KonkurStudy
همه کارت‌ها
مفهومریاضی فیزیکسری و تبدیل فوریه

تحلیل فوریه، توابع تعمیم‌یافته، معادلات دیفرانسیل معمولی و توابع ویژه

تبدیل‌های فوریه و شعاعی، پایه‌های متعامد معادلات دیفرانسیل و توابع گرینِ چشمهٔ نقطه‌ای را با نرمال‌سازی صریح، مزدوج‌گیری، آزمون‌های همگرایی و ژاکوبین‌های قدرمطلقی دلتا به کار ببرید.

کارت مفهوم کنکور ارشد فیزیک

اهمیت
۰/۵

۱. ایدهٔ اصلی و محل کاربرد

بخش بزرگی از فیزیک ریاضی به معادلات دیفرانسیل معمولی خطی مرتبهٔ دوم فروکاسته می‌شود که جواب‌های آن‌ها در یک پایهٔ متعامد کامل بسط داده می‌شوند. چهار ابزار درهم‌تنیده این مسائل را سامان می‌دهند:

  • تحلیل فوریه — نمایش یک تابع روی یک بازهٔ متناهی (یا روی R\mathbb{R}) به صورت برهم‌نهی توابع ویژهٔ {eikx, sin⁡, cos⁡}\{e^{i k x},\ \sin,\ \cos\} عملگر d2dx2\dfrac{d^2}{dx^2}. این موتور محرک روش جداسازی متغیرها برای معادلات گرما، موج و لاپلاس است.

  • معادلات دیفرانسیل معمولی خطی مرتبهٔ دوم — معادلات شعاعی/زاویه‌ای که پس از جداسازی یک معادلهٔ دیفرانسیل با مشتقات جزئی به دست می‌آیند. معادلات با ضریب ثابت، کوشی–اویلر (هم‌بُعد) و ضریب متغیر (فروبنیوس) هر یک دستور جواب استاندارد خود را دارند.

  • توابع ویژه — توابع لژاندر، بسل، هرمیت و لاگر همان توابع ویژهٔ متعامد عملگرهای خودالحاق (اشتورم–لیوویل) خاصی هستند که از آن معادلات جداشده در هندسهٔ کروی/استوانه‌ای و نوسانگر کوانتومی پدید می‌آیند.

  • توابع تعمیم‌یافته (توزیع‌ها) — تحلیل فوریه را به ضربه‌ها و چشمه‌های نقطه‌ای گسترش می‌دهند. دلتای دیراک با نمونه‌برداری از مقدار تابع آزمون بر آن عمل می‌کند؛ نمایش فوریه و مشتق‌های آن، روش‌های طیفی را به توابع گرین پیوند می‌دهند.

چارچوب یکپارچه‌کننده نظریهٔ اشتورم–لیوویل است: یک مسئلهٔ خودالحاق منظم روی بازهٔ متناهی، با وزن مثبت و شرایط مرزی مناسب، دارای مقادیر ویژهٔ حقیقی و مجموعه‌ای متعامد و کامل از توابع ویژه است — که مُدهای فوریه حالت خاص فضای تخت آن هستند.

۲. فرمول‌ها، قضایا و قوانین کلیدی

سری فوریه (دورهٔ تناوب 2L2L). برای یک تابع تکه‌ای هموار ff،

f(x)=a02+∑n=1∞[ancos⁡nπxL+bnsin⁡nπxL],f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\frac{n\pi x}{L} + b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right], an=1L∫−LLf(x)cos⁡nπxL dx,bn=1L∫−LLf(x)sin⁡nπxL dx.a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx,\qquad b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx .

میان‌بُر زوج یا فرد بودن: ff زوج ⇒bn=0\Rightarrow b_n=0 (سری کسینوسی)؛ ff فرد ⇒an=0\Rightarrow a_n=0 (سری سینوسی). در یک ناپیوستگی، سری به نقطهٔ میانی 12[f(x+)+f(x−)]\tfrac12[f(x^+)+f(x^-)] همگرا می‌شود (دیریکله). پارسوال (سری فوریهٔ حقیقی): 1L∫−LL∣f∣2 dx=a022+∑n(an2+bn2)\dfrac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L}|f|^2\,dx = \dfrac{a_0^2}{2}+\sum_n (a_n^2+b_n^2).

تبدیل فوریه (روی R\mathbb{R}).

f~(k)=∫−∞∞f(x) e−ikx dx,f(x)=12π∫−∞∞f~(k) eikx dk.\tilde f(k)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-ikx}\,dx,\qquad f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde f(k)\,e^{ikx}\,dk .

ویژگی‌های کلیدی: f′~=ik f~\widetilde{f'}=ik\,\tilde f (مشتق‌گیری →\to ضرب)، قضیهٔ کانولوشن f∗g~=f~ g~\widetilde{f*g}=\tilde f\,\tilde g، پارسوال ∫∣f∣2dx=12π∫∣f~∣2dk\int|f|^2dx=\tfrac{1}{2\pi}\int|\tilde f|^2dk.

قراردادهای تبدیل، مزدوج‌گیری و قضیهٔ پلانشرل

تبدیل بالا قرارداد بسامد زاویه‌ایِ غیرواحدی است. آن را برای روابط مشتق، کانولوشن، دلتا و تابع گرین در این کارت نگه دارید. قرارداد رایج دیگری عامل‌های برابر را در هر دو جهت قرار می‌دهد. تبدیل آن را با f~u\tilde f_u نشان می‌دهیم تا نمادهای ظاهراً یکسان، نرمال‌سازی متفاوت را پنهان نکنند:

f~u(k)=12π∫−∞∞f(x)e−ikx dx,f(x)=12π∫−∞∞f~u(k)eikx dk,f~u=f~2π.\tilde f_u(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}\,dx,\qquad f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde f_u(k)e^{ikx}\,dk,\qquad \tilde f_u=\frac{\tilde f}{\sqrt{2\pi}}.
قرارداد بسامد زاویه‌ای عامل تبدیل مستقیم عامل تبدیل معکوس همانی مربع نرم
غیرواحدی f~\tilde f 11 1/(2π)1/(2\pi) ∫∣f∣2dx=(2π)−1∫∣f~∣2dk\int\lvert f\rvert^2dx=(2\pi)^{-1}\int\lvert\tilde f\rvert^2dk
متقارن/واحدی f~u\tilde f_u 1/2π1/\sqrt{2\pi} 1/2π1/\sqrt{2\pi} ∫∣f∣2dx=∫∣f~u∣2dk\int\lvert f\rvert^2dx=\int\lvert\tilde f_u\rvert^2dk

عامل را استخراج کنید، نه اینکه صرفاً حفظ کنید. برای نرمال‌سازی مستقیمِ حقیقی و مثبت cc، تعریف کنید Fc(k)=c∫f(x)e−ikx dxF_c(k)=c\int f(x)e^{-ikx}\,dx و Gc(k)=c∫g(x)e−ikx dxG_c(k)=c\int g(x)e^{-ikx}\,dx. تبدیل معکوس عامل 1/(2πc)1/(2\pi c) دارد. از توابع هموار با افت سریع شروع کنید که همانی دلتا در معنای توزیعی برایشان قابل استفاده است:

∫Fc(k)Gc∗(k) dk=c2∫dx∫dy f(x)g∗(y)∫dk eik(y−x)=2πc2∫f(x)g∗(x) dx.\int F_c(k)G_c^*(k)\,dk =c^2\int dx\int dy\,f(x)g^*(y)\int dk\,e^{ik(y-x)} =2\pi c^2\int f(x)g^*(x)\,dx.

در اینجا ∫eik(y−x)dk=2πδ(y−x)\int e^{ik(y-x)}dk=2\pi\delta(y-x) است. با انتخاب g=fg=f به دست می‌آید

∫∣f(x)∣2dx=12πc2∫∣Fc(k)∣2dk.\int\lvert f(x)\rvert^2dx=\frac{1}{2\pi c^2}\int\lvert F_c(k)\rvert^2dk.

