سوال ۶۳ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۴

داده‌های مسئله

ذره‌ای به جرم $m$ در یک صفحه تحت اثر نیروی کاملاً مرکزی $\vec{F} = f(r)\,\hat{r}$ حرکت می‌کند و معادلهٔ مدار آن (مسیر، نه وابستگی به زمان) مارپیچ لگاریتمی زیر است

$r(\theta) = a\,e^{b\theta},\qquad a,b = \text{const}$

چون نیرو مرکزی است، اندازهٔ حرکت زاویه‌ای

$L = m r^{2}\dot{\theta}$

یک ثابت حرکت است. باید $f(r)$ را بیابیم.

معادلهٔ مدار (بینه)

برای نیروی مرکزی، معادلهٔ حرکت شعاعی عبارت است از

$m\left(\ddot{r} - r\dot{\theta}^{2}\right) = f(r)$

با حذف زمان به نفع $\theta$ و با تعریف $u \equiv 1/r$ و $\dot{\theta} = L/(mr^{2}) = Lu^{2}/m$ داریم:

$\dot{r} = \frac{dr}{d\theta}\dot{\theta} = -\frac{1}{u^{2}}\frac{du}{d\theta}\cdot\frac{Lu^{2}}{m} = -\frac{L}{m}\frac{du}{d\theta}$

$\ddot{r} = -\frac{L}{m}\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}\dot{\theta} = -\frac{L^{2}u^{2}}{m^{2}}\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}$

و $r\dot{\theta}^{2} = \dfrac{1}{u}\cdot\dfrac{L^{2}u^{4}}{m^{2}} = \dfrac{L^{2}u^{3}}{m^{2}}$. با جای‌گذاری، معادلهٔ مدار بینه به دست می‌آید

$\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = -\frac{m}{L^{2}u^{2}}\,f\!\left(\frac{1}{u}\right)$

به‌کارگیری آن برای مارپیچ لگاریتمی

از $r = a e^{b\theta}$ داریم

$u = \frac{1}{r} = \frac{1}{a}e^{-b\theta}\quad\Rightarrow\quad \frac{du}{d\theta} = -b\,u,\qquad \frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} = b^{2}u$

پس طرف چپ برابر است با

$\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = b^{2}u + u = \left(1+b^{2}\right)u$

بنابراین

$-\frac{m}{L^{2}u^{2}}f\!\left(\frac{1}{u}\right) = \left(1+b^{2}\right)u \quad\Rightarrow\quad f = -\frac{L^{2}}{m}\left(1+b^{2}\right)u^{3}$

و با نوشتن $u^{3} = 1/r^{3}$:

$\boxed{\,f(r) = -\frac{L^{2}\left(1+b^{2}\right)}{m\,r^{3}}\,}$

بررسی پاسخ

• علامت. $f(r)<0$، یعنی نیرو جاذبه است — و باید چنین باشد، زیرا یک مدار مارپیچی مقید نمی‌تواند حاصل نیروی مرکزی دافعه باشد.
• حد $b\to 0$. در این حالت $r = a$ یک دایره است و $f = -L^{2}/(mr^{3})$. در واقع برای دایره‌ای به شعاع $a$ داریم $L = m a^{2}\dot{\theta}= m a v$ و نیروی مرکزگرای لازم برابر $-mv^{2}/a = -L^{2}/(ma^{3})$ است. ✔
• قانون توانی. قانون عکس مکعب $f\propto r^{-3}$ دقیقاً همان حالت مرزی است که مدارهای آن مارپیچ‌های لگاریتمی (مارپیچ‌های کوتس) هستند و با مسیر داده‌شده سازگار است.

پس پاسخ گزینهٔ ۳ است، $-\dfrac{L^{2}}{mr^{3}}\left(1+b^{2}\right)$.

نکتهٔ کنکوری: گزینه‌های انحرافی فقط در $(1+b)^{2}$، $(1-b)^{2}$، $(1-b^{2})$ در برابر $(1+b^{2})$ تفاوت دارند. ترکیبی که ظاهر می‌شود $\left(\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u\right)/u = b^{2}+1$ است — یک مجموع مربع‌ها، و هرگز یک مربع کامل — زیرا $u\propto e^{-b\theta}$ با دو بار مشتق‌گیری به $+b^{2}u$ تبدیل می‌شود. همچنین علامت کلی باید منفی باشد: نیرویی جاذبه. همین دو مشاهده به‌تنهایی بدون هیچ محاسبهٔ جبری دیگری گزینهٔ ۳ را مشخص می‌کند.