حرکت تحت نیروی مرکزی و مدارها

۱. ایدهٔ اصلی

یک نیروی مرکزی در راستای خطی که ذره را به یک مرکز ثابت می‌پیوندد سو دارد، با بزرگی‌ای که تنها به فاصلهٔ $r$ وابسته است:

$\vec{F}(\vec{r}) = f(r)\,\hat{r} = -\frac{dV}{dr}\,\hat{r},\qquad \vec{F} = -\nabla V(r).$

در اینجا $V(r)$ یک پتانسیل مرکزی است. این تنها یک الگو، حرکت سیاره‌ای/کپلری، پراکندگی کولنی (رادرفورد)، اتم هیدروژن کلاسیک و نوسانگر همسانگرد سه‌بعدی را در بر می‌گیرد. دو قانون پایستگی آن را در اصل به‌طور دقیق حل‌پذیر می‌سازند:

• تکانهٔ زاویه‌ای پایسته است. گشتاور حول مرکز برابر است با $\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F} = f(r)\,(\vec{r}\times\hat{r}) = 0$، پس $\vec{L} = \vec{r}\times\mu\vec{v}$ ثابت است. در نتیجه حرکت به صفحه‌ای محدود می‌شود که عمود بر $\vec{L}$ است، و سرعت مساحتی $\dot A = L/(2\mu)$ ثابت است (قانون دوم کپلر).
• انرژی پایسته است، زیرا یک نیروی مرکزی پایستار است ($\nabla\times\vec{F}=0$).

۲. فرمول‌های کلیدی

در مختصات قطبی صفحه‌ای $(r,\phi)$ با جرم کاهش‌یافته $\mu$ کار می‌کنیم (برای حرکت حول یک مرکز ثابت از $\mu=m$ استفاده کنید؛ برای یک دستگاه دوجسمی $\mu = m_1 m_2/(m_1+m_2)$). دو ثابت حرکت عبارت‌اند از

$L = \mu r^{2}\dot\phi = \text{const},\qquad E = \tfrac12\mu\dot r^{2} + \tfrac12\mu r^{2}\dot\phi^{2} + V(r).$

حذف $\dot\phi = L/(\mu r^{2})$ انرژی جنبشی زاویه‌ای را به یک جملهٔ $1/r^2$ تبدیل می‌کند و مسئله را به حرکت شعاعی یک‌بعدی در یک پتانسیل مؤثر فرومی‌کاهد:

$E = \tfrac12\mu\dot r^{2} + V_{\text{eff}}(r),\qquad V_{\text{eff}}(r) = V(r) + \frac{L^{2}}{2\mu r^{2}}.$

جملهٔ افزوده‌شدهٔ $L^{2}/(2\mu r^{2})$ همان سد گریز از مرکز است. مختصهٔ زاویه‌ای حذف شده است؛ شکل $V_{\text{eff}}$ نواحی شعاعی مجاز را از روی یک نمودار انرژی یک‌بعدی تعیین می‌کند.

داده‌های برخورد و قراردادهای انرژی

با $V(\infty)=0$، مسیر نسبی ورودی با سرعت $v_\infty$ و پارامتر برخورد عمود $b$ می‌دهد

برای مرکز ثابت از جرم ذره $m$ استفاده کنید؛ برای دو جسم آزاد، جرم کاهش‌یافته، سرعت نسبی و تکانهٔ زاویه‌ای نسبی را به کار ببرید. انرژی کامل آزمایشگاهی، انرژی جنبشی مرکز جرم را نیز شامل می‌شود. کمیت‌های ویژه مستلزم تقسیم کل معادلهٔ شعاعی بر جرم هستند:

در اینجا $V$ انرژی پتانسیل است، ولی $V/\mu$ انرژی بر واحد جرم است. ضریب پتانسیل ویژه را بدون تصریح با ضریب انرژی پتانسیل جابه‌جا نکنید.