پس c=1c=1 عامل غیرواحدی را می‌دهد، در حالی که c=1/2πc=1/\sqrt{2\pi} نگاشتی واحدی می‌سازد. با چگالی و پیوستگی، این نتیجه به همهٔ توابع L2(R)L^2(\mathbb R) گسترش می‌یابد: قضیهٔ پلانشرل. برای تابع دلخواه با مربع انتگرال‌پذیر، حتی اگر انتگرال تعریف‌کننده مطلقاً همگرا نباشد، تبدیل فوریه را می‌توان به‌صورت حد در L2L^2 تعریف کرد؛ خود توزیع‌های دلتا مربع نرم متناهی ندارند.

مزدوج‌گیری ضروری است. نرم، تابع را با مزدوج مختلطش جفت می‌کند. بدون مزدوج‌گیری، تبدیل معکوس یکی از عامل‌ها به‌جای آن می‌دهد

∫f(x)g(x) dx=12π∫f~(k)g~(−k) dk=∫f~u(k)g~u(−k) dk.\int f(x)g(x)\,dx =\frac{1}{2\pi}\int\tilde f(k)\tilde g(-k)\,dk =\int\tilde f_u(k)\tilde g_u(-k)\,dk.

برای g=fg=f، عامل دوم تبدیل در آرگومان قرینه است، نه لزوماً مربع خود تبدیل. اگر ff حقیقی باشد، f~(−k)=f~(k)∗\tilde f(-k)=\tilde f(k)^* است و مربع قدرمطلق بازیابی می‌شود، نه مربع بدون مزدوج‌گیری. تابع حقیقی و زوج، تبدیل حقیقی و زوج دارد و این ساده‌سازی اضافی را مجاز می‌کند؛ تابع حقیقی و فرد، تبدیل موهومی و فرد دارد و چنین نیست.

انتگرال در فضای مکان انتگرال طیفی غیرواحدی انتگرال طیفی واحدی
∫fg∗dx\int f g^*dx (2π)−1∫f~(k)g~(k)∗dk(2\pi)^{-1}\int\tilde f(k)\tilde g(k)^*dk ∫f~u(k)g~u(k)∗dk\int\tilde f_u(k)\tilde g_u(k)^*dk
∫fg dx\int f g\,dx (2π)−1∫f~(k)g~(−k)dk(2\pi)^{-1}\int\tilde f(k)\tilde g(-k)dk ∫f~u(k)g~u(−k)dk\int\tilde f_u(k)\tilde g_u(-k)dk

همین اصل برای ضرایب مختلط سری فوریه برقرار است:

12L∫−LL∣f(x)∣2dx=∑n=−∞∞∣cn∣2,1L∫−LL∣f(x)∣2dx=∣a0∣22+∑n=1∞(∣an∣2+∣bn∣2).\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}\lvert f(x)\rvert^2dx=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\lvert c_n\rvert^2, \qquad \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\lvert f(x)\rvert^2dx=\frac{\lvert a_0\rvert^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\lvert a_n\rvert^2+\lvert b_n\rvert^2\right).

فرمول قبلیِ سری با ضرایب حقیقی، حالت خاص حقیقی آن است. ضرب‌های داخلی وزن‌دار اشتورم–لیوویل و تصویرهای تعیین‌کنندهٔ ضرایب نیز برای پایهٔ مختلط از مزدوج‌گیری استفاده می‌کنند.

روابط دیگر باید از قرارداد انتخاب‌شده پیروی کنند. مشتق‌ها در هر دو قرارداد همچنان به ضرب در ikik تبدیل می‌شوند. در قرارداد متقارن، قضیهٔ کانولوشن f∗g~u=2π f~ug~u\widetilde{f*g}_u=\sqrt{2\pi}\,\tilde f_u\tilde g_u است و δ(x−a)~u=e−ika/2π\widetilde{\delta(x-a)}_u=e^{-ika}/\sqrt{2\pi} برقرار است. روابط قبلی بدون این عامل‌ها، در قرارداد غیرواحدی اولیه درست می‌مانند.

بسامد زاویه‌ای در برابر بسامد معمولی

هستهٔ e−ikxe^{-ikx} از بسامد مکانی زاویه‌ای یا عدد موج استفاده می‌کند؛ اگر xx طول باشد، kk بر حسب رادیان بر طول سنجیده می‌شود. بسامد مکانی معمولی ν\nu تعداد چرخه بر طول را می‌شمارد، پس k=2πνk=2\pi\nu است. در مسائل حوزهٔ زمان، رابطهٔ متناظر ω=2πν\omega=2\pi\nu است، با یکای رادیان بر ثانیه در برابر هرتز.

قرارداد بسامد معمولی، زوج تبدیل سومی است:

Fν(ν)=∫f(x)e−2πiνx dx=f~(2πν),f(x)=∫Fν(ν)e2πiνx dν.F_\nu(\nu)=\int f(x)e^{-2\pi i\nu x}\,dx=\tilde f(2\pi\nu),\qquad f(x)=\int F_\nu(\nu)e^{2\pi i\nu x}\,d\nu.

چون dk=2π dνdk=2\pi\,d\nu است، همانی غیرواحدیِ بسامد زاویه‌ای به ∫∣f∣2dx=∫∣Fν∣2dν\int\lvert f\rvert^2dx=\int\lvert F_\nu\rvert^2d\nu تبدیل می‌شود. پس برابری نرم‌ها به‌تنهایی هسته را مشخص نمی‌کند: هم توان نمایی و هم نرمال‌سازی را بخوانید. تغییر متغیر بسامد، تغییر اندازهٔ انتگرال را نیز لازم می‌کند.

تبدیل‌های چندبعدی و هستهٔ شعاعی کروی

در dd بُعد، نرمال‌سازی به تعداد بُعدها وابسته است. برای عامل مستقیمِ حقیقی و مثبت CC، عامل معکوسِ جفت‌شدهٔ زیر را به کار ببرید. تبدیل را با f~C\widetilde f_C بنویسید تا قراردادها متمایز باشند؛ فرمول‌های قبلیِ بدون زیرنویس همچنان از C=1C=1 استفاده می‌کنند.

f~C(k⃗)=C∫Rdf(r⃗)e−ik⃗⋅r⃗ ddr,f(r⃗)=1(2π)dC∫Rdf~C(k⃗)eik⃗⋅r⃗ ddk.\widetilde f_C(\vec k)=C\int_{\mathbb R^d}f(\vec r)e^{-i\vec k\cdot\vec r}\,d^dr,\qquad f(\vec r)=\frac{1}{(2\pi)^dC}\int_{\mathbb R^d}\widetilde f_C(\vec k)e^{i\vec k\cdot\vec r}\,d^dk. ∫Rd∣f∣2ddr=1(2π)dC2∫Rd∣f~C∣2ddk.\int_{\mathbb R^d}|f|^2d^dr=\frac{1}{(2\pi)^dC^2}\int_{\mathbb R^d}|\widetilde f_C|^2d^dk.

پس انتخاب غیرواحدی C=1C=1 و انتخاب واحدی C=(2π)−d/2C=(2\pi)^{-d/2} است. پیش‌عامل واحدیِ یک‌بعدی، پیش‌عامل واحدیِ سه‌بعدی نیست. ضرایب مشتق به ikjik_j تبدیل می‌شوند؛ مزدوج‌گیری و آرگومان بردار قرینه از همان قواعد جفت‌سازی یک‌بعدی پیروی می‌کنند.

در سه بُعد فرض کنید f(r⃗)=f(r)f(\vec r)=f(r) و r=∣r⃗∣r=|\vec r| باشد. تقارن دورانی باعث می‌شود تبدیل فقط به k=∣k⃗∣=kx2+ky2+kz2≥0k=|\vec k|=\sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}\ge0 وابسته باشد. محور قطبی را در راستای k⃗\vec k بگیرید و قرار دهید s=cos⁡θs=\cos\theta. انتگرال زاویه‌ای برابر است با:

∫dΩ e−ikrcos⁡θ=2π∫−11e−ikrs ds=4πsin⁡(kr)kr=4πj0(kr),j0(0)=1.\int d\Omega\,e^{-ikr\cos\theta} =2\pi\int_{-1}^1e^{-ikrs}\,ds =4\pi\frac{\sin(kr)}{kr}=4\pi j_0(kr),\qquad j_0(0)=1. f~C(k)=4πC∫0∞r2f(r)sin⁡(kr)kr dr=4πCk∫0∞rf(r)sin⁡(kr) dr,k>0.\boxed{\widetilde f_C(k)=4\pi C\int_0^\infty r^2f(r)\frac{\sin(kr)}{kr}\,dr} =\frac{4\pi C}{k}\int_0^\infty rf(r)\sin(kr)\,dr,\qquad k>0.

