KonkurStudy
همه کارت‌ها
مفهومریاضیات عمومی ۱ و ۲ماتریس و جبر خطی

روش‌های ماتریسی: حذف سطری، رتبه و مقادیر ویژهٔ مکرر

رتبه را با وابستگی و مینورهای ناصفر کران بزنید، مقادیر استثنایی پارامتر را جدا کنید و تکرار ریشهٔ مشخصه را از بعد فضای ویژه تشخیص دهید.

کارت مفهوم کنکور ارشد مدیریت کسب‌وکار (MBA)

اهمیت
۰/۵

۱. ماتریس، نگاشت خطی و رتبه

ماتریس (matrix) از اندازهٔ m×nm\times n روی K=R\mathbb K=\mathbb R یا C\mathbb C نمایش‌دهندهٔ نگاشت خطی T:Kn→KmT:\mathbb K^n\to\mathbb K^m با ضابطهٔ T(x)=AxT(\mathbf x)=A\mathbf x است. تعداد nn ستون آن تصویر بردارهای پایهٔ استانداردند. فضای ستونی (column space) تصویر این نگاشت است؛ فضای سطری (row space) را تعداد mm سطر آن در Kn\mathbb K^n تولید می‌کنند.

رتبه (rank) تعداد ستون‌های مستقل است که با تعداد سطرهای مستقل برابر است. فضای پوچ (null space) شامل جواب‌های دستگاه همگن است و بعد آن را بعد فضای پوچ (nullity) می‌نامند.

rank⁡A=dim⁡Col⁡A=dim⁡Row⁡A=r,0≤r≤min⁡(m,n),dim⁡ker⁡A=n−r.\operatorname{rank}A=\dim\operatorname{Col}A=\dim\operatorname{Row}A=r,\qquad 0\le r\le\min(m,n),\qquad \dim\ker A=n-r.

رابطهٔ آخر قضیهٔ رتبه و بعد فضای پوچ است: تعداد مختصات ورودی، نه تعداد سطرها، برابر مجموع این دو بعد است. رتبهٔ صفر یعنی همهٔ درایه‌ها صفرند. رتبهٔ ستونی کامل به معنی یک‌به‌یک‌بودن نگاشت و رتبهٔ سطری کامل به معنی پوشابودن روی Km\mathbb K^m است. برای ماتریس مربع، هر دو شرط با وارون‌پذیری معادل‌اند.

۲. حذف سطری و دستگاه‌های خطی

عملیات مقدماتی سطری عبارت‌اند از جابه‌جایی دو سطر، ضرب یک سطر در عدد ناصفر و افزودن مضربی از یک سطر به سطری دیگر. این عملیات رتبه را حفظ می‌کنند و اگر روی کل ماتریس افزوده اعمال شوند، مجموعهٔ جواب‌ها را نیز حفظ می‌کنند. عملیات سطری فضای سطری را حفظ می‌کنند، اما معمولاً فضای ستونی و مقادیر ویژه را تغییر می‌دهند.

حذف گاوسی (Gaussian elimination) چنین انجام می‌شود:

۱. در ستون بعدیِ قابل استفاده درایه‌ای ناصفر بیابید؛ در صورت نیاز با جابه‌جایی سطر آن را در جایگاه محور قرار دهید. ۲. با این محور درایه‌های زیر آن را صفر کنید و سپس یک سطر پایین و به راست بروید. ستونی را که در بخش باقی‌مانده درایهٔ ناصفر ندارد، رد کنید. ۳. در فرم پلکانی سطری، سطرهای صفر در پایین‌اند و اولین درایهٔ ناصفر هر سطر در سمت راست اولین درایهٔ ناصفر سطر بالاتر قرار دارد. تعداد محورها برابر رتبه است. ۴. برای فرم پلکانی سطریِ کاهش‌یافته، محورها را یک کنید و بالای آن‌ها را نیز صفر کنید. متغیرهای بدون محور آزادند.

