جعبه، قوطی و جسم‌های هندسی

نهایی: در ۴ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۵/۷۵ نمرهکنکور: ۲ سؤال

ایده

ابعاد جسم را با حرف نام‌گذاری کن. بین آن‌ها رابطه‌ای هندسی هست (بریدن ورق، حجم ثابت، قطر کره، مولد مخروط) که یکی را بر حسب دیگری می‌دهد؛ آن را در حجم یا مساحتِ خواسته بگذار تا تابع یک متغیره شود. بازهٔ متغیر را از خود جسم بخوان، چون هیچ بعدی منفی نمی‌شود. مشتق را صفر کن و ریشه‌ای را بگیر که درون بازه است و تابع را بیشینه یا کمینه می‌کند؛ ریشه‌ای که سر بازه است و حجم در آن صفر می‌شود، قابل قبول نیست.

۲ x + l = ۳۰ \Rightarrow l = ۳۰ - ۲ x \Rightarrow V = x l^{۲} = x (۳۰ - ۲ x)^{۲}

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۳، سؤال ۱۴۱/۵ نمره

ورق فلزی مربع شکلی به طول ضلع $۳۰ c m$ را در نظر بگیرید. مطابق شکل می‌خواهیم از چهار گوشه آن مربع‌های کوچکی به ضلع $x$ برش بزنیم و آنها را کنار بگذاریم. سپس با تا کردن ورق در امتداد خط چین‌های مشخص شده در شکل، یک جعبه‌ی درباز بسازیم. مقدار $x$ چقدر باشد تا حجم قوطی، حداکثر مقدار ممکن گردد؟

مربع به ضلع l که در چهار گوشه مربع‌های کوچک به ضلع x با خط‌چین از آن جدا شده‌اند

ارتفاع جعبه $x$ و ضلع قاعده $l$ است؛ $l$ را از ضلع ورق بر حسب $x$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$۲ x + l = ۳۰ \Rightarrow l = ۳۰ - ۲ x$
حجم $V = x l^{۲}$ را بر حسب $x$ بنویس و بازهٔ $x$ را کنارش بگذار.۰/۲۵ نمره
$V (x) = x (۳۰ - ۲ x)^{۲} = ۴ x^{۳} - ۱۲۰ x^{۲} + ۹۰۰ x, x \in [۰, ۱۵]$
از $V (x)$ مشتق بگیر و برابر صفر قرار بده.۰/۲۵ نمره
$V^{'} (x) = ۱۲ x^{۲} - ۲۴۰ x + ۹۰۰ = ۰$
دو طرف را بر $۱۲$ تقسیم کن و تجزیه کن؛ ریشهٔ اول را بنویس.۰/۲۵ نمره
$x^{۲} - ۲۰ x + ۷۵ = (x - ۵) (x - ۱۵) = ۰ \Rightarrow x = ۵$
ریشهٔ دوم را بنویس؛ سر بازه است و حجم در آن صفر می‌شود.۰/۲۵ نمره
$x = ۱۵, V (۱۵) = ۰$
علامت $V^{'}$ را در جدول تغییرات بنویس و نتیجه بگیر.۰/۲۵ نمره
$۰ < x < ۵ : V^{'} > ۰ ↗ ۵ < x < ۱۵ : V^{'} < ۰ ↘ \Rightarrow x = ۵, V_{m a x} = V (۵) = ۲۰۰۰$

جعبه، قوطی و جسم‌های هندسی

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۴

کنکور ۲