هستهٔ j0(z)=sin⁡z/zj_0(z)=\sin z/z تابع بسل کروی مرتبهٔ صفر است، نه بسل استوانه‌ای J0J_0. کاهش شعاعی تبدیل معکوس آن برابر است با:

f(r)=12π2C∫0∞k2f~C(k)j0(kr) dk.f(r)=\frac{1}{2\pi^2C}\int_0^\infty k^2\widetilde f_C(k)j_0(kr)\,dk.

برای نمایه‌های به‌اندازهٔ کافی انتگرال‌پذیر از انتگرال معمولی استفاده کنید؛ در غیر این صورت، برش یا تفسیر توزیعی را مشخص کنید. اندازهٔ شعاعی و میانگین زاویه‌ای به هم وابسته‌اند: اعمال تبدیل کسینوسی یک‌بعدی به نمایهٔ سه‌بعدی، هندسه و نرمال‌سازی را از دست می‌دهد.

همگرایی و آزمون جداگانهٔ عدد موج صفر

انتگرال‌پذیری مطلقِ فضاییِ نمایهٔ شعاعی مستلزم 4π∫0∞r2∣f(r)∣ dr<∞4\pi\int_0^\infty r^2|f(r)|\,dr<\infty است. تبدیل حاصل کراندار و پیوسته است. در عدد موج صفر، انتگرال فضایی را مستقیماً بررسی کنید:

f~C(0)=4πC∫0∞r2f(r) dr.\widetilde f_C(0)=4\pi C\int_0^\infty r^2f(r)\,dr.

برای دنبالهٔ توانی f(r)∼r−pf(r)\sim r^{-p}، همگرایی مطلق در بی‌نهایت به p>3p>3 نیاز دارد؛ تکینگی نزدیک مبدأ f(r)∼r−qf(r)\sim r^{-q} فقط برای q<3q<3 موضعاً انتگرال‌پذیر است. هر دو انتها را بررسی کنید. در k>0k>0، نوسان‌های زاویه‌ای می‌توانند انتگرال شعاعیِ شرطی ایجاد کنند، حتی وقتی انتگرال فضایی مطلقاً همگرا نیست. مقدار آن ممکن است به دستور حدگیری وابسته باشد؛ برش کروی یا میرایی آبل باید بیان شود. در صورت امکان، تبدیل در L2L^2 یا تبدیل توزیع معتدل، معنای گسترده‌تر مناسب را فراهم می‌کند.

بدون توجیه همگرایی، حد k→0k\to0 را به درون انتگرال نبرید. تبدیل نوسانی می‌تواند برای هر kk مثبت متناهی باشد و همچنان مد صفر تکین داشته باشد. اگر چشمه به پارامتر حقیقی فقط از طریق مربع آن وابسته باشد، طول افت نمایی از قدر مطلق پارامتر استفاده می‌کند؛ تبدیل باید با تغییر علامت آن پارامتر ثابت بماند.

دلتای دیراک: نرمال‌سازی، خاصیت غربال‌گری و تغییر متغیر. دلتا یک توزیع است، نه تابع معمولی با مقدار نقطه‌ای بی‌نهایت. برای تابع آزمون هموار φ\varphi (با تکیه‌گاه فشرده یا افت به‌اندازهٔ کافی سریع)،

⟨δ(x−a),φ⟩=∫−∞∞φ(x)δ(x−a) dx=φ(a),∫−∞∞δ(x−a) dx=1.\langle\delta(x-a),\varphi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\delta(x-a)\,dx=\varphi(a),\qquad \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-a)\,dx=1.

نرمال‌سازی به معنای جرم واحد است؛ می‌توان آن را با تابعی که نزدیک چشمه برابر یک باشد آزمود. برای a≠0a\neq0،

δ(ax−b)=1∣a∣δ(x−ba).\delta(ax-b)=\frac{1}{\lvert a\rvert}\delta\left(x-\frac{b}{a}\right).

برای درک قدرمطلق، به‌طور موضعی متغیر را عوض کنید: اندازهٔ انتگرال، مستقل از جهت، عامل معکوس اندازهٔ شیب را وارد می‌کند. برای gg هموار با صفرهای حقیقی ساده و منزوی xix_i،

δ(g(x))=∑iδ(x−xi)∣g′(xi)∣,g(xi)=0,g′(xi)≠0.\delta(g(x))=\sum_i\frac{\delta(x-x_i)}{\lvert g'(x_i)\rvert},\qquad g(x_i)=0,\quad g'(x_i)\neq0.

برای ریشه‌های داخلیِ ناحیهٔ انتگرال‌گیری DD،

∫Df(x)δ(g(x)) dx=∑xi∈Df(xi)∣g′(xi)∣.\int_D f(x)\delta(g(x))\,dx=\sum_{x_i\in D}\frac{f(x_i)}{\lvert g'(x_i)\rvert}.

هر ریشه وزن ژاکوبینی مثبت دارد؛ علامت‌ها از تابع آزمون می‌آیند، نه جهت. اگر در ناحیه ریشهٔ حقیقی وجود نداشته باشد، انتگرال صفر است. دلتا یکایی معکوس یکای آرگومان خود دارد؛ بنابراین ژاکوبین بررسی بُعدی را نیز فراهم می‌کند.

نمایش فوریه و مشتق‌های توزیعی. با قرارداد تبدیل بالا، در معنای توزیعی،

δ(x−a)=12π∫−∞∞eik(x−a) dk,δ(x−a)~(k)=e−ika.\delta(x-a)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ik(x-a)}\,dk,\qquad \widetilde{\delta(x-a)}(k)=e^{-ika}.

انتگرال نوسانی، انتگرال همگرای معمولی نیست؛ منظم‌سازی یا عمل آن بر توابع آزمون به آن معنا می‌دهد. انتگرال‌گیری جزء‌به‌جزء مشتق‌ها را تعریف می‌کند:

∫−∞∞φ(x)δ(n)(x−a) dx=(−1)nφ(n)(a),δ(n)(x−a)~(k)=(ik)ne−ika.\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\delta^{(n)}(x-a)\,dx=(-1)^n\varphi^{(n)}(a),\qquad \widetilde{\delta^{(n)}(x-a)}(k)=(ik)^n e^{-ika}.

پس مشتق‌ها برای توزیع‌ها نیز مانند توابع معمولی به ضرب در بسامد تبدیل می‌شوند. دلتای کرونکر در تعامد گسسته شیء متفاوتی است: برای اندیس‌های برابر یک و در غیر این صورت صفر است.

توابع گرینِ چشمهٔ نقطه‌ای. برای عملگر خطی L\mathcal L و شرایط مرزی مشخص، تعریف می‌کنیم

LxG(x,ξ)=δ(x−ξ),Lu=s,u(x)=∫G(x,ξ)s(ξ) dξ.\mathcal L_xG(x,\xi)=\delta(x-\xi),\qquad \mathcal L u=s,\qquad u(x)=\int G(x,\xi)s(\xi)\,d\xi.

انتگرال، جواب با شرایط مرزی همگن را می‌دهد؛ برای داده‌های مرزی ناصفر، جواب همگن اضافه کنید. چشمهٔ s(x)=Qδ(x−a)s(x)=Q\delta(x-a) می‌دهد u(x)=QG(x,a)u(x)=QG(x,a). شرایط مرزی تعیین می‌کنند کدام تابع گرین مناسب است. برای پایهٔ توابع ویژهٔ منظم اشتورم–لیوویل با Nn=∫abw(x)yn(x)2 dxN_n=\int_a^b w(x)y_n(x)^2\,dx، کامل بودن یک تجزیهٔ توزیعیِ همانی است:

∑nyn(x)yn(ξ)Nn=δ(x−ξ)w(ξ).\sum_n\frac{y_n(x)y_n(\xi)}{N_n}=\frac{\delta(x-\xi)}{w(\xi)}.