برای پایهٔ فضای ستونیِ ماتریس اولیه، ستون‌های اولیه در جایگاه ستون‌های محوری را بردارید. سطرهای ناصفرِ فرم پلکانی، پایهٔ فضای سطری‌اند.

برای Ax=bA\mathbf x=\mathbf b، رتبهٔ ماتریس ضرایب و ماتریس افزوده را مقایسه کنید:

Ax=b is consistent⟺rank⁡A=rank⁡[A∣b].A\mathbf x=\mathbf b\text{ is consistent}\quad\Longleftrightarrow\quad\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid\mathbf b].

سطری با ضرایب صفر و درایهٔ افزودهٔ ناصفر نشانهٔ ناسازگاری است. در دستگاه سازگار، رتبهٔ nn جواب یکتا می‌دهد؛ رتبهٔ r<nr<n تعداد n−rn-r پارامتر آزاد می‌دهد. دستگاه همگن همواره سازگار است و دقیقاً وقتی r<nr<n باشد جواب ناصفر دارد. عملیات ستونی رتبه را حفظ می‌کنند، اما هنگام حل دستگاه باید تغییر متغیرهای ناشی از آن‌ها را دنبال کرد.

۳. کران‌های رتبه، مینورها و پارامترها

مینور (minor) مرتبهٔ kk دترمینان یک زیرماتریس مربع است که با انتخاب kk سطر و kk ستون ساخته می‌شود. مینور ناصفر ثابت می‌کند این سطرها و ستون‌ها دارای kk جهت مستقل‌اند. بنابراین رتبه برابر بزرگ‌ترین مرتبهٔ مینور ناصفر است؛ ماتریس صفر رتبهٔ صفر دارد.

det⁡AI,J≠0⟹rank⁡A≥k(∣I∣=∣J∣=k).\det A_{I,J}\ne0\quad\Longrightarrow\quad\operatorname{rank}A\ge k\qquad(\lvert I\rvert=\lvert J\rvert=k).

برای اثبات رتبهٔ برابر با kk، این کران پایین را با کران بالایی از وابستگی سطری یا ستونی، یا صفرشدن تمام مینورهای مرتبهٔ k+1k+1، اگر این مرتبه در ماتریس جا شود، ترکیب کنید. صفرشدن یک مینور به‌تنهایی افت رتبه را ثابت نمی‌کند. ارائهٔ یک رابطه فقط کران بالای اولیهٔ تعداد سطرها را یک واحد کاهش می‌دهد؛ برای کران دقیق‌تر از راه وابستگی، روابط مستقل بیشتری لازم است.

روش پارامتری: مقادیر استثناییِ احتمالی را که در آن‌ها محور یا مینور مفید صفر می‌شود، مشخص کنید. پیش از تقسیم بر عبارت پارامتری، این مقادیر را جداگانه بررسی کنید. وجود پارامتر در ماتریس الزاماً رتبه را تغییر نمی‌دهد: یک مینور ثابتِ ناصفر همراه با کران بالای منطبق، ثبات رتبه را ثابت می‌کند.

برای نمونه، فرض کنید

M(t)=(1201031t00212402).M(t)=\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&3&1&t\\0&0&2&1\\2&4&0&2\end{pmatrix}.

سطر چهارم دو برابر سطر اول است؛ پس رتبه حداکثر سه است. مینور بالا و چپ می‌دهد:

det⁡(120031002)=6≠0⟹rank⁡M(t)=3,dim⁡ker⁡M(t)=1\det\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&1\\0&0&2\end{pmatrix}=6\ne0\quad\Longrightarrow\quad\operatorname{rank}M(t)=3,\qquad\dim\ker M(t)=1

و این نتیجه برای هر مقدار پارامتر برقرار است. کم‌کردن دو برابر سطر اول از سطر چهارم نیز بی‌درنگ فرم پلکانی با سه محور می‌دهد. در مقابل،