در پارامتر برخورد صفر $L=0$ است: حرکت روی خطی گذرنده از مرکز است، سد گریز از مرکز یا صفحهٔ مداری متمایزی وجود ندارد و معادلهٔ بینه قابل استفاده نیست، چون بر $L^2$ تقسیم می‌کند. مسیر مستقیم با انرژی مثبت در پتانسیل جاذبهٔ خالص $V=-\alpha/r^s$ با $\alpha>0$، $s>0$ می‌تواند به مرکز تکین برسد؛ هستهٔ فیزیکی می‌تواند این نتیجه را تغییر دهد.

شکل مدار $r(\phi)$ از معادلهٔ بینه به‌دست می‌آید (با جای‌گذاری $u=1/r$):

$\frac{d^{2}u}{d\phi^{2}} + u = -\frac{\mu}{L^{2}u^{2}}\,f\!\left(\tfrac1u\right),\qquad u=\frac1r.$

برای پتانسیل عکس‌مجذوری (کپلر/کولن) $V(r) = -\dfrac{k}{r}$ (پس $f=-k/r^{2}$) معادلهٔ بینه خطی است و مدارهای مقید/نامقید مقاطع مخروطی هستند:

$r(\phi) = \frac{p}{1 + e\cos\phi},\qquad p = \frac{L^{2}}{\mu k},\qquad e = \sqrt{1 + \frac{2EL^{2}}{\mu k^{2}}}.$

خروج از مرکز $e$ مدار را دسته‌بندی می‌کند: $e<1$ (بیضی، $E<0$)، $e=1$ (سهمی، $E=0$)، $e>1$ (هذلولی، $E>0$). برای یک بیضی مقید با نیم‌قطر بزرگ $a$، $\;E = -\dfrac{k}{2a}$ و قانون سوم کپلر برقرار است: $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}\mu}{k}\,a^{3}$، یعنی $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}a^{3}$ برای گرانش.

فرمول‌های مخروطی فرض می‌کنند $k>0$ و $L\ne0$ و مرکز نیرو در یک کانون است. شعاع حضیض از همان کانون اندازه‌گیری می‌شود:

برای سهمی، $e=1$ و $E=0$ است، بنابراین

سهمی دکارتی و مرکز نیرو

برای $X^2=4dY$ با $d>0$، رأس $(0,0)$، کانون $(0,d)$ و خط هادی $Y=-d$ است. فاصلهٔ رأس تا کانون $d$، وتر کانونی کامل $4d$ و نیم‌وتر کانونی $p=2d$ است. در سهمی کپلری، جسم جاذب در کانون قرار دارد؛ پس $r_p=d$ است، نه فاصلهٔ صفر از رأس دستگاه مختصات. در گرانش با مرکز ثابت، $k=GMm$، $\mu=m$ و در نتیجه $v_p=\sqrt{2GM/d}$ و $L=m\sqrt{2GMd}$ است. در حضیض ثابت، سرعت سهموی $\sqrt2$ برابر سرعت دایره‌ای است.

برای مدار گرانشی واقعاً دوجسمی $k=Gm_1m_2$ و $k/\mu=G(m_1+m_2)$ است؛ قانون سوم آنگاه از جرم کل استفاده می‌کند. نیم‌محور بزرگ و فاصلهٔ کانونی کمیت‌های هندسی متفاوت‌اند؛ سهمی نیم‌محور بزرگ متناهی ندارد.

قوانین توانی جاذبه: کمینه‌های پایدار و سدهای گیراندازی

فرض کنید $V=-\alpha/r^s$ با $\alpha>0$، $s>0$ و $L>0$. پیش از دسته‌بندی اکسترمم، معادلهٔ مانایی را حل کنید:

برای $0<s<2$، اکسترمم کمینه‌ای پایدار با انرژی منفی است. برای $s>2$، بیشینه‌ای ناپایدار با ارتفاع سد مثبت است؛ پتانسیل در بی‌نهایت از بالا به صفر و در مرکز به منفی بی‌نهایت میل می‌کند. غالب‌بودن جاذبه نزدیک مبدأ، دسترسی از بی‌نهایت را تضمین نمی‌کند.