این رابطه نشان می‌دهد چگونه بسط‌های فوریه یا توابع ویژه، چشمهٔ نقطه‌ای را نمایش می‌دهند؛ در اینجا توابع ویژه حقیقی‌اند و برای پایه‌های مختلط باید عامل دوم را مزدوج کرد.

معادلهٔ کوشی–اویلر (روی بازه‌ای با xx مثبت). برای x2y′′+αxy′+βy=0x^2y''+\alpha x y'+\beta y=0، فرض y=xmy=x^m به معادلهٔ شاخص منجر می‌شود

m(m−1)+αm+β=0.m(m-1)+\alpha m+\beta = 0 .

ریشه‌های حقیقی متمایز ⇒y=c1xm1+c2xm2\Rightarrow y=c_1x^{m_1}+c_2x^{m_2}؛ ریشهٔ مضاعف mm ⇒y=(c1+c2ln⁡x)xm\Rightarrow y=(c_1+c_2\ln x)x^{m}؛ مختلط m=p±iqm=p\pm iq ⇒y=xp[c1cos⁡(qln⁡x)+c2sin⁡(qln⁡x)]\Rightarrow y=x^{p}[c_1\cos(q\ln x)+c_2\sin(q\ln x)].

فروبنیوس / جواب سری. در نزدیکی یک نقطهٔ تکین منظم x0x_0، جواب را به صورت y=∑k=0∞ak(x−x0)k+sy=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^{k+s} می‌جوییم؛ کمترین توان، ریشه‌های شاخص ss را تعیین می‌کند و یک رابطهٔ بازگشتی، ضرایب aka_k را مشخص می‌سازد.

مسئلهٔ اشتورم–لیوویل. ddx ⁣[p(x)dydx]+[λw(x)−q(x)]y=0\dfrac{d}{dx}\!\left[p(x)\dfrac{dy}{dx}\right]+\big[\lambda w(x)-q(x)\big]y=0 با شرایط مرزی خودالحاق دارای مقادیر ویژهٔ حقیقی λn\lambda_n و توابع ویژهٔ متعامد در ضرب داخلی وزن‌دار ∫abymyn w dx=0 (m≠n)\displaystyle\int_a^b y_m y_n\,w\,dx = 0\ (m\neq n) است.

توابع ویژه (هر کدام یک مجموعهٔ اشتورم–لیوویل).

Legendre: (1−x2)Pn′′−2xPn′+n(n+1)Pn=0,∫−11PmPn dx=22n+1δmn.\text{Legendre: } (1-x^2)P_n''-2xP_n'+n(n+1)P_n=0,\quad \int_{-1}^{1}P_mP_n\,dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{mn}. Bessel: x2Jν′′+xJν′+(x2−ν2)Jν=0.\text{Bessel: } x^2J_\nu''+xJ_\nu'+(x^2-\nu^2)J_\nu=0 . Hermite: Hn′′−2xHn′+2nHn=0,∫−∞∞HmHne−x2dx=2nn!π δmn.\text{Hermite: } H_n''-2xH_n'+2nH_n=0,\quad \int_{-\infty}^{\infty}H_mH_n e^{-x^2}dx=2^n n!\sqrt{\pi}\,\delta_{mn}.

۳. روش — چگونه این مسائل را واقعاً حل کنیم

(الف) بسط فوریهٔ یک تابع ff معلوم:

  1. دورهٔ تناوب 2L2L را بخوانید و زوج یا فرد بودن را بررسی کنید — یک ff فرد/زوج بی‌درنگ نیمی از ضرایب را از بین می‌برد.
  2. ضرایب باقی‌مانده ana_n/bnb_n را با فرمول‌های بالا محاسبه کنید (انتگرال‌گیری جزء‌به‌جزء برای چندجمله‌ای ×\times مثلثاتی).
  3. از sin⁡(nπ)=0\sin(n\pi)=0، cos⁡(nπ)=(−1)n\cos(n\pi)=(-1)^n برای ساده‌سازی استفاده کنید. آهنگ افت را بررسی کنید: یک ناپیوستگی به ∼1/n\sim 1/n می‌انجامد، و یک گوشه (پیوسته اما شکسته) به ∼1/n2\sim 1/n^2.

(ب) حل یک معادلهٔ دیفرانسیل معمولی خطی مرتبهٔ دوم:

  1. ضرایب ثابت →\to چندجمله‌ای مشخصه بر حسب rr. ضرایب توان‌های xx (هم‌بُعد) →\to y=xmy=x^m را امتحان کنید و معادلهٔ شاخص را بنویسید. نقطهٔ تکین منظم →\to فروبنیوس.
  2. دو ریشه را به دست آورید؛ جواب عمومی را طبق قواعد ریشهٔ مضاعف / ریشهٔ مختلط بسازید.
  3. شرایط مرزی/اولیه را اعمال کنید تا c1,c2c_1,c_2 (یا یک مقدار ویژهٔ λ\lambda) را تعیین کنید.

(پ) حل یک معادلهٔ دیفرانسیل با مقدار مرزی: متغیرها را جدا کنید →\to هر عامل از یک معادلهٔ دیفرانسیل اشتورم–لیوویل پیروی می‌کند →\to توابع ویژهٔ آن پایهٔ بسط را می‌سازند →\to دادهٔ مرزی/اولیهٔ باقی‌مانده را با یک بسط سری متعامد (فوریهٔ تعمیم‌یافته) منطبق کنید، cn=∫ynf w dx∫yn2 w dxc_n=\dfrac{\int y_n f\,w\,dx}{\int y_n^2\,w\,dx}.

(ت) انتگرال‌گیری از دلتای یک تابع:

  1. معادلهٔ g(x)=0g(x)=0 را برای همهٔ ریشه‌های حقیقی حل کنید، سپس فقط ریشه‌های درون ناحیهٔ انتگرال‌گیری را نگه دارید.
  2. در هر ریشه g′(xi)g'(x_i) را حساب کنید. فرمول ریشهٔ ساده فقط وقتی معتبر است که مشتق در هر ریشهٔ نگه‌داشته‌شده ناصفر باشد.
  3. سهم غربال‌گری هر ریشه را بر قدر مطلق مشتق تقسیم کنید؛ شیب منفی را با شیب مثبت خنثی نکنید.
  4. ریشه‌های سر بازه را با قرارداد مرزیِ صریح بررسی کنید.
  5. فقط پس از جمع ریشه‌ها از تقارن زوج یا فرد استفاده کنید. تقارن فقط وقتی جواب را ساده می‌کند که ناحیه و وزن ریشه‌ها تقارن لازم را داشته باشند.

(ث) مشتق‌ها و چشمه‌های نقطه‌ای: برای مشتق دلتا، مشتق‌ها را به تابع آزمون هموار منتقل کنید و علامت را نگه دارید. برای مسئلهٔ گرین با ضرایب ثابت روی خط کامل، عملگر و چشمه را تبدیل فوریه کنید، تبدیل جواب را به‌صورت جبری بیابید، تبدیل معکوس بگیرید و سپس با انتگرال‌گیری از معادلهٔ دیفرانسیل در دو سوی چشمه، نرمال‌سازی آن را بررسی کنید. برای عملگر مرتبهٔ دوم، این کار معمولاً پرش مشتق را تعیین می‌کند؛ شرایط مرزی را نیز اعمال کنید.

(ج) مقایسهٔ تابع با طیف فوریهٔ آن:

  1. نرمال‌سازی مستقیم و معکوس را بنویسید و مشخص کنید توان نمایی از بسامد زاویه‌ای استفاده می‌کند یا بسامد معمولی.
  2. تعیین کنید انتگرال خواسته‌شده مربع نرم است، ضرب داخلی مزدوج‌شده است یا حاصل‌ضرب دوخطی. مطابق آن، مزدوج یا آرگومان بسامد قرینه را وارد کنید.
  3. در صورت تردید، نرمال‌سازی را از تبدیل معکوس و همانی دلتا استخراج کنید؛ عامل قرارداد دیگری را منتقل نکنید.
  4. با تابع گاوسی، سیگنال انتقال‌یافته یا سیگنال مدوله‌شده بررسی کنید. نرم‌ها نمی‌توانند به انتقال محض یا مدولاسیون با قدرمطلق واحد وابسته باشند، در حالی که انتگرال‌های بدون مزدوج ممکن است تغییر کنند.