B(t)=(111t),det⁡B(t)=t−1,rank⁡B(t)={2,t≠1,1,t=1.B(t)=\begin{pmatrix}1&1\\1&t\end{pmatrix},\qquad\det B(t)=t-1,\qquad\operatorname{rank}B(t)=\begin{cases}2,&t\ne1,\\1,&t=1.\end{cases}

در مقدار استثنایی، آزمون دترمینان فقط می‌گوید رتبه کمتر از دو است؛ درایهٔ ناصفر یا محور باقی‌مانده، رتبهٔ یک را ثابت می‌کند.

۴. مقادیر ویژه و چندجمله‌ای مشخصه

برای ماتریس مربع n×nn\times n، مقدار ویژه (eigenvalue) عددی مانند λ\lambda است که برای آن بردار ویژهٔ (eigenvector) ناصفری مانند v\mathbf v وجود دارد و

Av=λv⟺(A−λI)v=0,pA(λ)=det⁡(λI−A)=0.A\mathbf v=\lambda\mathbf v\quad\Longleftrightarrow\quad(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf0,\qquad p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)=0.

چندجمله‌ای مشخصهٔ pAp_A یکه و از درجهٔ nn است. قرارداد دیگر یعنی det⁡(A−λI)=(−1)npA(λ)\det(A-\lambda I)=(-1)^n p_A(\lambda) همان ریشه‌ها و چندگانگی‌ها را دارد. قرارداد علامت را در سراسر محاسبه ثابت نگه دارید. روی C\mathbb C، با شمارش ریشه‌ها همراه با چندگانگی جبری (algebraic multiplicity) داریم:

tr⁡A=∑i=1nλi,det⁡A=∏i=1nλi.\operatorname{tr}A=\sum_{i=1}^n\lambda_i,\qquad\det A=\prod_{i=1}^n\lambda_i.

رد برابر مجموع درایه‌های قطر اصلی است. ماتریس حقیقی ممکن است مقادیر ویژهٔ غیرحقیقی داشته باشد که به‌صورت زوج‌های مزدوج ظاهر می‌شوند. صفر دقیقاً وقتی مقدار ویژه است که ماتریس تکین باشد. مقادیر ویژهٔ ماتریس مثلثی، درایه‌های قطرند؛ برای ماتریس مثلثی بلوکی، چندجمله‌ای مشخصه حاصل‌ضرب چندجمله‌ای‌های مشخصهٔ بلوک‌های قطری است.

پیش از بسط دترمینان، سطر یا ستون کم‌درایهٔ ناصفر یا ساختار مثلثی بلوکی را پیدا کنید. جابه‌جایی سطرها علامت دترمینان را عوض می‌کند؛ ضرب سطر در ضریب، دترمینان را در همان ضریب ضرب می‌کند؛ افزودن مضربی از سطر دیگر دترمینان را حفظ می‌کند. این قواعد به محاسبهٔ دترمینان کمک می‌کنند، اما مقادیر ویژهٔ ماتریس پس از حذف سطری عموماً با ماتریس اولیه متفاوت‌اند. تبدیل تشابه، برخلاف حذف سطری دلخواه، چندجمله‌ای مشخصه را حفظ می‌کند.

۵. ریشه‌های مکرر و بازیابی پارامتر

چندگانگی جبری یک مقدار ویژه، مرتبهٔ آن به‌عنوان ریشهٔ چندجمله‌ای مشخصه است. مقدار ویژهٔ مکرر حداقل چندگانگی دو دارد؛ دقیقاً دوگانه بودن، چندگانگی سه یا بیشتر را رد می‌کند.

pA(λ0)=pA′(λ0)=0p_A(\lambda_0)=p_A'(\lambda_0)=0

آزمون ریشهٔ مکرر است. برای چندگانگی دقیقاً دو، علاوه بر آن باید pA′′(λ0)≠0p_A''(\lambda_0)\ne0 باشد. اگر یک عامل از پیش آشکار است، به‌جای بسط کامل از آن استفاده کنید:

pA(λ)=(λ−λ0)q(λ),λ0 is repeated⟺q(λ0)=0.p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)q(\lambda),\qquad \lambda_0\text{ is repeated}\quad\Longleftrightarrow\quad q(\lambda_0)=0.

