین دلیل نمودار رسم‌شدهٔ $v(x)$ همان منحنی جذری نشان‌داده‌شده است: مقعر به پایین، که در نقطهٔ بازگشت با شیب بی‌نهایت (قائم) به محور $x$ می‌رسد.

خواندن دو دادهٔ نمودار

شکل دو شرط در اختیار ما می‌گذارد:

شرط در $x = 121\ \mathrm{m}$ (ذره متوقف می‌شود):

پس شتاب منفی است (ذره به‌طور یکنواخت کند می‌شود)، همان‌گونه که نزولی‌بودن منحنی ایجاب می‌کند.

شرط در $x = 21\ \mathrm{m}$:

حل

(ریشهٔ مثبت، زیرا $v$ یک تندی است).

بررسی سازگاری

با $v_0 = 11\ \mathrm{m/s}$، شتاب کاهنده برابر است با

بنابراین کل منحنی به‌سادگی عبارت است از

نقاط داده‌شده را وارسی کنید: $v(21) = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{m/s}$ ✓ و $v(121) = 0$ ✓. همچنین توجه کنید که $\dfrac{dv}{dx} = -\dfrac{1}{2\sqrt{121-x}} \to -\infty$ وقتی $x \to 121^{-}$، که با مماس قائم رسم‌شده در انتهای منحنی سازگار است، و $v_0 = \sqrt{121} = 11$.

پس گزینهٔ ۴ درست است.

نکتهٔ کنکوری: سعی نکنید عرض از مبدأ را مستقیماً از روی شکل بخوانید یا خودِ منحنی را خطی درون‌یابی کنید — یک حدس خطی از $(21, 10)$ و $(121, 0)$ مقدار $v_0 = 10 \times \frac{121}{100} = 12.1$ می‌دهد که اصلاً جزو گزینه‌ها نیست. منحنی از نوع جذر است، پس آنچه باید خطی درون‌یابی شود $v^{2}$ است نه $v$: $v_0^{2} = 100 \times \frac{121}{100} = 121$. اعداد $21$ و $121$ دقیقاً چنان انتخاب شده‌اند که $121 - 21 = 100 = 10^2$ محاسبات را کاملاً دقیق کند.