(چ) تبدیل نمایهٔ کروی: بُعد و هر دو عامل نرمال‌سازی را ثبت کنید؛ از k=∣k⃗∣k=|\vec k| استفاده کنید، انتگرال زاویه‌ای را بگیرید و انتگرال سینوسی باقی‌مانده را با مانده‌ها یا مشتق‌گیری پارامتری محاسبه کنید. گام‌های شرطی را با عامل منظم‌ساز توجیه کنید. همگرایی در مبدأ، بی‌نهایت و k=0k=0 را جداگانه بیازمایید؛ بُعد طول و تقارن نسبت به علامت پارامتر را بررسی کنید.

۴. مثال‌های کوچک حل‌شده

سری کسینوسی f(x)=x2f(x)=x^2 روی −π<x≤π-\pi<x\le\pi، دورهٔ تناوب 2π2\pi (L=πL=\pi). از آنجا که x2x^2 زوج است، همهٔ bn=0b_n=0 اند. میانگین برابر است با

a02=12π∫−ππx2 dx=π23.\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx=\frac{\pi^2}{3}.

برای n≥1n\ge 1، با دو بار انتگرال‌گیری جزء‌به‌جزء،

an=1π∫−ππx2cos⁡(nx) dx=2π⋅2π(−1)nn2=4(−1)nn2.a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{2\pi(-1)^n}{n^2}=\frac{4(-1)^n}{n^2}.

پس

x2=π23+4∑n=1∞(−1)nn2cos⁡(nx).x^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx).

قرار دادن x=πx=\pi (که در آن cos⁡nπ=(−1)n\cos n\pi=(-1)^n) اتحاد جایزهٔ ∑n=1∞1n2=π26\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6} را می‌دهد. به افت 1/n21/n^2 توجه کنید — x2x^2 در بسط تناوبی خود پیوسته است و تنها یک گوشه دارد، دقیقاً همان‌طور که قاعدهٔ همواری پیش‌بینی می‌کند.

گاوسی مختلطِ مدوله‌شده: نرم در برابر مربع دوخطی. در مختصات بی‌بُعد، تابع ابتکاری f(x)=Ae−ax2eik0xf(x)=A e^{-ax^2}e^{ik_0x} را با a>0a>0، k0k_0 حقیقی و AA احتمالاً مختلط در نظر بگیرید. انتگرال گاوسی و انتقال بسامد می‌دهند

f~(k)=Aπa e−(k−k0)2/(4a),f~u(k)=A2a e−(k−k0)2/(4a).\tilde f(k)=A\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{-(k-k_0)^2/(4a)},\qquad \tilde f_u(k)=\frac{A}{\sqrt{2a}}\,e^{-(k-k_0)^2/(4a)}.

گرفتن مربع قدرمطلق، فاز سیگنال را حذف می‌کند و انتقال متغیر انتگرال طیفی، بسامد حامل را حذف می‌کند:

∫∣f∣2dx=∣A∣2π2a,∫∣f~u∣2dk=∣A∣22a2πa=∣A∣2π2a,∫∣f~∣2dk=2π∫∣f∣2dx.\int\lvert f\rvert^2dx=\lvert A\rvert^2\sqrt{\frac{\pi}{2a}},\qquad \int\lvert\tilde f_u\rvert^2dk=\frac{\lvert A\rvert^2}{2a}\sqrt{2\pi a} =\lvert A\rvert^2\sqrt{\frac{\pi}{2a}},\qquad \int\lvert\tilde f\rvert^2dk=2\pi\int\lvert f\rvert^2dx.

در مقابل، مربع‌های بدون مزدوج‌گیری از روابط زیر پیروی می‌کنند

∫f(x)2dx=A2π2a e−k02/(2a),∫f~u(k)2dk=A2π2a.\int f(x)^2dx=A^2\sqrt{\frac{\pi}{2a}}\,e^{-k_0^2/(2a)},\qquad \int\tilde f_u(k)^2dk=A^2\sqrt{\frac{\pi}{2a}}.

هرگاه بسامد حامل و دامنه ناصفر باشند، این دو متفاوت‌اند. حاصل‌ضرب درست با آرگومان قرینه، هم‌پوشانیِ از دست‌رفته را بازمی‌گرداند:

f~u(k)f~u(−k)=A22ae−(k2+k02)/(2a),∫f~u(k)f~u(−k)dk=A2π2a e−k02/(2a).\tilde f_u(k)\tilde f_u(-k)=\frac{A^2}{2a}e^{-(k^2+k_0^2)/(2a)},\qquad \int\tilde f_u(k)\tilde f_u(-k)dk=A^2\sqrt{\frac{\pi}{2a}}\,e^{-k_0^2/(2a)}.

برای A=1A=1 و k0=0k_0=0، انتگرال‌های قدرمطلق بدون مربع برابر ∫∣f∣dx=π/a\int\lvert f\rvert dx=\sqrt{\pi/a} و ∫∣f~u∣dk=2π\int\lvert\tilde f_u\rvert dk=\sqrt{2\pi} هستند و عموماً برابر نیستند. پارسوال دربارهٔ مربع قدرمطلق است، نه هر انتگرالی از قدرمطلق.

مثال شعاعی: نمایهٔ پهن‌شده و گونهٔ انتگرال‌پذیر آن

نمایهٔ ابتکاری f(r)=B/(r2+4ℓ2)f(r)=B/(r^2+4\ell^2) را با پارامتر طول حقیقی و ناصفر ℓ\ell و ثابت BB در نظر بگیرید. قرار دهید b=2∣ℓ∣>0b=2|\ell|>0. برای k>0k>0، برش کروی می‌دهد:

f~C(k)=4πCBk∫0∞rsin⁡(kr)r2+b2 dr.\widetilde f_C(k)=\frac{4\pi CB}{k}\int_0^\infty\frac{r\sin(kr)}{r^2+b^2}\,dr.

مسیر تابع eikz/(z2+b2)e^{ikz}/(z^2+b^2) را در نیم‌صفحهٔ بالا ببندید. قطب آن در z=ibz=ib ماندهٔ e−bk/(2ib)e^{-bk}/(2ib) دارد؛ پس:

∫−∞∞eikrr2+b2 dr=πbe−bk,∫0∞cos⁡(kr)r2+b2 dr=π2be−bk.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ikr}}{r^2+b^2}\,dr=\frac{\pi}{b}e^{-bk},\qquad \int_0^\infty\frac{\cos(kr)}{r^2+b^2}\,dr=\frac{\pi}{2b}e^{-bk}.

نسبت به kk مشتق بگیرید. چون انتگرال مشتق‌گرفته‌شده شرطی است، ابتدا میرایی آبل e−εre^{-\varepsilon r} را وارد کنید و روی بازه‌های دور از عدد موج صفر، با ε→0+\varepsilon\to0^+ آن را حذف کنید. این نتیجه برای kk مثبت با انتگرال ناسرهٔ سینوسی توافق دارد. بنابراین:

∫0∞rsin⁡(kr)r2+b2 dr=−ddk(π2be−bk)=π2e−bk,f~C(k)=2π2CBe−2∣ℓ∣kk.\int_0^\infty\frac{r\sin(kr)}{r^2+b^2}\,dr =-\frac{d}{dk}\left(\frac{\pi}{2b}e^{-bk}\right) =\frac{\pi}{2}e^{-bk},\qquad \boxed{\widetilde f_C(k)=2\pi^2CB\frac{e^{-2|\ell|k}}{k}}.

با C=1C=1 پیش‌عامل 2π2B2\pi^2B است؛ با C=(2π)−3/2C=(2\pi)^{-3/2} پیش‌عامل Bπ/2B\sqrt{\pi/2} است. آرگومان 2∣ℓ∣k2|\ell|k بی‌بُعد و یکای تبدیل [B] length[B]\,\mathrm{length} است، مطابق انتگرال فضایی نمایه. چشمه دنبالهٔ معکوس مربع دارد، پس مد صفر آن واگراست. برای b>0b>0 عضو L2(R3)L^2(\mathbb R^3) است اما عضو L1(R3)L^1(\mathbb R^3) نیست؛ نتیجهٔ شرطی آن برای k>0k>0 همان تبدیل را در معنای مربع انتگرال‌پذیر و توزیع معتدل نمایش می‌دهد.