در این حالت برای چندگانگی دقیقاً دو باید q′(λ0)≠0q'(\lambda_0)\ne0 باشد. ابتدا پارامتر ماتریس را به دست آورید. در ماتریس سه‌بعدی با مقدار ویژهٔ دوگانه، مقدار ویژهٔ باقی‌مانده برابر رد منهای دو برابر آن مقدار ویژه است؛ اگر چندگانگی دقیقاً دو خواسته شده، متفاوت‌بودن مقدار سوم را نیز بررسی کنید.

برای یک مثال با ستون کم‌درایهٔ ناصفر، در نظر بگیرید:

A(a)=(a01012102),pA(λ)=(λ−1)[(λ−a)(λ−2)−1].A(a)=\begin{pmatrix}a&0&1\\0&1&2\\1&0&2\end{pmatrix},\qquad p_A(\lambda)=(\lambda-1)\big[(\lambda-a)(\lambda-2)-1\big].

برای مکررشدن مقدار ویژهٔ 11، عبارت داخل کروشه باید در این مقدار صفر شود:

(1−a)(1−2)−1=a−2=0⟹a=2.(1-a)(1-2)-1=a-2=0\quad\Longrightarrow\quad a=2.

اکنون رد و تجزیه نتیجهٔ یکسانی دارند:

tr⁡A=5,λ3=5−1−1=3,pA(λ)=(λ−1)2(λ−3).\operatorname{tr}A=5,\qquad\lambda_3=5-1-1=3,\qquad p_A(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-3).

مقدار ویژهٔ سوم متفاوت است؛ پس تکرار دقیقاً دوگانه است. وارسی دترمینان نیز حاصل‌ضرب این سه مقدار ویژه را می‌دهد.

۶. چندگانگی، فضای ویژه و قطری‌پذیری

چندگانگی هندسی (geometric multiplicity) بعد فضای ویژه است:

gλ=dim⁡ker⁡(A−λI)=n−rank⁡(A−λI),1≤gλ≤mλ,g_{\lambda}=\dim\ker(A-\lambda I)=n-\operatorname{rank}(A-\lambda I),\qquad 1\le g_{\lambda}\le m_{\lambda},

که در آن mλm_{\lambda} چندگانگی جبری یک مقدار ویژه است. بردارهای ویژهٔ متناظر با مقادیر ویژهٔ متمایز مستقل‌اند، اما تکرار به‌تنهایی بردار ویژهٔ مستقل دیگری فراهم نمی‌کند. ماتریس روی میدان انتخاب‌شده دقیقاً وقتی قطری‌پذیر (diagonalizable) است که nn بردار ویژهٔ مستقل داشته باشد: چندجمله‌ای مشخصه باید روی آن میدان کاملاً به عوامل خطی تجزیه شود و چندگانگی هندسی و جبری هر مقدار ویژه برابر باشند.