زیر سد، مسیر آغازشده در ناحیهٔ مجاز داخلی هنوز می‌تواند به درون سقوط کند. برابری یک جداکننده است، نه گیراندازی در زمان متناهی. از $E=V_*$ و داده‌های برخورد داریم

برای این پتانسیل تکین ایده‌آل با سرعت ورودی مثبت، $b<b_c$ گیراندازی و $b>b_c$ پراکندگی می‌دهد و $\sigma_{\mathrm{cap}}=\pi b_c^2$ است. سطح جذب یا هستهٔ دافعه به تحلیل تازهٔ نقاط بازگشت نیاز دارد.

در $s=2$، به‌طور معمول شعاع مانای منفردی وجود ندارد:

ضریب مثبت مبدأ را محافظت می‌کند؛ ضریب منفی سقوط از بی‌نهایت با انرژی مثبت را ممکن می‌سازد. در حذف دقیق، پتانسیل مؤثر همه‌جا صفر است: سرعت شعاعی صفر خانواده‌ای دایره‌ای و حاشیه‌ای با $E=0$ می‌دهد، در حالی که حرکت ورودی با انرژی مثبت سرعت شعاعی ثابت دارد. در آستانهٔ پتانسیل عکس‌مجذوری، سقوط خودکار نیست.

۳. روش: حل یک مسئلهٔ نیروی مرکزی

1. مرکزی‌بودن آن را تأیید کنید و $V(r)$ (یا نیروی $f(r)$) را بنویسید. اگر دو جسم حول مرکز مشترکشان می‌گردند از $\mu$ استفاده کنید.
2. دو قانون پایستگی را به‌کار ببرید: $L=\mu r^{2}\dot\phi$ و $E=\tfrac12\mu\dot r^{2}+V_{\text{eff}}(r)$.
3. مدارهای دایره‌ای در اکسترمم $V_{\text{eff}}$ قرار دارند: حل کنید $\frac{dV_{\text{eff}}}{dr}\Big|_{r_0} = V'(r_0) - \frac{L^{2}}{\mu r_0^{3}} = 0 \;\Longleftrightarrow\; V'(r_0)=\frac{L^{2}}{\mu r_0^{3}}$ (کشش جاذبه دقیقاً نیاز مرکزگرا را تأمین می‌کند).
4. پایداری را بیازمایید: اکسترمم غیرتبهگن در $r_0$ وقتی کمینه باشد پایدار است، $V_{\text{eff}}''(r_0)>0$؛ بیشینه ناپایدار است و انحنای صفر به تحلیل مرتبه‌های بالاتر نیاز دارد. آن‌گاه جابه‌جایی‌های شعاعی کوچک با فرکانس $\omega_r^{2} = V_{\text{eff}}''(r_0)/\mu$ نوسان می‌کنند.
5. نقاط بازگشت / اوج‌وحضیض: $V_{\text{eff}}(r)=E$ را برای $r_{\min},r_{\max}$ حل کنید (حضیض/اوج).
6. شکل مدار از بینه، یا حل مخروطی برای $1/r$؛ زاویهٔ اوج‌وحضیضی $\Delta\phi = \displaystyle\int_{r_{\min}}^{r_{\max}} \frac{L\,dr}{r^{2}\sqrt{2\mu(E-V_{\text{eff}})}}$ می‌گوید که آیا مدار بسته می‌شود یا نه.

برای بیشینه، ارتفاع را محاسبه و با انرژی ورودی مقایسه کنید. برای کمینه، انحنا فرکانس نوسان کوچک را می‌دهد؛ انحنای صفر آزمون پایداری درجهٔ دوم را نامعین می‌گذارد. انتگرال زاویهٔ اوج‌وحضیضی بالا، زاویهٔ بین دو نقطهٔ بازگشت شعاعی پیاپی را می‌سنجد، نه یک چرخهٔ کامل شعاعی را. نزدیک مدار دایره‌ای پایدار،

نسبت گویای فرکانس‌ها برای بسته‌شدن در حد نوسان کوچک لازم است، ولی بسته‌شدن در دامنهٔ دلخواه را ثابت نمی‌کند.