دنبالهٔ سریع‌تر، مد صفر متناهی. مشتق‌گیری پارامتری، نمایهٔ متفاوت g(r)=B/(r2+b2)2g(r)=B/(r^2+b^2)^2 را ایجاد می‌کند:

g(r)=−12b∂∂bBr2+b2,g~C(k)=π2CBbe−bk,g~C(0)=π2CBb.g(r)=-\frac{1}{2b}\frac{\partial}{\partial b}\frac{B}{r^2+b^2},\qquad \boxed{\widetilde g_C(k)=\frac{\pi^2CB}{b}e^{-bk}},\qquad \widetilde g_C(0)=\frac{\pi^2CB}{b}.

برای b>0b>0 این نمایه مطلقاً انتگرال‌پذیر است. مشتق پارامتری چشمهٔ اولیه نیز به‌طور موضعی یکنواخت نسبت به bb مطلقاً انتگرال‌پذیر است؛ پس مشتق‌گیری از تبدیل توزیعی موجه است. مد صفر مستقیماً از انتگرال حجم شعاعی نیز به دست می‌آید. با B=ℓ4B=\ell^4 و b=2∣ℓ∣b=2|\ell|، چشمهٔ بی‌بُعد آن دارای g~C(0)=π2C∣ℓ∣3/2\widetilde g_C(0)=\pi^2C|\ell|^3/2 است که طبق انتظار یکای حجم دارد.

نمایهٔ سه‌بعدی، b>0b>0 انتگرال‌پذیری فضایی عدد موج صفر
B/(r2+b2)B/(r^2+b^2) تبدیل شرطی؛ چشمه در L2L^2 و بیرون از L1L^1 واگرا؛ طیف رفتار 1/k1/k دارد
B/(r2+b2)2B/(r^2+b^2)^2 مطلقاً انتگرال‌پذیر متناهی: π2CB/b\pi^2CB/b

با b→0+b\to0^+، چشمهٔ اول به B/r2B/r^2 میل می‌کند که در سه بُعد موضعاً انتگرال‌پذیر است؛ تبدیل آن به 2π2CB/k2\pi^2CB/k میل می‌کند، در معنای توزیعی و نیز برای k>0k>0. نمایهٔ مربع‌شده در مقابل، در b=0b=0 مبدأ انتگرال‌ناپذیر دارد؛ پیش‌عامل واگرای آن نشان می‌دهد این حد، تبدیل معمولیِ متناهیِ چشمه نیست.

تغییر مقیاس خطی با شیب منفی. روی −1<x<2-1<x<2،

∫−12(x2+2)δ(3−2x) dx=(3/2)2+22=178.\int_{-1}^{2}(x^2+2)\delta(3-2x)\,dx =\frac{(3/2)^2+2}{2}=\frac{17}{8}.

ریشه درون بازه است، ژاکوبین مثبت است و انتگرال بدون وزنِ این دلتا 1/21/2 است، نه یک.

چند ریشه و ناحیهٔ محدود. فرض کنید g(x)=(x+2)(x−1)(x−3)g(x)=(x+2)(x-1)(x-3) و از x2δ(g(x))x^2\delta(g(x)) روی −3<x<2-3<x<2 انتگرال بگیرید. همهٔ ریشه‌های حقیقی −2,1,3-2,1,3 هستند؛ آخری بیرون ناحیه است. در هر ریشه، مشتق با ضرب دو عامل باقی‌مانده به دست می‌آید:

g′(−2)=(−3)(−5)=15,g′(1)=(3)(−2)=−6,∫−32x2δ(g(x)) dx=415+16=1330.g'(-2)=(-3)(-5)=15,\qquad g'(1)=(3)(-2)=-6,\qquad \int_{-3}^{2}x^2\delta(g(x))\,dx=\frac4{15}+\frac16=\frac{13}{30}.

استفاده از زوج یا فرد بودن پس از جمع ریشه‌ها. برای g(x)=x2−9g(x)=x^2-9 روی خط کامل، ریشه‌ها ±3\pm3 هستند و قدر مطلق هر دو مشتق 66 است. بنابراین

∫−∞∞f(x)δ(x2−9) dx=f(3)+f(−3)6.\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x^2-9)\,dx=\frac{f(3)+f(-3)}6.

با f(x)=x2+1f(x)=x^2+1، مقدار 10/310/3 است. برای f(x)=xf(x)=x فرد، حاصل صفر است زیرا مقادیر نمونه‌برداری‌شده خنثی می‌شوند. روی 0<x<40<x<4، فقط ریشهٔ مثبت باقی می‌ماند و تابع آزمون فرد به‌جای آن 3/6=1/23/6=1/2 می‌دهد. زوج یا فرد بودن هرگز جای بررسی ناحیه را نمی‌گیرد.

قرارداد سر بازه. با منظم‌سازی متقارن و نرمال‌شدهٔ دلتا،

∫01(1+x)δ(x) dx=12.\int_0^1(1+x)\delta(x)\,dx=\frac12.

مرز نصف جرم را دریافت می‌کند. محدود کردن به ناحیهٔ باز، چشمه را حذف می‌کند و صفر می‌دهد؛ منظم‌سازی یک‌طرفه با نرمال‌سازی درون بازه، وزن کامل یعنی یک می‌دهد. بیان قرارداد ضروری است: توزیع بر تابع مشخصهٔ ناپیوستهٔ بازه، عمل یکتای ذاتی ندارد.

مشتق دلتا. با φ(x)=x3e−x2\varphi(x)=x^3e^{-x^2}،

∫−∞∞x3e−x2δ′(x−1) dx=−φ′(1)=−(3−2)e−1=−e−1.\int_{-\infty}^{\infty}x^3e^{-x^2}\delta'(x-1)\,dx =-\varphi'(1)=-(3-2)e^{-1}=-e^{-1}.

علامت منفی از انتگرال‌گیری جزء‌به‌جزء توزیعی می‌آید، نه ژاکوبین ریشه.

مثال تابع گرین فوریه‌ای. روی خط کامل، افت در هر دو بی‌نهایت را انتخاب کنید و κ>0\kappa>0 بگیرید:

(−d2dx2+κ2)G(x,ξ)=δ(x−ξ),(k2+κ2)G~(k,ξ)=e−ikξ.\left(-\frac{d^2}{dx^2}+\kappa^2\right)G(x,\xi)=\delta(x-\xi),\qquad (k^2+\kappa^2)\tilde G(k,\xi)=e^{-ik\xi}.

تبدیل معکوس می‌دهد

G(x,ξ)=12π∫−∞∞eik(x−ξ)k2+κ2 dk=e−κ∣x−ξ∣2κ.G(x,\xi)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ik(x-\xi)}}{k^2+\kappa^2}\,dk =\frac{e^{-\kappa\lvert x-\xi\rvert}}{2\kappa}.

دور از چشمه، این تابع معادلهٔ دیفرانسیل همگن را ارضا می‌کند. تابع پیوسته است، در حالی که انتگرال‌گیری از معادله در دو سوی چشمه نیازمند

G′(ξ+,ξ)−G′(ξ−,ξ)=−1,G'(\xi^+,\xi)-G'(\xi^-,\xi)=-1,

است که جواب آن را برآورده می‌کند. در مختصات بی‌بُعد، مسئلهٔ ابداعی −u′′+4u=3δ(x−1)-u''+4u=3\delta(x-1) دارای u(x)=34e−2∣x−1∣u(x)=\tfrac34e^{-2\lvert x-1\rvert} و پرش مشتق −3-3 است. دلتا شدت چشمه را مشخص می‌کند و شرایط مرزی، جواب افت‌کننده را برمی‌گزینند.

