ریاضیات عمومی ۱ و ۲General Mathematics (Calculus 1 & 2)

فرض کنید z و w دو عدد مختلط ناصفر و lvert z+wrvert=lvert z-wrvert . کدام مورد درست است؟

مقدار lim_(x→+∞)(cosh^(-۱)√x-۱/۲ln x) کدام است؟

فرض کنید x و y و z اعداد حقیقی متمایز و مثبت باشند. اگر برای هر n∈mathbb N ، a_n=n√(x^n+y^n+z^n) ، آنگاه کدام مورد برای a_n _(n=۱)^(∞) درست است؟

فرض کنید f یک تابع مشتق‌پذیر، f(۰)=f′(۰)=۰ و f′′(۰)=۱ . اگر g(x)= (sin(f(x)))/x,, x≠۰,; ۰,, x=۰, ، آنگاه مقدار g′(۰) کدام است؟

کدام مورد برای f(x)=(ln x)/x درست است؟

با درنظرگرفتن معادلهٔ پارامتری x(t)=e^(-t),; y(t)=t^۳, مقدار (d^۳y)/(dx^۳) در t=۱ کدام است؟

اگر f(x)=∫_۰^x(۲t^۳)/((۱+t^۲)^۲) dt ، آنگاه ضریب x^۶ در بسط مک‌لورَن تابع f کدام است؟

حاصل ∫(cot x+۱)/(cos^۲x+۲sin^۲x) dx کدام است؟

مقدار ∫_۰^(π/۲)(sin(۱۶t))/(sin tcos t) dt کدام است؟

اگر f(x)=x^۷+۲x+۱ ، آنگاه مقدار ∫_۱^۴ f^(-۱)(x) dx کدام است؟

اگر ∫_۰^(∞)frac lvert x^۲-۲x-۳rvert-x^۲-۲x-۳ x^α dx همگرا باشد، آنگاه کدام مورد برای α درست است؟

اگر برای هر عدد طبیعی n ، S(n) بیانگر تعداد ارقام n باشد، آنگاه بازهٔ همگرایی سری ∑_(n=۱)^(∞)frac ۱۰^(S(n)) n(۱-x)^۲n کدام است؟

فرض کنید vec A برداری با اندازهٔ sqrt۲ باشد که با صفحهٔ ۲x-y-z=۵ موازی و بر بردار hat i+hat j+hat k عمود است. مقدار lvertvec A×(hat i+hat j)rvert کدام است؟

طول قوس منحنی vec R(t)=۲that i+۲t^۲hat j در بازه [۰,۱] کدام است؟

مقدار lim_((x,y)→(۰,۰))(sin(lvert x^۵rvert+۲y^۶+lvert xrvert+lvert y^۵rvert))/(lvert xrvert+lvert y^۵rvert) کدام است؟

تابع f(x,y)=e^xln(۱/y) در کدام جهت، بیشترین کاهش را در نقطه (۱,۱) خواهد داشت؟

به‌ازای کدام مقدار زیر از α ، مشتق جهتی تابع f(x,y)= dfrac ylvert xrvert^(α-۱) x^۲+y^۲ , (x,y)≠(۰,۰); ۰, (x,y)=(۰,۰) در مبدأ مختصات و در راستای بردار vec v=hat i+hat j موجود است؟

معادله صفحه مماس بر کره واحد x^۲+y^۲+z^۲=۱ و موازی صفحه x+y-z+۵=۰ کدام است؟

مقدار ∬_D y^۲ dx dy که در آن D= (x,y)∈mathbb R^۲ x^۲+y^۲≤۴, x^۲+(y^۲)/۴≥۱ کدام است؟

مقدار ∫_۰^۲∫_۰^(۲-y)(xcos(x^۲))/(۲-x) dx dy کدام است؟

حجم جسم محصور به رویه ρ=۱-cosφ در مختصات کروی (ρ,θ,φ) کدام است؟ ( φ زاویه شعاع ρ با جهت مثبت محور z است.)

مساحت سطح جسم صلب S= (x,y,z)∈mathbb R^۳:z=۲(y^۲-x^۲)+۳, x^۲+y^۲≤۱/۲ کدام است؟

فرض کنید vec F(x,y,z)=(sin(x^۲)+y^۲+z^۲, ۲xy+z, zx+۲yz) یک میدان برداری گذر از منحنی C باشد که از تلاقی دو رویه (x-۱)^۲+۴y^۲=۱۶ و ۲x+y+z=۳ حاصل شده است. مقدار ∮_C^circlearrowleftvec F· dvec r کدام…

فرض کنید S بیانگر سطح جسم صلبی است که از بالا به z=۴-۲x^۲-۲y^۲ و از پایین به z=۰ محدود است. اگر vec F میدان برداری با ضابطه vec F(x,y,z)=(۲xe^z+y, ۳ye^۲z+tan^(-۱)(x^۲), e^(x-y)-۳/۲e^۲z) باشد، آنگاه…

فرض کنید D ناحیه محدود به x^۲+y^۲≤۱ و (x+y)^۲≤۱ در صفحه مختصات و C مرز D در جهت خلاف عقربه‌های ساعت باشد. مقدار ∮_C(ln(۱+x^۲)+ycosh x-۲y) dx+(sinh x+۲x+e^y) dy کدام است؟

فرض کنید z_۱=۱+i ، z_۲=۱-i و z_۳=-۱-۲i سه عدد مختلط در صفحه مختصات و θ زاویهٔ حادهٔ بین پاره‌خط‌هایی است که از وصل کردن نقطه متناظر z_۱ به z_۳ و z_۲ به z_۳ در صفحه مختصات حاصل می‌شود. مقدار tanθ کدام…

اگر A=lim_(x→+∞)frac x-√(x^m-۱) x ، یک مقدار ناصفر و غیر بی‌نهایت باشد، آن‌گاه کدام‌یک از مقادیر زیر می‌تواند برای m یک انتخاب درست باشد؟

تعداد مجانب‌های تابع f(x)=frac e^(-x)+۱ e^(-۲x)-۱ ، کدام است؟

اگر تابع f(x)=x+asgn(x^۲) پیوسته باشد، آن‌گاه همهٔ مقادیر ممکن برای a کدام است؟ ( sgn(x)= ۱,, x>۰,; ۰,, x=۰,; -۱,, x<۰ تابع علامت است.)

چندجمله‌ای P(x)=a_۰+a_۱x+⋯+a_nx^n مفروض است. کدام عبارت نادرست است؟