۴. مثال کوچک حل‌شده

مدار دایره‌ای و فرکانس نوسان کوچک آن برای پتانسیل کپلر $V(r)=-k/r$.

پتانسیل مؤثر را تشکیل دهید و مشتق آن را برابر صفر قرار دهید:

$V_{\text{eff}}(r) = -\frac{k}{r} + \frac{L^{2}}{2\mu r^{2}},\qquad V_{\text{eff}}'(r)=\frac{k}{r^{2}} - \frac{L^{2}}{\mu r^{3}} = 0 \;\Rightarrow\; r_0 = \frac{L^{2}}{\mu k}.$

انرژی مداری برابر است با

$E = V_{\text{eff}}(r_0) = -\frac{k}{r_0} + \frac{L^{2}}{2\mu r_0^{2}} = -\frac{\mu k^{2}}{L^{2}} + \frac{\mu k^{2}}{2L^{2}} = -\frac{\mu k^{2}}{2L^{2}},$

که با $E=-k/(2a)$ در $a=r_0$ سازگار است. بررسی پایداری:

$V_{\text{eff}}''(r) = -\frac{2k}{r^{3}} + \frac{3L^{2}}{\mu r^{4}} \;\Rightarrow\; V_{\text{eff}}''(r_0) = \frac{k}{r_0^{3}} > 0,$

پس مدار پایدار است، و اختلال‌های شعاعی با فرکانس زیر نوسان می‌کنند

$\omega_r = \sqrt{\frac{V_{\text{eff}}''(r_0)}{\mu}} = \sqrt{\frac{k}{\mu r_0^{3}}} = \dot\phi_0.$

چون $\omega_r$ با سرعت زاویه‌ای مداری برابر است، مدار مختل‌شده پس از یک دور کامل بسته می‌شود — انحراف کوچک صرفاً به بیضی‌ای اندکی خارج از مرکز تبدیل می‌شود. این هم‌رخدادی ویژهٔ قانون $1/r$ است.

مثال فرضی برای سد

پتانسیل $V=-A/r^4$ با $A>0$ و $L$ ناصفر را در نظر بگیرید. با صفر قرار دادن مشتق اول و بررسی مشتق دوم داریم

با $E=\mu v_\infty^2/2$، پارامتر برخورد بحرانی از $b_c^4=8A/(\mu v_\infty^2)$ پیروی می‌کند. پارامتر برخورد بزرگ‌تر سد را بالا می‌برد و پراکندگی می‌دهد؛ مقدار کوچک‌تر اجازهٔ عبور به درون می‌دهد. چون $[A]=[\mathrm{energy}][\mathrm{length}]^4$، ارتفاع سد واحد انرژی دارد. با میل پارامتر برخورد به صفر، ارتفاع نیز به صفر میل می‌کند، ولی در مقدار دقیقاً صفر، بیشینهٔ مانای متناهی وجود ندارد. تقسیم ارتفاع بر $\mu$ به جای آن انرژی بر واحد جرم را می‌دهد.

پراکندگی رادرفورد و انحراف عمومی

برای پتانسیل دافعهٔ $V=+k/r$ با $k>0$ و پتانسیل صفر در بی‌نهایت، زاویهٔ انحراف مجانبی از رابطهٔ زیر پیروی می‌کند:

این رابطهٔ سطح مقطع، یک شاخهٔ یکنوای پارامتر برخورد را فرض می‌کند؛ در غیر این صورت روی شاخه‌ها جمع بزنید. در $b=0$، حرکت کولنی دافعه با $\theta=\pi$ بازمی‌گردد، برخلاف سقوط مستقیم جاذبه. برای پتانسیل مرکزی عمومی با نقطهٔ بازگشت بیرونی $r_t$،

برای مسیر سادهٔ بدون دورهای اضافی. جاذبهٔ قوی می‌تواند دورهای اضافی ایجاد کند؛ از این رو تشخیص شاخهٔ زاویه‌ای مشاهده‌شده به دقت نیاز دارد.