۵. حالت‌های رایج، موارد خاص و حدها

  • بسط‌های نیم‌بازه: یک تابع روی [0,L][0,L] می‌تواند به صورت فرد گسترش یابد (سری سینوسی خالص؛ توابع پایه y(0)=y(L)=0y(0)=y(L)=0 را برآورده می‌کنند) یا به صورت زوج (سری کسینوسی خالص؛ توابع پایه y′(0)=y′(L)=0y'(0)=y'(L)=0 را برآورده می‌کنند). پایه را برای شرایط مرزی همگن میدان مجهول انتخاب کنید. بسط داده‌های دلخواه، مقادیر یا مشتق‌های اولیهٔ آن‌ها در سر بازه را مجبور به ارضای این شرایط نمی‌کند.

  • سری فوریهٔ مختلط: f=∑n=−∞∞cneinπx/Lf=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{in\pi x/L} با cn=12L∫−LLfe−inπx/Ldxc_n=\tfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f e^{-in\pi x/L}dx؛ دورهٔ تناوب →∞\to\infty مجموع را به انتگرال تبدیل فوریه بدل می‌کند.

  • ریشه‌های شاخص مکرر/مختلط جواب‌های کوشی–اویلر با ln⁡x\ln x و نوسانی بر حسب ln⁡x\ln x بالا را می‌دهند؛ معادلهٔ x2y′′+xy′−ν2y=0x^2y''+xy'-\nu^2 y=0 خویشاوند کوشی–اویلری معادلهٔ بسل با ν≠0\nu\neq 0 است.

  • پدیدهٔ گیبس: در نزدیکی یک ناپیوستگی، فراجهش حدی کسری ثابت از اندازهٔ جهش است، ≈9%\approx 9\% ؛ افزایش تعداد جمله‌ها ناحیهٔ متأثر را باریک می‌کند، نه اینکه این کسر حدی را از بین ببرد.

  • توابع بسل با مرتبهٔ نیم‌صحیح به توابع مثلثاتی مقدماتی فروکاسته می‌شوند (j0(x)=sin⁡x/xj_0(x)=\sin x/x)، همان حالت بسل کروی در پراکندگی مکانیک کوانتومی.

  • ریشه‌های سر بازه: فرمول ریشهٔ سادهٔ داخلی، در سر بازه به قرارداد مرزی نیاز دارد. منظم‌سازی متقارن نرمال‌شده نصف وزن می‌دهد؛ قراردادهای صریح دیگر می‌توانند متفاوت باشند.

  • صفرهای چندگانه: اگر g′(xi)=0g'(x_i)=0، مخرج صفر را در فرمول ریشهٔ ساده جایگذاری نکنید. برای مثال، تلاش برای تعریف δ(x2)\delta(x^2) با δε(t)=e−t2/ε2/(πε)\delta_\varepsilon(t)=e^{-t^2/\varepsilon^2}/(\sqrt\pi\varepsilon)، در انتگرال با تابع آزمونی که در مبدأ ناصفر است، رشدی به صورت ε−1/2\varepsilon^{-1/2} می‌دهد. این ساخت، حد توزیعی متناهی معمولی ندارد. چنین ترکیب‌های تباهیده‌ای به تحلیل توزیعی جداگانه یا بازنرمال‌سازی مشخص نیاز دارند.

  • منظم بودن و ناحیهٔ معادلهٔ دیفرانسیل: لگاریتم‌های کوشی–اویلر بالا برای x>0x>0 نوشته شده‌اند؛ روی بازهٔ منفی از ln⁡∣x∣\ln\lvert x\rvert و توابع پایهٔ حقیقی مناسب استفاده کنید و بدون تحلیل جداگانه از نقطهٔ تکین عبور نکنید. در نظریهٔ فروبنیوس، ریشه‌های شاخص با اختلاف صحیح ممکن است به جواب دوم لگاریتمی نیاز داشته باشند؛ ریشهٔ مضاعف نیز باید جداگانه بررسی شود.

نماد یا عمل معنا بررسی ضروری
δmn\delta_{mn} دلتای کرونکر گسسته برابر یا نابرابر بودن اندیس‌ها
δ(x−a)\delta(x-a) توزیع چشمهٔ نقطه‌ای واحد چشمه درون ناحیه باشد
δ(g(x))\delta(g(x)) مجموع وزن‌دار صفرهای ساده همهٔ ریشه‌های حقیقی، شیب قدرمطلقی و سر بازه‌ها
δ′(x−a)\delta'(x-a) توزیع مشتق مشتق‌گیری از تابع آزمون با علامت منفی

نکتهٔ کنکوری: ابتدا زوج یا فرد بودن را تعیین کنید و آهنگ افت را از روی نمودار بخوانید. زوج →\to فقط کسینوس‌ها، فرد →\to فقط سینوس‌ها — این کار نیمی از گزینه‌های چهارگزینه‌ای را در یک نگاه حذف می‌کند. سپس یک سیگنال ناپیوسته (دندانه‌اره‌ای، موج مربعی) باید ضرایب ∼1/n\sim 1/n داشته باشد، در حالی که یک سیگنال پیوسته اما شکسته (∣x∣|x|، مثلثی، x2x^2) با آهنگ 1/n21/n^2 افت می‌کند — گزینه‌ای را با توان درست nn انتخاب کنید بدون آنکه حتی یک انتگرال محاسبه کنید. آهنگ‌های افتِ گفته‌شده، پوش ضرایب معمول برای توابع تناوبی تکه‌ای هموار را توصیف می‌کنند؛ تقارن می‌تواند زیرتوالی‌هایی را صفر کند. برای انتگرال دلتا، ترتیب میان‌بُر را عوض کنید: ریشه‌ها، ناحیه، ژاکوبین‌های قدرمطلقی و سپس زوج یا فرد بودن. قاعدهٔ ریشهٔ ساده را هرگز در مشتق صفر به کار نبرید. برای تبدیل کروی، اندازه و هستهٔ r2j0(kr)r^2j_0(kr) را با هم نگه دارید، نرمال‌سازی متناسب با بُعد را به کار ببرید و k=0k=0 را مستقل بیازمایید.

