سوال ۶۷ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۲

Official key / کلید رسمی: کلید رسمی گزینهٔ ۲ است؛ استنتاج زیر گزینهٔ ۱ را می‌دهد، زیرا حالت فوق‌میرا به دو نرخ واپاشی حقیقی و متمایز نیاز دارد و بنابراین $\gamma>\omega$. واژهٔ چاپ‌شدهٔ «فوق‌میرا» به حالت میرایی بیش از حد اشاره دارد.

حل معادلهٔ مشخصه

$x=e^{\lambda t}$ را در معادلهٔ داده‌شده قرار می‌دهیم:

فوق‌میرایی به معنای وجود دو ریشهٔ حقیقی و متمایز است. پس ممیز باید مثبت باشد. چون هر دو ثابت مثبت‌اند،

هر دو ریشه منفی‌اند، زیرا $\sqrt{\gamma^2-\omega^2}<\gamma$؛ در نتیجه پاسخ، مجموعی غیرنوسانی از توابع نمایی کاهنده است:

بررسی سایر حالت‌ها

برای $\gamma<\omega$ ریشه‌ها مختلط‌اند و حرکت کم‌میراست، با فرکانس زاویه‌ای $\sqrt{\omega^2-\gamma^2}$؛ این همان گزینهٔ رسمی ۲ است، اما به حالت مقابل پاسخ می‌دهد. در $\gamma=\omega$ ریشهٔ تکراری و میرایی بحرانی داریم. گزینهٔ ۴ نیز فقط زیرمجموعه‌ای از حالت کم‌میراست. هر دو کمیت $\gamma$ و $\omega$ بُعد معکوس زمان دارند، بنابراین مقایسهٔ آن‌ها از نظر ابعادی درست است. به‌طور معادل، نسبت میرایی $\zeta=\gamma/\omega$ است و فوق‌میرایی به $\zeta>1$ نیاز دارد. در حد میرایی قوی،

مطابق انتظار، این‌ها دو نرخ واپاشی غیرنوسانی‌اند. تغییر نام ضریب مشتق مرتبهٔ اول نمی‌تواند جهت نامساوی را برای معادلهٔ چاپ‌شده عوض کند.

نکتهٔ کنکوری: در صورت‌بندی $\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega^2x=0$، مرز دو حالت $\gamma=\omega$ است. ضریب دو از پیش در جملهٔ میرایی منظور شده است.