سوال ۲۸ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۴

آماده‌سازی: قرارداد متقارن تبدیل فوریه

زوج تبدیلی که در فیزیک به کار می‌رود (همان که هم‌زمان $f$ و $g$ را بهنجار نگه می‌دارد) عبارت است از

پس باید انتگرال زیر را محاسبه کنیم:

گام ۱ — تغییر متغیر انتگرال‌گیری

قرار می‌دهیم $u=k-k_{0}$، پس $k=u+k_{0}$ و $dk=du$:

عامل موج تخت $e^{ik_{0}x}$ مستقیماً از جابه‌جایی مرکز بسته در فضای $k$ پدید می‌آید — این همان قضیهٔ انتقال است و به همین دلیل همهٔ گزینه‌ها عامل $e^{ik_{0}x}$ را دارند.

گام ۲ — مربع کامل کردن توان

جابه‌جا کردن مسیر انتگرال‌گیری به اندازهٔ مقدار موهومی ثابت $\tfrac{ix}{2a^{2}}$ مجاز است (تابع گاوسی در تمام جهات درون آن نوار میرا می‌شود، پس قضیهٔ کوشی اجازه می‌دهد مسیر دوباره روی محور حقیقی بلغزد) و با استفاده از $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a^{2}v^{2}}dv=\dfrac{\sqrt{\pi}}{a}$ داریم

به وارون‌شدن پهنا توجه کنید: گاوسی در فضای $k$ به شکل $e^{-a^{2}k^{2}}$ است و در فضای $x$ به شکل $e^{-x^{2}/4a^{2}}$ — عدد $4$ در مخرج اجباری است، نه اختیاری.

گام ۳ — جمع‌کردن ضریب ثابت

ثابت را با توان‌های صریح بنویسیم:

که دقیقاً برابر است با

گام ۴ — وارسی بهنجارش (ضریب‌های نادرست را حذف می‌کند)

اگر $g(k)$ بهنجار باشد، قضیهٔ پارسوال تضمین می‌کند که $f(x)$ نیز بهنجار است. نتیجهٔ کادرشده را بررسی می‌کنیم:

و به‌راستی $\int|g|^{2}dk=\sqrt{\dfrac{2a^{2}}{\pi}}\cdot\sqrt{\dfrac{\pi}{2a^{2}}}=1$.

گزینه‌های ۱ و ۲ ضریب $(\pi a^{2})^{-1/4}$ دارند که به اندازهٔ عامل $2^{1/4}$ شرط بهنجارش را نقض می‌کند؛ گزینهٔ ۴ پهنای گاوسی $e^{-x^{2}/2a^{2}}$ دارد که پهنای مربع اندازهٔ دامنه است، نه پهنای خودِ دامنه. پس گزینهٔ ۳ درست است.

نکتهٔ کنکوری: برای زوج گاوسی، نگاشت $e^{-a^{2}k^{2}}\ \longleftrightarrow\ e^{-x^{2}/(4a^{2})}$ را حفظ کنید (پهناها وارون یکدیگرند و عامل $4$ همیشه در همان فضایی ظاهر می‌شود که $1/a^{2}$ دارد)، سپس به‌جای دنبال‌کردن تک‌تک $\sqrt{2\pi}$‌ها، ضریب ثابت را در یک خط با شرط $\int|f|^{2}dx=1$ به دست آورید.