باقی‌مانده و بخش‌پذیری با دو مجهول: حسابان ۲، فصل ۱

ایده

هر شرط یک معادله می‌دهد: بخش‌پذیری بر $x - c$ یعنی $p (c) = ۰$ و باقی‌ماندهٔ $r$ بر $x - c$ یعنی $p (c) = r$ . دو شرط دو معادله می‌دهند؛ آن‌ها را با هم حل کن تا دو مجهول پیدا شوند. ریشهٔ $x + ۲$ عدد $- ۲$ است، نه $۲$ .

{p (c_{۱}) = r_{۱} p (c_{۲}) = r_{۲}

نمونهٔ نهایی

نهایی خرداد ۱۴۰۴، سؤال ۶۱/۲۵ نمره

مقادیر $a$ و $b$ را طوری تعیین کنید که چندجمله‌ای $p (x) = ۲ x^{۳} + a x^{۲} - b x + ۲$ بر $x + ۲$ بخش‌پذیر و باقی‌ماندهٔ تقسیم آن بر $x - ۱$ برابر با $۲$ باشد.

بخش‌پذیری بر $x + ۲$ یعنی باقی‌مانده صفر؛ ریشهٔ مقسوم‌علیه را در $p$ بگذار.۰/۲۵ نمره
$x + ۲ = ۰ \Rightarrow x = - ۲ \Rightarrow p (- ۲) = ۰$
باقی‌ماندهٔ تقسیم بر $x - ۱$ برابر $p (۱)$ است و باید $۲$ شود.۰/۲۵ نمره
$x - ۱ = ۰ \Rightarrow x = ۱ \Rightarrow p (۱) = ۲$
دو شرط را باز کن و دستگاه را بساز.۰/۲۵ نمره
${- ۱۶ + ۴ a + ۲ b + ۲ = ۰ ۲ + a - b + ۲ = ۲ \Rightarrow {۲ a + b = ۷ a - b = - ۲$
دو معادله را جمع کن تا $b$ حذف شود و $a$ را بیاب.۰/۲۵ نمره
$۳ a = ۵ \Rightarrow a = \frac{۵}{۳}$
$b$ را از $a - b = - ۲$ حساب کن.۰/۲۵ نمره
$b = a + ۲ = \frac{۱۱}{۳}$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۱

۵ سؤال دیگر