۵. گونه‌های رایج، حالت‌های خاص و حدها

• پتانسیل‌های توانی $V=\beta r^k$: برای $L>0$، وجود مدار مستلزم $\beta k>0$ است. اگر $k\ne-2$، شرط دایره‌ای $\beta k\,r^{k+2}=L^2/\mu$ می‌دهد $r_0=[L^2/(\mu\beta k)]^{1/(k+2)}$. انحنا $V_{\mathrm{eff}}''=\beta k(k+2)r_0^{k-2}$ است؛ پس پایداری به $k>-2$ نیاز دارد، یا به‌طور هم‌ارز توان نیروی جاذبه $n=k-1>-3$ است. نزدیک مدار دایره‌ای $\omega_r^2=(k+2)\omega_\phi^2$ برقرار است. در $k=-2$، حذف ضرایب خانواده‌ای حاشیه‌ای می‌دهد، نه مدار دایره‌ای پایدار منفرد؛ پتانسیل ثابت مدار دایره‌ای با $L$ ناصفر ندارد.
• قضیهٔ برتراند: در میان همهٔ پتانسیل‌های مرکزی، تنها پتانسیل کپلر $V\propto -1/r$ و پتانسیل هماهنگ همسانگرد $V\propto r^{2}$ مدارهایی می‌دهند که برای هر مسیر مقید بسته‌اند؛ پتانسیل‌های هموار دیگر که مدار دایره‌ای پایدار دارند عموماً پیش‌روی می‌دهند، هرچند مدارهای بستهٔ خاص ممکن‌اند. قضیه دربارهٔ بسته‌بودن همهٔ مدارهای مقید است.
• نوسانگر همسانگرد سه‌بعدی $V=\tfrac12\mu\omega^{2}r^{2}$: مدارها بیضی‌هایی متمرکز بر مبدأ هستند (نه با کانون در آن)، با $\omega_r=2\dot\phi_0$ نزدیک مدار دایره‌ای؛ روی بیضی خارج از مرکز، سرعت زاویه‌ای لحظه‌ای تغییر می‌کند.
• پراکندگی کولنی دافعه / رادرفورد: هذلولی‌های $E>0$؛ پارامتر برخورد $b$ به زاویهٔ انحراف $\theta$ نگاشته می‌شود و می‌دهد $\dfrac{d\sigma}{d\Omega}=\left(\dfrac{k}{4E}\right)^{2}\csc^{4}\!\tfrac{\theta}{2}$.
• سقوط به مرکز: برای $s>2$، جملهٔ $-\alpha/r^s$ نزدیک مبدأ غالب است، ولی سد ناشی از $L$ ناصفر می‌تواند دسترسی از بی‌نهایت را منع کند؛ برای $s=2$، مقدار $\alpha$ را با $L^2/(2\mu)$ مقایسه کنید. سقوط تکین نشانهٔ شکست تقریب ذرهٔ نقطه‌ای در مرکز است، نه سازوکار خودکار گیراندازی فیزیکی.
• ترفند جرم کاهش‌یافته: هر برهم‌کنش مرکزی دوجسمی به رانش مرکز جرم به‌علاوهٔ حرکت یک‌جسمی $\mu$ در $V(r)$ تفکیک می‌شود.

تلهٔ رایج: جملهٔ گریز از مرکز $+L^2/(2\mu r^2)$ حتی برای جاذبه علامت مثبت دارد. مدار دایره‌ای اکسترمم $V_{\mathrm{eff}}$ است و در کمینهٔ اکید با $V_{\mathrm{eff}}''>0$ پایدار است؛ انحنای صفر به تحلیل بیشتری نیاز دارد. نیروی عکس‌مکعبی مرز حاشیه‌ای وابسته به ضرایب است. پتانسیل $V$ را از $V_{\mathrm{eff}}$ متمایز نگه دارید: نیروی فیزیکی $-dV/dr$ است، ولی $-dV_{\mathrm{eff}}/dr$ نیروی شعاعی مؤثر است. سد و انرژی ورودی را با قرارداد جرم یکسان مقایسه کنید و شعاع‌های مداری را از کانون بسنجید، نه از رأس دستگاه مختصات.