مفهوم چه چیزی را می‌شمارد یا می‌آزماید؟ چه چیزی را نتیجه نمی‌دهد؟
رتبه سطرها یا ستون‌های مستقل، یا محورها تعداد مقادیر ویژهٔ متمایز
بعد فضای پوچ بعد مجموعهٔ جواب‌های دستگاه همگن تعداد پارامترهای آزاد دستگاه ناسازگار
چندگانگی جبری تکرار ریشه در چندجمله‌ای مشخصه همان تعداد بردار ویژهٔ مستقل
چندگانگی هندسی بردارهای ویژهٔ مستقل برای یک مقدار ویژه تکراری که مستقیماً از رد خوانده شود
قطری‌پذیری وجود یک پایهٔ کامل از بردارهای ویژه متمایزبودن همهٔ مقادیر ویژه

برای مثال،

D=2I2,J=(2102)D=2I_2,\qquad J=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}

هر دو مقدار ویژهٔ دوگانهٔ 22 دارند. برای DD، بعد فضای ویژه دو است؛ برای JJ، معادلهٔ (J−2I2)v=0(J-2I_2)\mathbf v=0 مختصهٔ دوم را صفر می‌کند و فقط یک بعد باقی می‌ماند. تنها ماتریس اول قطری‌پذیر است. هر دو وارون‌پذیرند: مقدار ویژهٔ مکرر به معنی تکین‌بودن نیست.

نکتهٔ کنکوری: پیش از حذف تک‌تک درایه‌ها، رتبه را از دو طرف کران بزنید. برای مقادیر ویژهٔ مکرر، عامل مشخصهٔ معلوم را جدا کنید، ریشهٔ اضافی را تحمیل کنید و سپس با رد، مقدار ویژهٔ باقی‌مانده را بازیابید.

تلهٔ رایج: پیش از بررسی حالت صفرِ یک عبارت پارامتری بر آن تقسیم نکنید، پیش از پلکانی‌کردن تعداد سطرهای ناصفر را رتبه نگیرید و مقادیر ویژهٔ ماتریس اولیه را از حذف سطری نخوانید. تکرار جبری و استقلال بردارهای ویژه دو مسئلهٔ جدا هستند.

فرمول‌های کلیدی

Rank–nullity
rank⁡A+dim⁡ker⁡A=n\operatorname{rank}A+\dim\ker A=n

For an m by n matrix, the dimension on the right is the number of columns.

Trace and determinant
tr⁡A=∑i=1nλi,det⁡A=∏i=1nλi\operatorname{tr}A=\sum_{i=1}^n\lambda_i,\qquad\det A=\prod_{i=1}^n\lambda_i

Eigenvalues are counted over the complex numbers with algebraic multiplicity.

Geometric multiplicity
gλ=n−rank⁡(A−λI)g_{\lambda}=n-\operatorname{rank}(A-\lambda I)

The dimension of the eigenspace, bounded above by algebraic multiplicity.

#matrix-rank#row-reduction#minors#eigenvalues#characteristic-polynomial#multiplicity

کارت‌های مرتبط

مفهومریاضیات عمومی ۱ و ۲
بردارها و هندسهٔ فضایی: ضرب‌ها، تصویرها، صفحه‌ها و کره‌ها

با ضرب داخلی و برداری، قیود جهت را حل کنید، طول و مساحت را تصویر کنید و فاصله تا صفحه، سطح کره و گوی توپر را به دست آورید.

vectorsdot-productcross-productplane-normals

سوالات تمرینی

ریاضیات عمومی ۱ و ۲متوسطماتریس و جبر خطیکنکور ارشد مدیریت کسب‌وکار (MBA) ۱۴۰۱ — سؤال ۲۶۲

اگر ماتریس مربع A= a-۱, ۰, ۱; ۰, ۲, ۲; ۱, ۰, ۳ دارای یک مقدار ویژهٔ مکرر از مرتبهٔ دوم λ=۲ باشد، مقدار ویژهٔ دیگر آن کدام است؟

ریاضیات عمومی ۱ و ۲آسانماتریس و جبر خطیکنکور ارشد مدیریت کسب‌وکار (MBA) ۱۴۰۲ — سؤال ۲۲۷

رتبهٔ ماتریس ۱, -۱, ۰, -۱, ۰; ۰, ۵, ۴, ۱, -۳; ۰, ۰, ۱, ۰, α; -۲, ۲, ۰, ۲, ۰ ، کدام است؟