سوال ۶۶ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۲

بسط فاصله‌های دوتایی

مرکز جرم، میانگین برداری مکان‌ها با وزن جرم است. در اینجا $r_i^2=\vec{r}_i\cdot\vec{r}_i$ و $R^2=\vec{R}\cdot\vec{R}$ است.

رابطهٔ آخر را در حاصل‌ضرب دو جرم ضرب می‌کنیم و روی همهٔ زوج‌های مرتب جمع می‌زنیم:

با مرتب کردن داریم:

این رابطه گزینهٔ ۴ است. همهٔ جمله‌ها بُعد جرم به توان دو در طول به توان دو دارند. برای یک ذره، فاصله‌های دوتایی صفر می‌شوند و رابطه به تعریف مکان همان ذره تبدیل می‌شود.

تلهٔ رایج: جمع دوگانه هر زوج متمایز را دو بار می‌شمارد؛ به همین دلیل ضریب یک‌دوم لازم است. مربع صورتِ رابطهٔ مرکز جرم نیز جمله‌های متقاطع دارد و برابر جمع مربع جمله‌های منفرد نیست.