فرمول‌های کلیدی

Fourier series (period 2L)
f(x)=a02+∑n=1∞[ancos⁡nπxL+bnsin⁡nπxL]f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right]
Fourier coefficients
an=1L∫−LLfcos⁡nπxL dx,bn=1L∫−LLfsin⁡nπxL dxa_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx,\quad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx
Fourier transform pair
f~(k)=∫−∞∞f(x)e−ikx dx,f(x)=12π∫−∞∞f~(k)eikx dk\tilde f(k)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}\,dx,\quad f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde f(k)e^{ikx}\,dk
Cauchy–Euler indicial equation
x2y′′+αxy′+βy=0 ⇒ m(m−1)+αm+β=0x^2y''+\alpha xy'+\beta y=0\ \Rightarrow\ m(m-1)+\alpha m+\beta=0
Sturm–Liouville problem
ddx ⁣[p(x)dydx]+[λw(x)−q(x)]y=0\frac{d}{dx}\!\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]+\big[\lambda w(x)-q(x)\big]y=0
Legendre orthogonality
∫−11Pm(x)Pn(x) dx=22n+1δmn\int_{-1}^{1}P_m(x)P_n(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{mn}
Bessel's equation
x2Jν′′+xJν′+(x2−ν2)Jν=0x^2J_\nu''+xJ_\nu'+(x^2-\nu^2)J_\nu=0
Delta normalization and sifting
∫−∞∞δ(x−a) dx=1,∫−∞∞φ(x)δ(x−a) dx=φ(a)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-a)\,dx=1,\quad\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\delta(x-a)\,dx=\varphi(a)
Affine delta scaling
δ(ax−b)=δ(x−b/a)∣a∣,a≠0\delta(ax-b)=\frac{\delta(x-b/a)}{\lvert a\rvert},\quad a\neq0
Simple-root composition
δ(g(x))=∑iδ(x−xi)∣g′(xi)∣,g(xi)=0,g′(xi)≠0\delta(g(x))=\sum_i\frac{\delta(x-x_i)}{\lvert g'(x_i)\rvert},\quad g(x_i)=0,\quad g'(x_i)\neq0
Fourier representation of delta
δ(x−a)=12π∫−∞∞eik(x−a) dk\delta(x-a)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ik(x-a)}\,dk
Distributional derivatives
∫φ(x)δ(n)(x−a) dx=(−1)nφ(n)(a)\int\varphi(x)\delta^{(n)}(x-a)\,dx=(-1)^n\varphi^{(n)}(a)
Point-source Green function
LxG(x,ξ)=δ(x−ξ),u(x)=∫G(x,ξ)s(ξ) dξ\mathcal L_xG(x,\xi)=\delta(x-\xi),\quad u(x)=\int G(x,\xi)s(\xi)\,d\xi
Decaying whole-line Green function
(−d2dx2+κ2)G(x,ξ)=δ(x−ξ),G(x,ξ)=e−κ∣x−ξ∣2κ,κ>0\left(-\frac{d^2}{dx^2}+\kappa^2\right)G(x,\xi)=\delta(x-\xi),\quad G(x,\xi)=\frac{e^{-\kappa\lvert x-\xi\rvert}}{2\kappa},\quad\kappa>0
Symmetric Fourier transform pair
f~u(k)=12π∫f(x)e−ikxdx,f(x)=12π∫f~u(k)eikxdk\tilde f_u(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(x)e^{-ikx}dx,\quad f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\tilde f_u(k)e^{ikx}dk
Parseval in both angular-frequency conventions
∫∣f∣2dx=12π∫∣f~∣2dk=∫∣f~u∣2dk\int\lvert f\rvert^2dx=\frac1{2\pi}\int\lvert\tilde f\rvert^2dk=\int\lvert\tilde f_u\rvert^2dk
Bilinear Fourier pairing
∫f(x)g(x)dx=12π∫f~(k)g~(−k)dk=∫f~u(k)g~u(−k)dk\int f(x)g(x)dx=\frac1{2\pi}\int\tilde f(k)\tilde g(-k)dk=\int\tilde f_u(k)\tilde g_u(-k)dk
Angular versus ordinary frequency
k=2πν,dk=2π dν,ω=2πνk=2\pi\nu,\quad dk=2\pi\,d\nu,\quad\omega=2\pi\nu
Multidimensional transform pair
f~C(k⃗)=C∫Rdf(r⃗)e−ik⃗⋅r⃗ ddr,f(r⃗)=1(2π)dC∫Rdf~C(k⃗)eik⃗⋅r⃗ ddk\widetilde f_C(\vec k)=C\int_{\mathbb R^d}f(\vec r)e^{-i\vec k\cdot\vec r}\,d^dr,\quad f(\vec r)=\frac{1}{(2\pi)^dC}\int_{\mathbb R^d}\widetilde f_C(\vec k)e^{i\vec k\cdot\vec r}\,d^dk
Three-dimensional angular integral
∫dΩ e−ikrcos⁡θ=4πsin⁡(kr)kr=4πj0(kr)\int d\Omega\,e^{-ikr\cos\theta}=4\pi\frac{\sin(kr)}{kr}=4\pi j_0(kr)
Three-dimensional radial transform
f~C(k)=4πC∫0∞r2f(r)j0(kr) dr,k=∣k⃗∣\widetilde f_C(k)=4\pi C\int_0^\infty r^2f(r)j_0(kr)\,dr,\quad k=|\vec k|
Inverse radial transform
f(r)=12π2C∫0∞k2f~C(k)j0(kr) dkf(r)=\frac{1}{2\pi^2C}\int_0^\infty k^2\widetilde f_C(k)j_0(kr)\,dk
Radial rational profiles
FC ⁣[Br2+b2]=2π2CBke−bk,FC ⁣[B(r2+b2)2]=π2CBbe−bk,b>0, k>0\mathcal F_C\!\left[\frac{B}{r^2+b^2}\right]=\frac{2\pi^2CB}{k}e^{-bk},\quad \mathcal F_C\!\left[\frac{B}{(r^2+b^2)^2}\right]=\frac{\pi^2CB}{b}e^{-bk},\quad b>0,\ k>0
#dirac-delta#simple-roots#fourier-transform#green-functions#sturm-liouville#series-solutions#special-functions

کارت‌های مرتبط

مفهومریاضی فیزیک
معادلات دیفرانسیل و تفاضلی: مشخصه‌ها، همگرایی، سری‌ها و توابع مولد توابع ویژه

روابط بازگشتی خطی با ضرایب ثابت و معادلات انتقال با مشتقات جزئی را حل کنید؛ برای معادلات معمولی از فروبنیوس، اشتورم–لیوویل و توابع گرین استفاده کنید، همگرایی سری‌های عددی را بیازمایید و اتحادهای توابع ویژه را با قراردادهای سازگار تابع مولد استخراج کنید.

series-convergencelinear-difference-equationsfrobenius-methodmethod-of-characteristics
قضیهریاضی فیزیک
آنالیز مختلط: محاسبهٔ توابع، مانده‌ها و نگاشت ناحیه‌ها

شرط‌های کوشی–ریمان، روش‌های انتگرال پیرامونی و مانده، شاخه‌ها و مکان‌های هندسی، نگاشت ناحیه با مرز و وارون، و مقادیر مختلط توابع مثلثاتی و هذلولوی با نمایش نمایی و گویاکردن با مزدوج.

complex-analysiscomplex-hyperbolic-functionsreal-imaginary-partsresidue-theorem
مفهومریاضی فیزیک
جبر خطی: پایه‌های ویژه، گروه‌های ماتریسی، متریک، تانسورها و اتحادهای عملگری

عملگرها را قطری و توابع ماتریس را محاسبه کنید؛ گروه‌های ماتریسی را تحت عمل مشخص بیازمایید و جبر پاؤلی، انقباض متریک، تبدیل تانسورها و ناورداهای رد و دترمینان را به کار ببرید.

matrix-groupspauli-matricesmatrix-exponentialdiagonalization

سوالات تمرینی · 8/12

ریاضی فیزیکآسانمعادلات دیفرانسیل معمولی و حل‌های سریکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۵ — سؤال ۵۱

کدام مورد حل عمومی معادله دیفرانسیل x^۲dfrac d^۲y dx^۲ + xdy/dx - y = ۰ است؟ ( c_۱ و c_۲ ثابت‌های عددی هستند.)

ریاضی فیزیکآسانسری و تبدیل فوریهکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۵ — سؤال ۶۰

تابع f(t) = t را در بازه L ≥ t > L− در نظر بگیرید. در خارج این بازه f(t + 2L) = f(t). کدام مورد بسط سری فوریه این تابع را نمایش می‌دهد؟

ریاضی فیزیکمتوسطسری و تبدیل فوریهکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۴ — سؤال ۲۸

تبدیل فوریهٔ تابع f(x) به‌صورت g(k)=(dfrac ۲a^۲ π )^(۱/۴)e^(-a^۲(k-k_(∘))^۲) است. تابع f(x) کدام است؟

ریاضی فیزیکمتوسطسری و تبدیل فوریهکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۴ — سؤال ۳۲

کدام مورد نشان‌دهنده بسط تابع دلتای دیراک δ(۱+x) برحسب توابع لژاندر P_n(x) است؟

ریاضی فیزیکمتوسطسری و تبدیل فوریهکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۳ — سؤال ۶۱

اگر f(x) یک تابع زوج باشد، حاصل انتگرال ∫_(-∞)^(+∞)f(x)δ(x^۲-۲) dx ، کدام است؟

ریاضی فیزیکمتوسطسری و تبدیل فوریهکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۲ — سؤال ۶۰

اگر δ(x) تابع دلتای دیراک و a مقدار ثابتی باشد، کدام رابطه همواره درست است؟

ریاضی فیزیکمتوسطسری و تبدیل فوریهکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۲ — سؤال ۶۵

اگر تابع tilde f(k) تبدیل فوریهٔ تابع f(x) باشد یعنی tilde f(k)=frac ۱ √(۲π) ∫_(-∞)^(∞)dx f(x)e^(-ikx) کدام رابطه درست است؟

الکترومغناطیسسختالکترواستاتیک (الکتریسیتهٔ ساکن)کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۱ — سؤال ۸۷

در شکل زیر مقطع دو نیم‌پوستهٔ استوانه‌ای رسانای بسیار طویل (نامتناهی) در امتداد محور z با صفحهٔ x-y نشان داده شده است. شعاع نیم‌استوانه‌ها a و b است. لبه‌های نیم‌استوانه‌ها که در صفحهٔ x-z واقع‌اند…

همهٔ 12 سؤال →